湖北省黄冈中学2022届高三数学五月模拟考试 理

黄冈中2022届高三五月模拟考试数学（理）试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 已知全集，集合1
{|0}2
x A x x +=≤-，则集合等于（ ）
A ．{|12}x x x <->或
B ．{|12}x x x ≤->或
C ．{|12}x x x <-≥或
D ．{|1}x x ≤-≥或x 2
2． 已知集合{|}n M m m i n ==∈N ，，其中21i =-，则下面属于M 的元素是（ ）
A ．(1)(1)i i ++-
B ．(1)(1)i i +--
C ．(1)(1)i i +-
D ．
3． 如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如[]3.273=，[]0.60=， []1.62-=-, 那么“[][]x y =”是“1x y -<”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条
件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4． 已知等差数列的前项和为，且满足π2515=S ，则8tan a 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．-5． 已知//,,a B αβαβ⊂∈，则在内过点B 的所有直线中（ ） A ．不一定存在与平行的直线 B ．只有两条与平行的直线 C ．存在无数条与平行的直线
D ．存在唯一一条与平行的直线
6． 抛掷一枚硬币，出现正面向上记1分，出现反面向上记2分，若一共抛出硬币4次，且
每一次抛掷的结果相互之间没有影响，则得6分的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．
7． 某出租车公司计划用450万元购买A 型和B 型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，
其中购买A 型汽车需13万元／辆，购买B 型汽车需8万元／辆．假设公司第一年A 型汽车的纯利润为2万元／辆，B 型汽车的纯利润为万元／辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买（ ）
A ．10辆A 型出租车，40辆
B 型出租车 B ．9辆A 型出租车，41辆B 型出租车
C ．11辆A 型出租车，39辆B 型出租车
D ．8辆A 型出租车，42辆B 型出租车
8．设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意[,]x a b ∈，都有|()()|1f x g x -≤成立，则
称和在上是“亲密函数”，区间称为“亲密区间”．若2()2f x x x =++与()21g x x =+在上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是（ ） A ． B ．
C ．
D ．[1,0]-
9． 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,,9的个小正方形
（如右图1），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同， 且标号为“、、”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法
共有（ ） A ．种
B ．种
C ．种
D ．种
10．已知定义在上的函数 348||,122()1(),2822
x x f x x f x ⎧
--≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩则下列结论中,错误．．的是 A ．1)6(=f B ．函数的值域为
C ．将函数的极值由大到小排列得到数列*},{N n a n ∈，则为等比数列
D ．对任意的]8,1[∈x ，不等式6)(≤x xf 恒成立
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中相应的横线上．
11．已知二项式2(2)n
x x +展开式中第9项为常数项,则 ． 12．设是实数．若函数()|||1|f x x a x =+--是定义在上的奇函数，但不是偶函数，则函数的
递增区间为 ． 13．随机变量ξ的分布列如下：ξ －1 0 1
1
3E ξ=
1111ABCD A B C D -,AB a =1,AD b AA c ==2214a b +11(,)M x y 22(,)N x y :0l ax by c ++=1122ax by c
ax by c
δ++=++，N 的直线与
直线平行；
若1δ=-，则直线经过MN 的中点；
若，则点M 、N 在直线的同侧且直线与线段MN 的延长线相交． 三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16 （本小题满分12分）
已知向量1
(sin ,1cos2),(sin cos ,cos2)2x x x x x =+=-+a b ，定义函数()(f x =⋅-a a b)
（Ⅰ）求函数最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC 中,角A 为锐角，且7,()1,212
A B f A BC π
+===，求边AC 的长．
1 2 3 4 5 6 7
8
9
图1
如图2
17．（本小题满分12分）
如图3，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面正三角形的边长是2，D 是的中点，直线与侧面11BB C C 所成的角是．
（Ⅰ）求二面角A BD C --的大小； （Ⅱ）求点到平面的距离．
