极限与MatLab

极限与MatLab
周后卿;周琪
【摘要】探讨MatLab在求解极限中的作用,主要是利用MatLab做出函数图形,从而借助图形帮助学生直观了解函数在某一点的极限.特别针对一些较为复杂的函数
的极限求解,利用MatLab作图会收到令人满意的效果.
【期刊名称】《现代计算机（专业版）》
【年(卷),期】2013(000)012
【总页数】4页(P49-51,58)
【关键词】MatLab;极限;函数
【作者】周后卿;周琪
【作者单位】湖南邵阳学院数学系,邵阳422000;湖南农业大学经济学院,长沙410128
【正文语种】中文
极限在高等数学中占有非常重要的地位，是微积分的基础。

对于求极限问题，文献中一般会罗列出很多解题方法：利用等价无穷小量替换，高阶无穷小量的性质，极限存在准则，两个重要极限，罗必塔法则，泰勒展开式，等等，有时也利用导数的定义，定积分的定义来求。

而利用等价无穷小量替换求极限是比较常用的一个方法，使得被求函数能有效化简，进而求出函数的极限。

然而，在无穷小量的替换过程中，有时发现计算出的结果不对。

为什么会出现这种现象？怎样判断所求出的极限是对还是错？是否有什么直观的方法去验证结果不对？有些文献做了很好的研究。

但还
有一些问题没有解决，值得进一步去思考，本文主要探讨利用Mat-Lab作图帮助分析所求极限是否正确这个问题。

MatLab是当今最优秀的科技应用软件之一，具有强大的科学计算能力、可视化功能、开放式可扩展环境，所附带的工具箱支持30多个领域的计算、仿真等应用。

因此，在许多科学领域中MatLab成为计算机辅助设计和分析、算法研究及应用开发的基本工具和首选平台。

同时，MatLab具有其他高级语言难以比拟的一些优点—编写简单、效率高、易学易懂，通俗地称为演算纸式的科学算法语言，它在信号处理、通信、自动控制及科学计算等领域中被广泛应用。

在作函数图形时，MatLab不但可以生成2维、3维甚至4维图形，而且通过控制图形的线型、色彩、视角等属性，可以把函数的内在特征充分展示出来。

下面通过几个例子说明利用MatLab辅助设计求函数的极限。

例1（2009年考研数学二试题（15），9分）求极限
先给出几个解法。

利用无穷小量的等价关系和洛必达法则。

解一因为所以，原式
解二因为
所以，原式
到底是哪个解法对呢？我们先不妨利用MatLab软件画出下面几个函数的图形。

函数1的图形的程序是：
x=linspace（0，1，100)；y=1./2*（x-tan（x))./x.^2;plot（x，y)
函数2的图形的程序是：
x=linspace（0，1，100);y=1./2*（x-log（1+tan（x)))./x.^2;p lot（x，y);plot （x，y)
函数3的图形的程序是：
x=linspace（0，1，100);y=（1-cos（x)).*（x-log（1+tan（x)))./（sin （x)).^4;plot（x，y)
从图形上看，当x→0时，
说明解法一是错误的，到底错在哪？主要是错在等价关系ln（1+tan x）～tan x 上。

其实，当x→0时，x-tan x与x-ln（1+tan x）不是等价无穷小，x-tan x是
x-ln（1+tan x）的高阶无穷小，如图4所示。

程序为：
x=linspace（0，1，100);y=（x-tan（x))./（x-log（1+tan（x)));plot（x，y).
从图形上看就很直观很清楚。

高等数学的很多内容都比较抽象，学生理解起来比较困难。

因此，能否将一些抽象不易理解的数学知识在教学过程中进行深入浅出科学地讲解描述，就显得至关重要。

借助直观形象的几何图形，能够很好地体现一些抽象的概念。

例如，在讲极限部分时，一些简单的易于理解的极限学生自己都能做出。

但较为复杂的极限，一时求不出或不能判断所求极限是否正确，如果能借助图形就能解释得很清楚。

例2（2010年考研数学三试题（15），10分）求极
分析：当x→+∞时所求极限为00型，采用对数法求解。

令，两边取对数，得
当x→+∞时，所以，由洛必达法则有：
因而
用MatLab作图如图5。

程序为：
x=linspace（1000000，100000000，1000000);y=（x.^（1./x)-1). ^（1./log （x));plot（x，y)
从图形可以看出，当x→+∞时，函数值趋于0.431。

在MatLab中，极限的求解通过limit函数来实现。

limit函数的常见调用格式如表1。

在高等数学的教学中，如果我们能引入数学实验，将数学计算软件用于学生的数学学习中去，改变一下传统的教学模式，这是一件非常有意义的事。

学生利用学到的数学理论知识和计算机科学技术，然后通过自己在实验中学习、探索和发现数学规律，那么既能深化对所学理论知识的理解，又能培养创新意识，同时还能增强独立思考和充分利用数学知识解决实际问题的能力，那他们就会觉得学习数学很有趣，不再是枯燥乏味的事了。

【相关文献】
[1]李秀敏，王灵色.等价无穷小代换在求极限过程中的应用[J].高等数学研究，2002（3):36～37
[2]刘强.关于等价无穷小量[J].高等数学研究，2011（1):22～23 [3]周建兴等.MatLab从入门到精通[M].北京:人民邮电出版社，2008。