九年级上册数学 期末试卷试卷(word版含答案)

九年级上册数学 期末试卷试卷（word 版含答案）
一、选择题
1．如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，2DE =，8AB =，则O 的半径
为（ ）
A ．5
B ．8
C ．3
D ．10 2．二次函数y ＝3(x －2)2－1的图像顶点坐标是（ ）
A ．（－2，1）
B ．（－2，－1）
C ．（2，1）
D ．（2，－1）
3．在△ABC 中，若|sinA ﹣12|+（22
﹣cosB ）2=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45°
B ．75°
C ．105°
D ．120°
4．在九年级体育中考中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）：46,44,45,42,48,46,47,46.则这组数据的中位数为（ ） A ．42
B ．45
C ．46
D ．48
5．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB ，D 为圆周上一点，若BC 的度数为50°，则∠ADC 的度数为 （ ）
A ．20°
B ．25°
C ．30°
D ．50°
6．某篮球队14名队员的年龄如表： 年龄（岁） 18 19 20 21 人数
5
4
3
2
则这14名队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A ．18，19
B ．19，19
C ．18，4
D ．5，4
7．下列图形，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．10件产品中有2件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．
14
D ．
15
9．已知一组数据共有20个数，前面14个数的平均数是10，后面6个数的平均数是15，则这20个数的平均数是（ ） A ．23 B ．1.15 C ．11.5 D ．12.5 10．一个扇形的半径为4，弧长为2π，其圆心角度数是（ ）
A ．45
B ．60
C ．90
D ．180
11．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（ ） A ．（﹣1，2）
B ．（﹣1，﹣2）
C ．（1，﹣2）
D ．（1，2）
12．如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，BD 为⊙O 的直径，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADB 的大小为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
二、填空题
13．如图，A 、B 、C 是⊙O 上三点，∠ACB ＝30°，则∠AOB 的度数是_____．
14．一元二次方程29
0x 的解是__．
15．若
a b b -＝23，则a
b
的值为________． 16．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，当y ＜3时，x 的取值范围是____．
17．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，则AC ＝_____AB （用含无理数式子表示）．
18．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：9，10，12，x ，8．已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是_____．
19．在▱ABCD 中，∠ABC 的平分线BF 交对角线AC 于点E ，交AD 于点F ．若
AB BC ＝3
5
，则EF
BF
的值为_____．
20．方程22x x =的根是________．
21．如图，在ABC 中，62BC =+，45C ∠=︒，2AB AC =，则AC 的长为
________．
22．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是_________.
23．圆锥的底面半径是4cm ，母线长是6cm ，则圆锥的侧面积是______cm 2（结果保留π）．
24．如图，在△ABC 中，P 是AB 边上的点，请补充一个条件，使△ACP ∽△ABC ，这个条件可以是：___(写出一个即可)，
三、解答题
25．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且DE ＝4，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则PA ＋
1
4
PB 的最小值为_____．
26．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接BD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BD＝3，AD＝4，则DE＝．
27．如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，23）、D（0，33），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．
（1）①点B的坐标是；
②当点Q与点A重合时，点P的坐标为；
（2）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式及相应的自变量x的取值范围．
28．为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y 与x的函数图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利
润是多少？
29．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：直线DF 与⊙O 相切； （2）求证：BF ＝EF ；
30．将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG ．
（1）如图，当点E 在BD 上时．求证：FD ＝CD ； （2）当α为何值时，GC ＝GB ？画出图形，并说明理由．
31．如图，已知一次函数3y x =-+分别交x 、y 轴于A 、B 两点，抛物线
2y x bx c =-++经过A 、B 两点，与x 轴的另一交点为C ．
（1）求b 、c 的值及点C 的坐标；
（2）动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，过P 作x 轴的垂线交抛物线于点D ，交线段AB 于点E ．设运动时间为(0)t t >秒． ①当t 为何值时，线段DE 长度最大，最大值是多少？（如图1）
②过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，连结BD ，若BOC 与BDF 相似，求t 的值（如图2）
32．如图，点P 是二次函数21
(1)14
y x =-
-+图像上的任意一点，点()10
B ,在x 轴上.