18（本小题满分12分）
某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为米时，相邻两座位之
间的钢管和其中一个座位的总费用为2(51220)8100x x k ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦元，假设座位等距离分布，且至
少有四个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为元 （Ⅰ）试写出关于的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）当100k =米时，试确定座位的个数，使得总造价最低
19．（本题满分12分）
已知二次函数2()f x ax bx =+的图像过点(4,0)n -，且'(0)2f n =，n N *∈． （Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若数列满足'111
()n n
f a a +='111()n n f a a +=，且，求数列的通项公式；
（Ⅲ）记n b :4
23
n T ≤< ．
20．（本小题满分13分）
B
1
C 图3
给定椭圆2
222:1(0)y x C a b a b
+=>>，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的
“伴随圆”． 若椭圆C 的一个焦点为20)F ，其短轴上的一个端点到距离为． （Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若过点(0,)(0)P m m <的直线与椭圆C 只有一个公共点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为，求的值；
（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q 作直线，使得与椭圆C 都只有一个公共点，试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由
21．（本题满分14分）
已知函数()()()f x x x a x b =--，点(,()),(,())A s f s B t f t ．
（Ⅰ）若0,3a b ==，函数在(,3)t t +上既能取到极大值，又能取到极小值，求的取值范围； （Ⅱ） 当时，
()ln 10f x x x ++≥对任意的1,2x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）若0a b <<，函数在和处取得极值，且a b +<线不可能垂直
参考答案
一、1．C 2．D 3．A 4．B 5．D
6．C 7．A 8．B 9．A 10．C 二、11． 12．
13．
14． 15．1234 三、16．解：（Ⅰ） cos21
()(cos sin 2
x f x x x +=⋅-=+a a b)
11(sin 2cos 21))242
x x x π=++=++ ∴ππ
==
22T …………6分
（Ⅱ）由()1f A =1
)142A π+
+=，
∴sin(2)4
A π
+
=
且)4
5,4(42πππ∈+A
∴324
4A π
π+
=
，4A π= 又∵712A B π+=，∴3
B π= …………10分 在△AB
C 中，由正弦定理得：
sin sin BC AC A B =
，∴sin sin BC B
AC A
== …………12分
17．解：解法一（Ⅰ）设侧棱长为，取BC 中点E ，
则面11BB C C ，∴45ADE ∠=︒
∴tan 45AE
ED
︒
=
x =…………3分
过E 作EF BD ⊥于，连，
则AF BD ⊥，AFE ∠为二面角A BD C --的平面角
∵sin EF BE EBF =∠=
，AE =
∴tan 3AE AFE EF
∠== 故二面角A BD C --的大小为arctan 3 ………… 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知面，∴面AEF ⊥面
过作EG AF ⊥于，则面
∴30AE EF EG AF =
=
∴到面的距离为2EG =………… 12分 解法二：Ⅰ求侧棱长x =
……………3分 取BC 中点E , 如图建立空间直角坐标系E xyz -，
则
A ，(1,0,0)
B -，(1,0,0)
C ，(1D
设(,,)n x y z =是平面的一个法向量，则由0
n AB n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩
得(3,1)n =-- 而EA =是面的一个法向量 ∴10
cos 10
EA n EA n EA n
<>=
=
-
．而所求二面角为锐角， 即二面角A BD
C --的大小为 ………… 6分 （Ⅱ）∵(1,CA =- ∴点到面的距离为30
5
CA n d n
==
………… 12分 18．解：（Ⅰ）设摩天轮上总共有个座位，则即，
222(51220)2051220128()100100x x k k x y k k k x x x ⎡⎤++=++=+⎢
⎥⎣⎦
， x
y
z
A B C
D
A 1
B 1
C 1
A
B
C D A 1
B 1
C 1
F
G
E
E
定义域|0,Z 4k k x x x ⎧⎫
<≤∈⎨⎬⎩⎭
； …………5分
（Ⅱ）当100k =时，250≤<x 令22000
100(
51220)y x x
=++ 2
2000()512f x x x =+，则322200020001024()10240x f x x x x -+'=-+==
∴31000
512x =，∴ …………10分
当5(0,)4x ∈时，()0f x '<，即在5
(0,)4x ∈上单调减，
当5(,25)4x ∈时，()0f x '>，即在5
(,25)4x ∈上单调增，
