湖南省新化县第四中学高中数学《2.51等比数列的前n项和》课件 新人教A版必修5
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湖南省新化县第四中学高中数学《2.52等比数列的前n项和》课件 新人教A版必修5
作业：
P61习题2.5A组：2,3,6.
思考3：设数列{an}的前n项和为Sn，若 数列{Sn}是公比不为1的等比数列，那么 数列{an}是等比数列吗 ?
不是
探究（二）：等比数列前n项和的性质
思考1：设等比数列{an}的公比为q，那 么Sn＋1与Sn之间有什么关系？
Sn＋1＝a1＋qSn
思考2：将Sn＋1＝Sn＋an＋1代入上式可得 什么结论？
小结作业
1.以等比数列前n项和为背景可引发出某 些性质，作为研究性学习，其结论不要 求记忆，但要了解探究这些性质的数学 思想、方法和技巧，并在解题中灵活运 用
2.等比数列的定义、通项公式、求和公 式是等比数列的基本知识点，适当了解 等比数列的一些基本性质，会给解题带 来一定的帮助.
3.对于与等比数列前n项和有关的问题， 不一定要用求和公式进行运算或变形， 有时作非公式化处理更简单
6
例2 已知数列{an}满足Sn＝4an＋2，
求数列{an}的通项公式.
an
2 (4)n 1 33
例3 在等比数列{an}中，已知Sn＝10， S2n＝30，求S3n的值.
S3n＝70
例4 15
23
设等比数列{an}的各项都是正数,
比较SnSn＋2与(Sn+1)2的大小.
SnSn 2 (Sn 1)2
{an}是等比数列 Sn A(qn 1)(Aq 0,q 1)
思考2：Sn
anq a1 (q q1
1) 的一般形式为
Sn Aan B(AB 0,A 1) ,如果数列{an}
的前n和 Sn Aan B(AB 0,A 1) ,那么数
列{an}是等比数列吗？
{an}是等比数列 Sn Aan B(AB 0,A 1)
P61习题2.5A组：2,3,6.
思考3：设数列{an}的前n项和为Sn，若 数列{Sn}是公比不为1的等比数列，那么 数列{an}是等比数列吗 ?
不是
探究（二）：等比数列前n项和的性质
思考1：设等比数列{an}的公比为q，那 么Sn＋1与Sn之间有什么关系？
Sn＋1＝a1＋qSn
思考2：将Sn＋1＝Sn＋an＋1代入上式可得 什么结论？
小结作业
1.以等比数列前n项和为背景可引发出某 些性质，作为研究性学习，其结论不要 求记忆，但要了解探究这些性质的数学 思想、方法和技巧，并在解题中灵活运 用
2.等比数列的定义、通项公式、求和公 式是等比数列的基本知识点，适当了解 等比数列的一些基本性质，会给解题带 来一定的帮助.
3.对于与等比数列前n项和有关的问题， 不一定要用求和公式进行运算或变形， 有时作非公式化处理更简单
6
例2 已知数列{an}满足Sn＝4an＋2，
求数列{an}的通项公式.
an
2 (4)n 1 33
例3 在等比数列{an}中，已知Sn＝10， S2n＝30，求S3n的值.
S3n＝70
例4 15
23
设等比数列{an}的各项都是正数,
比较SnSn＋2与(Sn+1)2的大小.
SnSn 2 (Sn 1)2
{an}是等比数列 Sn A(qn 1)(Aq 0,q 1)
思考2：Sn
anq a1 (q q1
1) 的一般形式为
Sn Aan B(AB 0,A 1) ,如果数列{an}
的前n和 Sn Aan B(AB 0,A 1) ,那么数
列{an}是等比数列吗？
{an}是等比数列 Sn Aan B(AB 0,A 1)
人教A版高中数学必修5课件：2.5等比数列的前n项和(共16张PPT)
课堂练习
练习1：已知等比数列an 中，an 96 ，q 2,
Sn 189 ，则n _________.
