甘肃省武威第十八中学2017-2018学年人教A版高二数学必修五第三章不等式单元测试(含精品解析)

必修5第三章《不等式》单元检测
选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的)
1.1.下列命题中正确的是( )
A. a＞b⇒ac2＞bc2
B. a＞b⇒a2＞b2
C. a＞b⇒a3＞b3
D. a2＞b2⇒a＞b
【答案】C
【解析】
试题分析：对于选项A,根据不等式的性质，只有c>0时，能成立，故错误
选项B中，当a=0,b=-1,时，此时a>b，但是不满足平方后的a2>b2，成立，故错误。

选项D中，因为当a2>b2时，比如a=-2,b=0,的不满足a>b，故错误，排除法只有选C.
考点：本试题主要考查了不等式的性质的运用。

点评：解决该试题的关键是注意可乘性的运用。

只有同时乘以正数不等号方向不变。

2.2.设M＝2a(a－2)＋3，N＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有( )
A. M＞N
B. M≥N
C. M＜N
D. M≤N
【答案】B
【解析】
试题分析：恒成立，所以．故A正确．
考点：作差法比较大小．
3.3.当|x|≤1时，函数y＝ax＋2a＋1的值有正也有负，则实数a的取值范围是( )
A. a≥－
B. a≤－1
C. －1<a<－
D. －1≤a≤－
【答案】C
【解析】
由已知可得，故选C.
4.4.二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－1<x<}，则ab的值为( )
A. －6
B. 6
C. －5
D. 5
【答案】B
【解析】
由题意知a＜0，－1与是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，所以－1＋＝－，(－1)×＝，解得a＝－3，b ＝－2，所以ab＝6.选B.
5.5.已知全集U＝R，且A＝{x||x－1|＞2}，B＝{x|x2－6x＋8＜0}，则(∁U A)∩B等于( )
A. [－1,4)
B. (2,3)
C. (2,3]
D. (－1,4)
【答案】C
【解析】
考点：元素与集合关系的判断．
专题：计算题．
分析：先解绝对值不等式求出集合A，再求出其补集，解一元二次不等式解出集合B，然后利用集合交集的定义求出即可．
解答：解：A={x|x＞3或x＜-1}，C U A={x|-1≤x≤3}
B={x|2＜x＜4}，
∴（C U A）∩B=（2，3]，
故答案为C．
点评：本题主要考查了集合的运算，属于以不等式为依托，求集合的交集、补集的基础题，也是高考常会考的题型．
6.6.函数y＝(x＜0)的值域是( )
A. (－1,0)
B. [－3,0)
C. [－3,1]
D. (－∞，0)
【答案】B
【解析】
【分析】
先把函数变形得y＝，再利用基本不等式求函数的最值即得函数的值域.
【详解】y＝，∵x＜0，
∴－x＞0且y＜0，
∴x＋＝－(－x＋)≤－2，
∴y＝≥－3，当且仅当x＝－1时等号成立．
所以函数的值域为[－3,0).
故答案为：B
【点睛】（1）本题主要考查基本不等式，意在考查学生对该基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 使用基本不等式求最值时，要注意观察收集题目中的数学信息（正数、定值等），然后变形，配凑出基本不等式的
条件.解答本题的关键是先变形y＝.
7.7.当x≥0时，不等式(5－a)x2－6x＋a＋5>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. (－∞，4)
B. (－4,4)
C. [10，＋∞)
D. (1,10]
【答案】B
【解析】
【分析】
一般选择特殊值验证法，取a=10,排除C,D,取a=-4,排除A,故选择B.
【详解】用特殊值检验法，取a＝10，则不等式为－5x2－6x＋15＞0，即5x2＋6x－15＜0，当x≥0取x=2时，17＞0，所以不等式(5－a)x2－6x＋a＋5>0不恒成立，排除C，D，取a＝-4，不等式为9x2－6x＋1>0，当x≥0取x=时，0＞0不恒成立，所以排除A.
故答案为：B
【点睛】(1)本题主要考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题可以选择直接法解答，但是比较复杂，由于是一个选择题，所以可以选择特殊值验证法比较简洁.
8.8.若0＜α＜β＜，sin α＋cos α＝a，sin β＋cos β＝b，则( )
