【北师大版】同步优化探究理数练习：第八章 第五节 椭 圆(含解析)

课时作业 A 组——基础对点练
1、已知椭圆x 225＋y 2
m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( ) A 、2 B 、3 C 、4
D 、9
解析：由4＝25－m 2(m >0)⇒m ＝3，故选B. 答案：B
2、方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A 、k >4 B 、k ＝4 C 、k <4
D 、0<k <4
解析：方程kx 2
＋4y 2
＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，即方程x 24＋y 2
k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，可得0<k <4，故选D. 答案：D
3、已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝1
2，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A.x 24＋y 2
3＝1 B.x 28＋y 2
6＝1 C.x 22＋y 2
＝1
D.x 24＋y 2
＝1
解析：依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以
c ＝1，又离心率e ＝c a ＝1
2，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 2
3＝1，故选A. 答案：A
4、椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则此椭圆的离心率为( ) A.12
B.55
C.14
D.5－2
解析：由题意可得2|F 1F 2|＝|AF 1|＋|F 1B |，即4c ＝a －c ＋a ＋c ＝2a ，故e ＝c a ＝1
2. 答案：A
5、已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π
4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( ) A.12 B.22 C 、1 D. 2
解析：如图，假设F 1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的点，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝
2c ，又∠F 1PF 2＝π
4，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos π4，化简得，(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2
，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，∴2－2e 21＋2＋2e 22＝4，又2－2e 21＋2＋2e 22
≥2
2－2e 21·2＋2e 22＝22
e 1·e 2
， ∴22e 1·e 2≤4，即e 1·e 2≥22，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22.故选B. 答案：B
6、若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 、
解析：将椭圆的方程化为标准形式得y 22k ＋x 2
2＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y
轴上的椭圆，所以2
k >2，解得0<k <1. 答案：(0，1)
7、若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2
a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a
＝ .
解析：由题可知c ＝2.①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22，解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a )＝22，解得a ＝8.故实数a ＝4或8. 答案：4或8
8、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于1
3，其焦点分别为A ，B .C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin B
sin C 的值等于 、 解析：在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA |＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e ＝3.
答案：3
9、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－
c ，0)，F 2(c ，0)，过F 2作垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，满足|AF 2|＝3
6c . (1)求椭圆C 的离心率；
(2)M ，N 是椭圆C 短轴的两个端点，设点P 是椭圆C 上一点(异于椭圆C 的顶点)，直线MP ，NP 分别和x 轴相交于R ，Q 两点，O 为坐标原点、若|OR →|·|OQ →|＝4，求椭圆C 的方程、
解析：(1)∵点A 的横坐标为c ， 代入椭圆，得c 2a 2＋y 2
b 2＝1. 解得|y |＝b 2a ＝|AF 2|，即b 2a ＝3
6c ， ∴a 2－c 2＝3
6ac .
∴e 2＋36e －1＝0，解得e ＝3
2. (2)设M (0，b )，N (0，－b )，P (x 0，y 0)，
则直线MP 的方程为y ＝y 0－b
x 0x ＋b .
令y ＝0，得点R 的横坐标为
bx 0
b －y 0
. 直线NP 的方程为y ＝y 0＋b
x 0x －b .
令y ＝0，得点Q 的横坐标为
bx 0
b ＋y 0
. ∴|OR →|·|OQ →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2x 20b 2－y 20＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a 2b 2－a 2y 2
0b 2－y 20＝a 2＝4，
∴c 2＝3，b 2＝1，
∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2
＝1.
10、(2018·沈阳模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中e ＝1
2，焦距为2，过点M (4，
0)的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，点B 在A ，M 之间、又线段AB 的中点的横坐标为47，且AM →＝λMB →
. (1)求椭圆C 的标准方程、 (2)求实数λ的值、
解析：(1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2
＝a 2
－c 2
＝3，椭圆的标准方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由题意可知A ，B ，M 三点共线， 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)、
若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝4，不合题意、 则AB 所在直线l 的斜率存在，设为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x －4)、 由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝k (x －4)，x 24＋y 2
3
＝1，
消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.①
由①的判别式Δ＝322k 4－4(4k 2＋3)·(64k 2－12)＝144(1－4k 2)>0，
解得k 2<1
4，且⎩⎪⎨
⎪⎧
x 1＋x 2＝32k 2
4k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3.
由x 1＋x 22＝16k 23＋4k 2＝47，可得k 2
＝
18， 将k 2＝1
8代入方程①，得7x 2－8x －8＝0. 则x 1＝
4－627，x 2＝4＋62
7.
又因为AM →＝(4－x 1，－y 1)，MB →
＝(x 2－4，y 2)， AM →＝λMB →
，所以λ＝4－x 1x 2－4
，所以λ＝－9－427.
B 组——能力提升练
1、(2018·合肥市质检)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2
＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1
k 2的取值范围为( )
A 、(1，6)
B 、(1，5)
C 、(3，6)
D 、(3，5)
解析：由于椭圆M ：x 2a 2＋y 2
＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎨⎧
a 2>6－a 2，6－a 2
>1，
解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0x
a 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2
，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2
，所以k 1k 2
∈
(3，5)，故选D. 答案：D
2、已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2
c ，若椭
圆上存在点M 使得
sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1
c
，则该椭圆离心率的取值范围为 ( )
A 、(0，2－1)
B 、(2
2，1) C 、(0，2
2)
D 、(2－1，1)
解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|
sin ∠MF 2F 1，
而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ，
∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝a
c .①
又M 是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1上一点， F 1，F 2是该椭圆的焦点， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②
由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a 2
a ＋c .
显然，|MF 2|>|MF 1|，
∴a －c <|MF 2|<a ＋c ，即a －c <2a 2
a ＋c <a ＋c ，
整理得c 2＋2ac －a 2>0，∴e 2＋2e －1>0， 解得e >2－1，又e <1，∴2－1<e <1，故选D. 答案：D
3、已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 2
2＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为 、
解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
则x 214＋y 21
2＝1，① x 224＋y 2
2
2＝1，②
①－②得
(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)
2
＝0，
∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，
∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－1
2.
∴此弦所在的直线方程为y －1＝－1
2(x －1)， 即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝0
4、已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0<x 20
2＋y 20<1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是 、
解析：由点P (x 0，y 0)满足0<x 20
2＋y 20<1，可知P (x 0，y 0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a ＝2，b ＝1，所以由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|<2a ＝22，当P (x 0，y 0)与F 1或F 2重合时，|PF 1|＋|PF 2|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|＝2，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2，22)、 答案：[2，22)
5、(2018·保定模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝3
2，a ＋b ＝3. (1)求椭圆C 的方程、
(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值、 解析：(1)因为e ＝32＝c
a ， 所以a ＝
23c ，b ＝1
3
c .代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
＝1.
(2)证明：因为B (2，0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －
2)⎝ ⎛
⎭
⎪⎫k ≠0，k ≠±12，① 把①代入x 24＋y 2
＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2
＋1，－4k 4k 2＋1. 直线AD 的方程为y ＝1
2x ＋1.② ①与②联立解得M ⎝
⎛⎭
⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1. 由D (0，1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－2
4k 2
＋1，－4k 4k 2＋1，N (x ，0)三点共线知 －4k
4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1
－0＝0－1x －0，得N
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4k －22k ＋1，0. 所以MN 的斜率为m ＝4k
2k －1
－04k ＋22k －1－
4k －2
2k ＋1
＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝
2k ＋1
4， 则2m －k ＝2k ＋12－k ＝1
2(定值)、。