练习2： 等比数列 1 , 1 , 1 ,…, 的第5项到第10项 248
的和为______.
例题讲解
例2.已知等比数列 an 中，S3 7 ，S6 63,
求 a9.
解:
S6 63 9 2, q 1.
等比数列 {an},公比为 q ,它的前 n 项和 Sn a1 a2 a3 an1 an，
a2 a1q， a3 a2q， a4 a3q， an an1q，
a2a3 an q(a1 a2 a3 an1).
Sn a1 q(Sn an ). (1 q)Sn a1 anq.
方法拓展3
n为奇数，q 为－1时此 法不适用
a2 a3 an q，
a1 a2
an1
利用等 比定理
a2 a3 an q.
a1 a2 an1
即
Sn a1 Sn an
q.
(1q)Sn a1 anq.
例题讲解
例1.已知等比数列
an 中，a1
4
，q
1， 2
求：S10 .
1. 2
a1 1 q
qn，
令 a1 1 q
A，则Sn
A
A qn.
例题讲an1,的前n项和.
No (2)求和： Sn
1 2
2 4
3 4 8 16
n 2n
.
Image 设 an
n 2n
n
1 2n
，其中n为等差数列，
1 2n
为等比数列，公比为 1 ，利用错位相减法求和.
na1，q 1.
Sn
人教A版数学必修5 2.5.1 等比数列的前n项和(共27张ppt)
解: 根据题意,每年销售量比上一年增加
的百分率相同,所以从第一年起,每年
的销售量组成一个等比数列 an ,
a1 500,0q11% 01.1, Sn 30000
Sn
a1(1 qn ) 1 q
即500(011.1n) 30000 11.1
即1.1n 1.6
两边取 ,得 n 对 lg1.1 数 lg1.6 得n5
问题探索 ：的遐想
求12222324263的值 .
故事问题的实质 ：这 264 -1 粒米的重量是多少哪？ 令 264 x ，则有lg x lg 264 64lg 2 640.301019.264 ,
lg x 19.264 , lg1.84 0.63 ,
答:约5年内可以使总销售量达到30000台.
练习：远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增，
其灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？
这首古诗的答案是什么？
分析：这首古诗前三句给大家展现了一幅美丽的夜景，最后一句把 它变成了一个数学问题？你能用今天的知识求出这首古诗的答案吗？
数解学：建设模尖：头已有知灯等a1比盏数，列则由an题，意公得比：q=2 n=7，S7=381求a1
A. a (1 a n ) B. 0
C. n
a (1
D.
1 a
1
D
a a
）
n)
或0
或n
• 对于有兴趣的同学们一定不要忘了，探讨 一下等比数列的前n项和还有没有其他的推 导方法。
等比数列前n项和公式的其他推导方法
(一) 用等比定理推导
因为 所以
a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3
还可以： SS10S4
湖南省新化县第四中学高中数学《2.51等比数列的前n项和》课件 新人教A版必修5
an 等于什么？
思考5：等比数列有5个相关量，即a1， an，Sn，q，n，已知其中几个量的值就 可以确定其它量的值？
理论迁移
例1 求下列等比数列的前8项的和
（1）1 ，1 ，1 ， ； 248
S8
255 256
（2）a1
27, a9
1 ,q 0 243
S8
1640 81
例2 某商场今年销售计算机5000台， 如果平均每年的销售量比上一年的销售 量增加10%，那么从今年起，大约几年可 使总销售量达到30 000台（结果保留到 个位）?
an a1qn 1 amqn m cqn
3.在等比数列{a }中 am an ap aq
n
am an ap aq
的条件是什么？特别地，a1·an可以等于
什么？
m＋n=p＋q am an ap aq
a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…
4.国际象棋起源于古代印度，据传，国 王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什 么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个 格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放 上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒， 在第4个格子里放上8颗麦粒，依次类推， 每个格子里放的麦粒数都是前一个格子 里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.” 这是一个什么数学问题？国王能满足他 的要求吗？
作业： P58练习：1,2,3 P61习题2.5A组：1.