A. a＜b
B. a＞b
C. ab＜1
D. ab＞2
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用作差法比较的大小，再比较a,b的大小关系.
【详解】∵0＜α＜β＜，
∴0＜2α＜2β＜且0＜sin 2α＜sin 2β，
∴a2＝(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α，
b2＝(sinβ＋cosβ)2＝1＋sin2β，
∴a2－b2＝(1＋sin2α)－(1＋sin2β)，
＝sin2α－sin2β＜0，
∴a2＜b2.
又∵a＝sinα＋cosα＞0，b＝sinβ＋cosβ＞0，
∴a＜b.
【点睛】(1)本题主要考查实数大小的比较，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较实数大小，常用的有作差法和作商法，本题的关键是首先要想到比较的大小.
9.9.(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面区域为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简不等式得到或，再分别作出它们对应的可行域即得解.
【详解】由题得或.
先作出不等式对应的可行域，是选项B中上面的一部分，
再作出对应的可行域，是选项B中下面的一部分,
故答案为：B
【点睛】(1)本题主要考查不等式对应的可行域，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)解题的关键是由已知的不等式得到或.
10.10.若a>0，b>0，则不等式－b<<a等价于( )
A. －<x<0或0<x<
B. －<x<
C. x<－或x>
D. x<－或x>
【答案】D
【解析】
试题分析：根据题意分类讨论，当时，只需，所以，当时，只需，所以，因此的解是或，故选D．
考点：1、分式不等式；2、分类讨论；3、不等式的恒成立．
11.11.对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. [－2，＋∞)
B. (－∞，－2)
C. [－2,2]
D. [0，＋∞)
【答案】A
【解析】
试题分析：根据题意，分2种情况讨论；
①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；
②x≠0时，原式可化为a|x|≥-（+1），即a≥-（|x|+）；
又由|x|+≥2，则-（|x|+）≤-2；
要使不等式+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥-2即可；
综上可得，a的取值范围是[-2，+∞）；
考点：函数恒成立问题
12.12.函数y＝f(x)的图象是以原点为圆心、1为半径的两段圆弧，如图所示．则不等式f(x)>f(－x)＋x的解集为( )
A. ∪(0,1]
B. [－1,0)∪
C. ∪
D. ∪
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的图象可知，函数y=f（x）是奇函数，则不等式f（x）＞f（﹣x）+x等价为f（x）＞﹣f（x）+x，即2f（x）＞x成立．解不等式即可．
【详解】函数的图象可知，函数y=f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），
所以不等式f（x）＞f（﹣x）+x等价为f（x）＞﹣f（x）+x，即f（x）．
对应圆的方程为x2+y2=1，联立直线y=得，x=，
所以由图象可知不等式f（x）＞f（﹣x）+x的解集为[﹣1，﹣）∪（0，）．
故答案为：C
【点睛】(1)本题主要考查函数奇偶性的应用，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理数形结合能力.（2利用图象的对称性判断函数是奇函数是解决本题的关键，然后利用直线与圆的方程解方程即可．
二、填空题(本大题共4小题，把答案填在题中横线上)
13.13.设点P(x，y)在函数y＝4－2x的图象上运动，则9x＋3y的最小值为________．
【答案】18
【解析】
因为2x+y=4,所以,
当x=1,y=2时取得最小值，最小值为18.
14.14.已知不等式的解集为{x|x＜1或x＞2}，则a＝________.
【答案】
【解析】
，得或，
又解为或，
则。

