高中数学 1.2.1.2 三角函数在各象限中的符号同步课件

x 17
，
tanα<0，求x的值．
解析 由tanα＝8x<0，则x<0. sinα＝ 82x＋x2＝1x7，∴82＋x2＝172. ∴x2＝225，∴x＝－15.
∴r＝
－54m2＋53m2＝|m1 |＝－m1 .
∴sinα＝yr＝－35，cosα＝45，
∴sinα＋cosα＝15.
规律技巧 根据三角函数值在各象限中的符号确定点 P 所 在的象限，另外如果已知角终边上的一点坐标，一般可用三角 函数的定义计算各三角函数值.
变式训练2 已知stainnαα＋＋ccsoctαα＜0，求α所在的象限．
例2 角α的终边上存在一点P－54m，53m，且ctaonsαα＜0，求
sinα＋cosα的值．
剖析
应先根据点P的坐标特点以及
cosα tanα
＜0来确定点P所
在的象限，即确定实数m的取值范围，再利用三角函数的定义
进行求解 .
解析 ∵ctaonsαα＜0，又－54m与53m异号，
所以α是第四象限角，所以m＜0.
2．三角函数符号的记忆口诀 三角函数在各象限的符号可简记为“全正切余”，即按象 限依次为：第一象限全为正；第二象限正弦为正；第三角限正 切为正；第四象限余弦为正．至于余切、正割、余割由三角函 数的定义可知它们分别为正切、余弦、正弦的倒数，因此也就 分别与它们的符号相同.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1 确定下列三角函数值的符号： (1)cos250°； (2)sin－4π； (3)tan(－672°)． 剖析 首先要确定所涉及到的角所在的象限，然后再根据
各三角函数在各象限的符号，即可判定所给三角函数值的符 号．
解析 (1)∵250°是第三象限角，∴cos250°＜0. (2)∵－π4是第四象限角，∴sin－π4＜0. (3)∵－672°＝－2×360°＋48°，而48°是第一象限角， ∴－672°是第一象限角．∴tan(－672°)＞0.
的符号相同，因此
当α是第一、二 象限的角时，sinα>0；当α是第三、四象限的角
时，sinα<0.
2．cosα＝xr，r>0，于是cosα的符号与 x 的符号相同，因此 当α是 第一、四 象限的角时，cosα>0；当α是第二、三象限的角 时，cosα<0.
3．tanα＝yx，当x与y同号时，它的比值为 正 ，当x与y异号 时，它的比值为 负 ，因此当α为 第一、三 象限的角时， tanα>0；当α为 第二、四象限的角时，tanα<0.
解析 cosα>0，则α是第一、四象限角或α的终边在x轴的正 半轴；tanα<0，则α是第二、四象限角．∵α满足cosα>0， tanα<0，∴α是第四象限角，故选D.
答案 D
3．若θ是第二象限角，则( ) A．sinθ2>0 B．cosθ2<0 C．tanθ2>0 D．以上均不对
解析 ∵θ是第二象限角，∴2kπ＋π2<θ<2kπ＋π，k∈Z. ∴kπ＋π4<θ2<kπ＋2π，k∈Z. ∴θ2是第一、三象限角，∴tanθ2>0.
规律技巧 当涉及到的角的绝对值较大时，可以在0°～ 360°范围内或[0,2π)内找到与它终边相同的角来确定该角所在 的象限，进而确定所求．
变式训练1 判断下列三角函数值的正负： (1)sin1125°； (2)cos(－1230°)；
2011π (3)tan 6 .
解析 (1)∵1125°＝1080°＋45°， ∴1125°是第一象限角，∴sin1125°>0. (2)∵－1230°＝－4×360°＋210°， ∴－1230°是第三象限角，∴cos(－1230°)<0. (3)∵20611π＝334π＋76π， ∴20611π是第三象限角，∴tan20611π>0.
解析 在α角终边上任取一点P(x，y)，|PO|＝r. 则sinα＝yr，cscα＝yr，tanα＝yx，cotα＝xy. ∵stainnαα＋＋ccsoctαα<0，∴yyxr＋ ＋yxyr<0，
∵yr与yr同号，yx与yx同号． ∴只需要yr与xy异号， ∴sinα·tanα<0， ∴α所在象限为第二或第三象限．
思考探究 确定一个角的某一三角函数值的符号，关键是什么？ 提示 关键先判断角是哪一象限角，再根据符号法则判断 三角函数值的正负.
自测自评
1.cos3的值( )
A．小于0
B．大于0
C．等于0
D．无法确定
解析 π2<3<π，∴3是第二象限角，∴cos3<0. 答案 A
2．若cosα>0，且tanα<0，则α是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
例3 已知角α的终边上一点P(3a－9，a＋2)，且 cosα≤0，sinα>0，求实数a的取值范围．
剖析 P(x，y)是α的终边上一点，cosα≤0， 则x≤0；sinα>0，则y>0.
解析 由题意可知，3a－9≤0，a＋2>0， ∴a≤3且a>－2. ∴－2<a≤3.
变式训练3
已知角α的终边上一点P(8，x)，且sinα＝
答案 C
பைடு நூலகம்
4．若三角形的两内角α，β满足sinα·cosβ<0，则此三角形 必为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
解析 由条件知α，β∈(0，π)，∴sinα>0，又 sinα·cosβ<0，∴cosβ<0，∴β必为钝角，故三角形必为钝角三 角形．
答案 B
名师点拨 1.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1.2 任意角的三角函数
1．2.1 三角函数的定义
第二课时 三角函数在各象限中的符号
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 理解并熟练掌握三角函数在各象限的符号.
自学导航
三角函数值的符号
1．sinα＝
y r
，r>0，于是sinα的符号与
y