项公式，Sn可变形为什么？
Sn
a1 anq 1q
a1 an 1 1q
思考3：根据等比数列的定义，有，
a2 a3 a4 a1 a2 a3
an
q
an 1
结合等比定理可以得到什么结论 ?
思考4：等比数列的通项公式可变形为
人教A版高中数学必修五：2.5等比数列的前n项和 课件 (共25张PPT)
Office组件之word2007
八戒吸纳的资金
返还给悟空的钱数
22 33 29 S 2, 22 , 22 , , 2 T30 1 2 3 30 30 1, 2
465 (万元)
=?
以1为首项，2为公比的 等比数列的前30项之和
第一天有１万， 以后每天比前 一天多１万元， 连续一个月(30 天)
⑴－⑵，得 1 q Sn a1 a1q ,
n
探究新知
小练习：判断下列计算是否正确
Office组件之word2007
1 2 2 2 2
2 3 n
1 ( 1 2 ) n1 1 2 4 8 16 (2) 1 (2) n 1 2 n 1 (1 2 )
题号 (1) (2) (3)
a1 ３ ８
q ２
n ６
an
Sn
96
189
1 2
7
6
3
2
127 1 8 8 96 63
a1、q、n、an、Sn中 知三求二
例题讲解 例1.等比数列1, x, x
n
Office组件之word2007
2
, 的前n项和 Sn 为(
n 1 n 1 1 x 1 x 1 x A. B. C. D.以上均不对 1 x 1 x 1 x
2
n 2 S 3 1 ②-①可得： n
n1
n
②
3n 1 Sn 2
探究新知
Office组件之word2007
an 的首项为a1，公比为q, 如何求前n项和Sn呢？ 等比数列
Sn a1 a2 a3 an 2 n 2 n1 Sn a1 a1q a1q a1q a1q .
人教A版高中数学必修五课件2.5.1等比数列的前n项和(二).pptx
n lg1.6 0.20 5(年) lg1.1 0.041
答：约5年可以使总销售量量达到30000台。
例2.为了估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的
区域的面积X，把x轴上的区间[0，3]分成n等份，从各分点作
y 轴的平行线与函数图象相交，再从各交点向左作x轴的平行
线，构成(n-1)个矩形，下面的程序用来计算
解:根据题意 ,每年销售量比上一年增加的百分率
相同,所以,从今年起 ,每年销售量组成一个等比数
列 an,其中 a1 5000 , q 1 10% 1.1, Sn 30000 ,
5000(11.1n ) 30000 即 1.1n 1.6. 1 1.1
两边取对数，得 n lg1.1 lg1.6
这 (n-1)个矩形的面积的和S，请阅读程序，
回答下面的问题： SUM=0
（1）程序中的SUM、 AN分别表示什么，
为什么？
（2）请根据程序分别 计算出当n=6，11，
16时，各个矩形的
k=1 INPUT N WHILE k<=N-1
AN=(9-(k*3/N)^2)*3/N SUM=SUM+AN PRINT k,AN,SUM k=k+1
五、小结
1.等比数列前n项和的性质： 一般地，如果等比数列{an}的前n项和为Sn，则数列 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n ，…仍为等比数列. 公比为qn
2.解数列应用题的关键是：将实际问题抽象成数列模型 通常是等差数列或等比数列
六、作业
P61 A组 2、3
二、练习
1.若等比数列{an
}的公比qຫໍສະໝຸດ 1 3,且a1a3
L
a99
60,
则{an}的前100项和S100 ___8_0___
答：约5年可以使总销售量量达到30000台。
例2.为了估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的
区域的面积X，把x轴上的区间[0，3]分成n等份，从各分点作
y 轴的平行线与函数图象相交，再从各交点向左作x轴的平行
线，构成(n-1)个矩形，下面的程序用来计算
解:根据题意 ,每年销售量比上一年增加的百分率
相同,所以,从今年起 ,每年销售量组成一个等比数
列 an,其中 a1 5000 , q 1 10% 1.1, Sn 30000 ,
5000(11.1n ) 30000 即 1.1n 1.6. 1 1.1
两边取对数，得 n lg1.1 lg1.6
这 (n-1)个矩形的面积的和S，请阅读程序，
回答下面的问题： SUM=0
（1）程序中的SUM、 AN分别表示什么，