15.15.设实数x，y满足则u＝的取值范围是________．
【答案】[－，]
【解析】
试题分析：令，作出可行域，可知可视为，连线的斜率，且为关于的增函数，所以.
考点：1.线性规划；2.函数的单调性.
【方法点晴】本题主要考查学生的是线性规划的基本知识和复合函数的单调性的应用,属于基础题目.首先要画出约束条件的可行域,画图时注意观察题中不等式的端点是否有等号,画出的直线有实虚之分,再求出可行域中各交点坐标,根据目标函数的集合意义,先求出斜率的取值范围,代入函数中转化为单调函数的定义域,从中求出值域.
16.16.已知点A(5，5)，过点A的直线l：x＝my＋n(n>0)，若可行域的外接圆的直径为20，则实数n的值是________．
【答案】10
【解析】
三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.17.已知a>0，b>0，且a≠b，比较与a＋b的大小．
【答案】>a＋b.
【解析】
试题分析：作差法比较大小，，
,,所以p-q,
考点：利用不等式比较大小
18.18.求z＝3x－2y的最大值和最小值，式中的x，y满足条件
【答案】z max＝0，z min＝－14.
【解析】
【分析】
先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析求得z＝3x－2y的最大值和最小值.
【详解】作出可行域如图
作一组与3x－2y＝0平行的直线l，当l过C时，z最大，l过B时，z最小．
又得B(－4,1)；
由得C(2,3)．
所以z max＝3×2－2×3＝0，z min＝3×(－4)－2×1＝－14.
【点睛】（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析解答推理能力.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距
为,所以纵截距最小时，最大.
19.19.若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，]成立，求a的取值范围．
【答案】a≥－
【解析】
【分析】
先把不等式化为a≥－(x＋)，再求函数g(x)＝－(x＋)，x∈(0，]的最大值，即得a的取值范围．
【详解】原不等式x2＋ax＋1≥0可化为a≥－(x＋)，
设g(x)＝－(x＋)，因为g(x)在(0，]内单调递增，
所以g(x)在(0，]内的最大值是g()＝－，
要使不等式恒成立当且仅当a≥－.
【点睛】（1）本题主要考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答参数问题常用的有分离参数法和分类讨论法，本题利用的是分离参数法.
20.20.某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐8吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5000元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
【答案】生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元．
【解析】
【分析】
设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮能够产生利润z万元，列出线性约束条件，再利用线性规划求解. 【详解】设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮能够产生利润z万元．
目标函数为z＝x＋0.5y，
约束条件为：，
可行域如图中阴影部分的整点．
当直线y＝－2x＋2z经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大．
解方程组得：M点坐标为(2,2)．
所以z max＝x＋0.5y＝3.
所以生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元．
【点睛】(1)本题主要考查线性规划的应用，意在考查学生对该知识的掌握水平和应用能力.(2)线性规划问题步骤如下：①根据题意，设出变量；②列出线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；⑤利用线性目标函数作平行直线系；⑥观察图形，找到直线在可行域上使取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.
21.21.整改校园内一块长为15 m，宽为11 m的长方形草地(如图A)，将长减少1 m，宽增加1 m(如图B)．问草地面积是增加了还是减少了？假设长减少x m，宽增加x m(x>0)，试研究以下问题：
x取什么值时，草地面积减少？
x取什么值时，草地面积增加？
【答案】见解析
【解析】
【分析】
先计算原草地的面积和整改后的草地面积，即得草地面积增加了. 设减少x m，宽增加x m后，计算出新草地的面积，再比较和原草地面积的大小，即得x取什么值时，草地面积减少,
x取什么值时，草地面积增加.
【详解】原草地面积S1＝11×15＝165(m2)，
整改后草地面积为：S＝14×12＝168(m2)，
∵S>S1，∴整改后草地面积增加了．
研究：长减少x m，宽增加x m后，草地面积为：
S2＝(11＋x)(15－x)，
∵S1－S2＝165－(11＋x)(15－x)＝x2－4x，
∴当0<x<4时，x2－4x<0，∴S1<S2；
当x＝4时，x2－4x＝0，∴S1＝S2.
当x>4时，x2－4x>0，∴S1>S2.
综上所述，当0<x<4时，草地面积增加，
当x＝4时，草地面积不变，
当x>4时，草地面积减少．
【点睛】本题主要考查实数大小的比较，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
22.22.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足：对任意实数x，都有f(x)≥x，且当x∈(1,3)时，有f(x)≤(x＋2)2成立．
(1)证明：f(2)＝2；
(2)若f(－2)＝0，求f(x)的表达式；
(3)设g(x)＝f(x)－x，x∈[0，＋∞)，若g(x)图象上的点都位于直线y＝的上方，求实数m的取值范围．【答案】（1）见解析（2）f(x)＝x2＋x＋.（3）m∈(－∞，1＋)．
【解析】
【分析】
（1）由题得，所以f(2)=2.（2）由f(2)=2，f(－2)＝0得到a,b,c的方程组，再根据f(x)≥x恒成立得到ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立，即a>0.Δ＝(－1)2－4a(1－4a)≤0，解出a,b,c的值即得f(x)的表达式.(3)
先转化为x2＋4(1－m)x＋2>0在x∈[0，＋∞)恒成立，再利用二次函数的图像数形结合分析得到m的取值范围.
【详解】(1)证明：由条件知：
f(2)＝4a＋2b＋c≥2恒成立．
又因取x＝2时，f(2)＝4a＋2b＋c≤(2＋2)2＝2恒成立，∴f(2)＝2.
(2)因，
∴4a＋c＝2b＝1.
∴b＝，c＝1－4a.
又f(x)≥x恒成立，即ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立．
∴a>0.Δ＝(－1)2－4a(1－4a)≤0，
解出：a＝，b＝，c＝.
∴f(x)＝x2＋x＋.
(3)g(x)＝x2＋(－)x＋>在x∈[0，＋∞)必须恒成立．
即x2＋4(1－m)x＋2>0在x∈[0，＋∞)恒成立，
①Δ<0，即[4(1－m)]2－8<0.
解得：1－<m<1＋.
②解得：m≤1－，
综上m∈(－∞，1＋)．
【点睛】(1)本题主要考查二次不等式的恒成立问题，考查二次函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答第3问的关键是通过数形结合分析得到Δ<0或
.。