在时取到，此时座位个数为
100
8054
=个． …………12分 19．解：（Ⅰ）()2f x ax b '=+，有题意知2b n =，21640n a nb -=
∴1,22a b n ==，则21
()2,N *2f x x nx n =+∈ ……………3分
（Ⅱ）数列满足111
()n n
f a a +'=又()2f x x n '=+， ∵
1112n n n a a +=+，∴1112n n
n a a +-=， 211
2462(1)4
n n n n a -=++++-=-2221114()(N*)12(21)()2
n n n a n a n n ⇒
=-⇒==∈--
当时,41=a 也符合 ……………7分
（Ⅲ）411
2()
(21)(21)2121
n n n b n n =--+-+=
1212231n n n n T b b b a a a a a a +=+++=++
+
[]111
11
2(1)()(
)3352121
n n =-+-+
+
+--+
1
2(1)21
n =-
+ ……………10分 ∵213n +≥，14
2(1)213
n -≥+， 又12(1)2
21n -
<+∴4
23
n T ≤< ……………12分 20． 解：（Ⅰ）由题意得：a c =则椭圆C 方程为2
213
x y +=
“伴随圆”方程为224x y += ……………3分 （Ⅱ）则设过点且与椭圆有一个交点的直线为：y kx m =+， 则22
13
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()
222136(33)0k x kmx m +++-= 所以()()()
2
226413330km k m ∆=-+-=，解2231k m +=① ……………5分 又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，
则有=()
2221m k =+ ② ……………7分 联立①②解得，221,4k m ==，
所以1k =±，2(0)m m =-<，则(0,2)P - ……………8分
（Ⅲ）当都有斜率时，设点00(,),Q x y 其中22
004x y +=，
设经过点00(,),Q x y 与椭圆只有一个公共点的直线为00()y k x x y =-+， 由0022
()
13
y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去得到[]22003()30x kx y kx ++--= ……………9分 即2220000(13)6()3()30k x k y kx x y kx ++-+--=，
[]2
22
00006()4(13)3()30k y kx k y kx ⎡⎤∆=--⋅+--=⎣⎦，
经过化简得到：2220000(3)210x k x y k y -++-=， ……………11分
因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x k x y k x -++-=，
设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，
所以满足方程2220000(3)2(3)0x k x y k x -++-=，
因而121k k ⋅=-，即直线的斜率之积是为定值 ……………13分
21． 解：（Ⅰ）当0,3a b ==时，322()3,'()36f x x x f x x x =-=-，
令'()0f x =得0,2x =，根据导数的符号可以得出函数在处取得极大值， 在处取得极小值．函数在(,3)t t +上既能取到极大值，又能取到极小值， 则只要且32t +>即可，即只要10t -<<即可．
所以的取值范围是(1,0)-． ………… 4分 （Ⅱ）当时，
()ln 10f x x x ++≥对任意的1,2x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
恒成立， 即2ln 10x bx x -++≥对任意的1,2x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
恒成立，
也即ln 1x b x x x ≤++在对任意的1,2x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
恒成立．
令ln 1
()x g x x x x =++，则2222
1ln 1ln '()1x x x g x x x x --=+-=
． ………… 6分 记2
()ln m x x x =-，则2121'()2x m x x x x -=-=，
则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点x =，
故也是最小值点，所以1()ln 02m x m ≥=->， 从而'()0g x >，所以函数在1
[,)2
+∞单调递增．
函数min 15
()2ln 222g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．故只要52ln 22b ≤-即可．
所以的取值范围是5
(,
2ln 2]2
-∞- ………… 9分 （Ⅲ）假设OA OB ⊥，即0OA OB =， 即(,())(,())()()0s f s t f t st f s f t =+=， 故()()()()1s a s b t a t b ----=-，
即22()()1st s t a a st s t b b ⎡⎤⎡⎤-++-++=-⎣⎦⎣⎦．
由于是方程'()0f x =的两个根，
故2(),,033ab
s t a b st a b +=+=<<．代入上式得2()9ab a b -=． ………… 12分
229
()()4412a b a b ab ab ab
+=-+=
+≥=，
即a b +≥a b +<
所以直线与直线不可能垂直． ………… 14分。