为什么？
（2）请根据程序分别 计算出当n=6，11，
16时，各个矩形的
k=1 INPUT N WHILE k<=N-1
AN=(9-(k*3/N)^2)*3/N SUM=SUM+AN PRINT k,AN,SUM k=k+1
五、小结
1.等比数列前n项和的性质： 一般地，如果等比数列{an}的前n项和为Sn，则数列 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n ，…仍为等比数列. 公比为qn
2.解数列应用题的关键是：将实际问题抽象成数列模型 通常是等差数列或等比数列
六、作业
P61 A组 2、3
二、练习
1.若等比数列{an
}的公比qຫໍສະໝຸດ 1 3,且a1a3
L
a99
60,
则{an}的前100项和S100 ___8_0___
第二章等比数列的前n项和(一)学案课件新人教A版必修
2.5（一）
本课栏目开关
练一练·当堂检测、目标达成落实 处
2.5（一）
C
本课栏目开关
练一练·当堂检测、目标达成落实 处
2.5（一）
B
本课栏目开关
练一练·当堂检测、目标达成落实 处
2.5（一）
B
本课栏目开关
练一练·当堂检测、目标达成落实 处
2.5（一）
na1
研一研·问题探究、课堂更高效
2.5（一）
本课栏目开关
na1
本课栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.5（一）
本课栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.5（一）
本பைடு நூலகம்栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.5（一）
本课栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.5（一）
本课栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
第二章等比数列的前n项和 （一）学案课件新人教A版
必修
2.5（一）
本课栏目开关
填一填·知识要点、记下疑难点
2.5（一）
本课栏目开关
na1 错位相减
本课栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.5（一）
研一研·问题探究、课堂更高效
2.5（一）
本课栏目开关
a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn a1－a1qn
2.5（一）
本课栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.5（一）
本课栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.5（一）
本课栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.5（一）
本课栏目开关
2.5等比数列的前n项和课件(人教A版必修5)
探究点四
与等比数列前n项和有关的实际问题
解决等比数列的实际问题的关键是通过仔细审题，
将实际问题转化为数列问题，构造等比数列模型，分清 楚是与通项公式有关，还是与前n项和有关，然后列出算 式计算相应结果．
某企业年初有资金1 000万元，如果该企业经过 生产经营，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣 除消费资金x万元，余下的资金投入再生产．为实现5年 后，资金达到2 000万元(扣除消费资金后)，那么每年年
1 解：第1年投入800万元，第2年投入800×1－5万元，…， 1n－1 第n年投入800×1－5 万元， 1 1n－1 总投入an＝800＋800×1－5＋…＋800×1－5 ＝
[提示] 设出首项a1，公比q，列出方程组，利用整体思想 求出a1、q.
[解 ]
a11＋q＝30， (1)由题意知 2 a11＋q＋q ＝155，
a1＝5， 解得 q＝5
a ＝180， 1 或 5 q＝－ ， 6
5n 1 080[1－－ ] 6 1 n＋1 5 从而 Sn＝ ×5 － 或 Sn＝ . 4 4 11
*
2．求前n项和，通法通解是列方程组，求首项a1和公比q，
但用等比数列的性质，尤其是解决选择、填空题，显
得简捷易行．
等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，求S4.
[提示] 本题应用等比数列的性质求S4更简捷．
[解 ]
法一：∵S2＝7，S6＝91，易知q≠1，
a11＋q＝7， ∴a11－q6 ＝91. 1－q a11＋q1－q1＋q2＋q4 ∴ ＝91. 1－q ∴q4＋q2－12＝0.∴q2＝3. a11－q4 ∴S4＝ ＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28. 1－ q ∴S4＝28.
高中数学人教A版必修5 ：等比数列的前n项和精品课件
况加以讨论；
2、推导公式的方法： 错位相减法
a1、 q、 n、 an、 sn 知三求二
高中数学人教A版必修5第二章：2.5等 比数列 的前n 项和课 件
公式应用：
例1：求等比数列
1 , 1 , 1 , 248
的前8项的和。
解:由 a11 2,q1 41 21 2,n8,得
Sn
1 [1 (1)8] 22
1 1
255 256
2
例2 已知等比数列 an, a127,a9214.3
求前8项的和.
高中数学人教A版必修5第二章：2.5等 比数列 的前n 项和课 件
高中数学人教A版必修5第二章：2.5等 比数列 的前n 项和课 件
课堂练习 ：
P58 第1、2题
性质：
Sn为等比数n项 列和 前，则 Sn,S2n Sn,S3n S2n,仍是等比数列 （注：所Sn有 ,S2n的 Sn,S3n S2n,均不等 0.） 于
①-② ，得
(1 q )S n a 1 0 0 a 1 q n (1q)Sna1a1qn
高中数学人教A版必修5第二章：2.5等 比数列 的前n 项和课 件
Sn
a1(1na1qn 1q
(q )
1) (q 1)
q 1时:
Sn
a1a1qn 1q
a1anq 1q
注意：
1、使用公式求和时，需注意对 q 1 和 q 1 的情
国王赏麦的故事
1 2 2 2 2 3 2 6 3
S 6 41 2 4 8 2 6 22 63 ①
2 S 6 42 4 8 2 6 2 2 6 3 2 6②4
②—① ，得
S 6 4 1 0 0 0 0 0 02 64
中间各 数均为0
2、推导公式的方法： 错位相减法
a1、 q、 n、 an、 sn 知三求二
高中数学人教A版必修5第二章：2.5等 比数列 的前n 项和课 件
公式应用：
例1：求等比数列
1 , 1 , 1 , 248
的前8项的和。
解:由 a11 2,q1 41 21 2,n8,得
Sn
1 [1 (1)8] 22
1 1
255 256
2
例2 已知等比数列 an, a127,a9214.3
求前8项的和.
高中数学人教A版必修5第二章：2.5等 比数列 的前n 项和课 件
高中数学人教A版必修5第二章：2.5等 比数列 的前n 项和课 件
课堂练习 ：
P58 第1、2题
性质：
Sn为等比数n项 列和 前，则 Sn,S2n Sn,S3n S2n,仍是等比数列 （注：所Sn有 ,S2n的 Sn,S3n S2n,均不等 0.） 于
①-② ，得
(1 q )S n a 1 0 0 a 1 q n (1q)Sna1a1qn
高中数学人教A版必修5第二章：2.5等 比数列 的前n 项和课 件
Sn
a1(1na1qn 1q
(q )
1) (q 1)
q 1时:
Sn
a1a1qn 1q
a1anq 1q
注意：
1、使用公式求和时，需注意对 q 1 和 q 1 的情
国王赏麦的故事
1 2 2 2 2 3 2 6 3
S 6 41 2 4 8 2 6 22 63 ①
2 S 6 42 4 8 2 6 2 2 6 3 2 6②4
②—① ，得
S 6 4 1 0 0 0 0 0 02 64
中间各 数均为0
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2.等比数列的通项公式是什么？
an = a1qn- 1 = amqn- m = cqn
3.在等比数列{a }中 am an ap aq
n
am an ap aq
的条件是什么？特别地，a1·an可以等于
什么？
m＋n=p＋q am an ap aq
a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…
n = lg1.6 换 0.2 5年 lg1.1 0.041
小结作业
1. “错位相减法”不仅可以推导等比数 列求和公式，而且可以用来求一类特殊 数列的和.
2.
Sn
=
a1(1 1-
qn ) =
q
a1 - anq (q ? 1- q
1) 是等比数
列前n项和的两个基本公式,应用时一般
用前一个公式.
3.利用方程思想和等比数列前n项和公式， 可以求等比数列的首项、公比和项数 .
Sn = 2n - 1
思考4：上述算法叫做错位相减法 .一般 地，设等比数列{an}的公比为q,前n项和 为Sn，利用错位相减法如何求Sn？所得 结果如何？
S n = a1 + a1q + a1q2 + L + a1qn- 1
qSn =
a1q + a1q2 + L + a1qn- 1 + a1qn
Sn
=
a1(1 1-
qn ) q
思考5：S n
=
a1(1 1-
qn ) q
就是等比数列
的前n项和公式，这个公式的使用条件
是什么 ?
q≠1
思考6：当q＝1时，如何求Sn？
Sn
=
ìïïïïíïïïïî
na1
a1(1 1-
(q = qn ) (q ¹ q
1) 1)
知识探究（二）：求和公式的变通
思考1：S n
知识探究（一）：求和公式的推导
思考1：设S64=1+2+4+8+…+263,那么2S64 的表达式如何？
2S 64 = 2 + 4 + 8 + L + 263 + 264
思考2：S64与2S64的表达式中有许多相同 项，你有什么办法消去这些相同项？所 得结论如何？
S 64 = 264 - 1
思考3：上述算法实际上解决了求等比数 列1，2，4，8…，2n-1，…前64项的和， 利用这个算法，1＋2＋4＋8 ＋ …＋2n-1 等于什么？
理论迁移
例1 求下列等比数列的前8项的和
（1）1 ，1 ，1 ，L ； 248
S8
=
255 256
（2）a1 =
27, a9
ห้องสมุดไป่ตู้
=
1 ,q < 243
0
1640 S 8 = 81
例2 某商场今年销售计算机5000台， 如果平均每年的销售量比上一年的销售 量增加10%，那么从今年起，大约几年可 使总销售量达到30 000台（结果保留到 个位）?
=
a1(1 1-
qn ) q
=
a1(qn - 1) q- 1
当q＞1和q＜1时，分别使用哪个公式更 方便？
思考2：当公比q≠1时，结合等比数列通
项公式，Sn可变形为什么？
Sn
=
a1 1-
anq q
=
a1 - an+ 1 1- q
思考3：根据等比数列的定义，有，
a2 = a3 = a4 = L an = q
4.国际象棋起源于古代印度，据传，国 王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什 么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个 格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放 上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒， 在第4个格子里放上8颗麦粒，依次类推， 每个格子里放的麦粒数都是前一个格子 里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.” 这是一个什么数学问题？国王能满足他 的要求吗？
2.5 等比数列的前n项和 第一课时
问题提出
t
p
1 2
5730
1.等比数列的内涵特征是什么？ 如何用 递推公式描述？
从第2项起，每一项与它的前一项的比等 于同一个常数.
a n = q(n ? 2) an- 1
或an－1·an＋1＝ an2(n≥2).
am an ap aq
作业： P58练习：1,2,3 P61习题2.5A组：1.
a1 a2 a3
an- 1
结合等比定理可以得到什么结论 ?
思考4：等比数列的通项公式可变形为
an
=
a1qn- 1(1 1- q
q) =
a1qn- 1 1- q
a1qn 1- q
据此，a1 + a2 + L + an 等于什么？
思考5：等比数列有5个相关量，即a1， an，Sn，q，n，已知其中几个量的值就 可以确定其它量的值？
an = a1qn- 1 = amqn- m = cqn
3.在等比数列{a }中 am an ap aq
n
am an ap aq
的条件是什么？特别地，a1·an可以等于
什么？
m＋n=p＋q am an ap aq
a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…
n = lg1.6 换 0.2 5年 lg1.1 0.041
小结作业
1. “错位相减法”不仅可以推导等比数 列求和公式，而且可以用来求一类特殊 数列的和.
2.
Sn
=
a1(1 1-
qn ) =
q
a1 - anq (q ? 1- q
1) 是等比数
列前n项和的两个基本公式,应用时一般
用前一个公式.
3.利用方程思想和等比数列前n项和公式， 可以求等比数列的首项、公比和项数 .
Sn = 2n - 1
思考4：上述算法叫做错位相减法 .一般 地，设等比数列{an}的公比为q,前n项和 为Sn，利用错位相减法如何求Sn？所得 结果如何？
S n = a1 + a1q + a1q2 + L + a1qn- 1
qSn =
a1q + a1q2 + L + a1qn- 1 + a1qn
Sn
=
a1(1 1-
qn ) q
思考5：S n
=
a1(1 1-
qn ) q
就是等比数列
的前n项和公式，这个公式的使用条件
是什么 ?
q≠1
思考6：当q＝1时，如何求Sn？
Sn
=
ìïïïïíïïïïî
na1
a1(1 1-
(q = qn ) (q ¹ q
1) 1)
知识探究（二）：求和公式的变通
思考1：S n
知识探究（一）：求和公式的推导
思考1：设S64=1+2+4+8+…+263,那么2S64 的表达式如何？
2S 64 = 2 + 4 + 8 + L + 263 + 264
思考2：S64与2S64的表达式中有许多相同 项，你有什么办法消去这些相同项？所 得结论如何？
S 64 = 264 - 1
思考3：上述算法实际上解决了求等比数 列1，2，4，8…，2n-1，…前64项的和， 利用这个算法，1＋2＋4＋8 ＋ …＋2n-1 等于什么？
理论迁移
例1 求下列等比数列的前8项的和
（1）1 ，1 ，1 ，L ； 248
S8
=
255 256
（2）a1 =
27, a9
ห้องสมุดไป่ตู้
=
1 ,q < 243
0
1640 S 8 = 81
例2 某商场今年销售计算机5000台， 如果平均每年的销售量比上一年的销售 量增加10%，那么从今年起，大约几年可 使总销售量达到30 000台（结果保留到 个位）?
=
a1(1 1-
qn ) q
=
a1(qn - 1) q- 1
当q＞1和q＜1时，分别使用哪个公式更 方便？
思考2：当公比q≠1时，结合等比数列通
项公式，Sn可变形为什么？
Sn
=
a1 1-
anq q
=
a1 - an+ 1 1- q
思考3：根据等比数列的定义，有，
a2 = a3 = a4 = L an = q
4.国际象棋起源于古代印度，据传，国 王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什 么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个 格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放 上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒， 在第4个格子里放上8颗麦粒，依次类推， 每个格子里放的麦粒数都是前一个格子 里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.” 这是一个什么数学问题？国王能满足他 的要求吗？
2.5 等比数列的前n项和 第一课时
问题提出
t
p
1 2
5730
1.等比数列的内涵特征是什么？ 如何用 递推公式描述？
从第2项起，每一项与它的前一项的比等 于同一个常数.
a n = q(n ? 2) an- 1
或an－1·an＋1＝ an2(n≥2).
am an ap aq
作业： P58练习：1,2,3 P61习题2.5A组：1.
a1 a2 a3
an- 1
结合等比定理可以得到什么结论 ?
思考4：等比数列的通项公式可变形为
an
=
a1qn- 1(1 1- q
q) =
a1qn- 1 1- q
a1qn 1- q
据此，a1 + a2 + L + an 等于什么？
思考5：等比数列有5个相关量，即a1， an，Sn，q，n，已知其中几个量的值就 可以确定其它量的值？