（1）以点P 为圆心，BP 长为半径作
P .
①直线l 经过点()0,2C 且与x 轴平行，判断P 与直线l 的位置关系，并说明理由.
②若
P 与y 轴相切，求出点P 坐标；
（2）1P 、2P 、3P 是这条抛物线上的三点，若线段1BP 、2BP 、3BP
的长满足123
23
BP BP BP BP ++=，则称2P 是1P 、3P 的和谐点，记做()13,T P P .已知1P 、3P 的横坐
标分别是2，6，直接写出()13,T P P 的坐标_______.
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
作辅助线，连接OA ，根据垂径定理得出AE=BE=4，设圆的半径为r ，再利用勾股定理求解即可. 【详解】
解：如图，连接OA ，
设圆的半径为r ，则OE=r-2， ∵弦AB CD ⊥,
∴AE=BE=4，
由勾股定理得出：()2
2242r r =+-， 解得：r=5， 故答案为：A. 【点睛】
本题考查的知识点主要是垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断或解答.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
由二次函数的顶点式，即可得出顶点坐标． 【详解】
解：∵二次函数为y=a （x-h ）2+k 顶点坐标是（h ，k ）， ∴二次函数y=3（x-2）2-1的图象的顶点坐标是（2，-1）． 故选：D ． 【点睛】
此题考查了二次函数的性质，二次函数为y=a （x-h ）2+k 顶点坐标是（h ，k ）．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A 、∠B 的度数，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】
由题意得，sinA-
12=0，
即sinA=
12，2
=cosB ， 解得，∠A=30°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=105°， 故选C ． 【点睛】
本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
4．C
解析：C 【解析】
【分析】
根据中位数的定义，把8个数据从小到大的顺序依次排列后，求第4，第5位两数的平均数即为本组数据的中位数.
【详解】
解：把数据由小到大排列为：42,44,45,46,46,46,47,48
∴中位数为4646
46
2
+
=.
故答案为：46.
【点睛】
找中位数的时候一定要先排好大小顺序，再根据奇数个数和偶数个数来确定中位数.如果是奇数个，则正中间的数字即为中位数；如果是偶数个，则找中间两个数的平均数为中位数.先将数据按从小到大顺序排列是求中位数的关键.
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC=50°，利用垂径定理得到=
AC BC，然后根据圆周角定理计算∠ADC的度数．
【详解】
∵BC的度数为50°，
∴∠BOC=50°，
∵半径OC⊥AB，
∴=
AC BC，
∴∠ADC=1
2
∠BOC=25°．
故选B．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和圆周角定理．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据众数和中位数的定义求解可得．
【详解】
∵这组数据中最多的数是18，
∴这14名队员年龄的众数是18岁，
∵这组数据中间的两个数是19、19，
∴中位数是
1919
2
+＝19（岁）， 故选：A ． 【点睛】
本题考查众数和中位数，将一组数据从小到大的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数称为这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数；熟练掌握定义是解题关键．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】
解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； B.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C. 是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D. 是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选：A ． 【点睛】
本题考查的知识点是识别轴对称图形与中心对称图形，需要注意的是轴对称图形是关于对称轴成轴对称；中心对称图形是关于某个点成中心对称．
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
由于10件产品中有2件次品，所以从10件产品中任意抽取1件，抽中次品的概率是
21105=． 【详解】
解：()
21P 105
==次品 ． 故选：D ． 【点睛】
本题考查的知识点是用概率公式求事件的概率，根据题目找出全部情况的总数以及符合条件的情况数目是解此题的关键．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意可以求出前14个数的和，后6个数的和，进而得到20个数的总和，从而求出20个数的平均数．
【详解】
解：由题意得：（10×14+15×6）÷20=11.5，
故选：C ．
【点睛】
此题考查平均数的意义和求法，求出这些数的总和，再除以总个数即可.
．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据弧长公式即可求出圆心角的度数．
【详解】
解：∵扇形的半径为4，弧长为2π， ∴42180
n ππ⨯=
解得：90n =，即其圆心角度数是90︒
故选C ．
【点睛】 此题考查的是根据弧长和半径求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键．
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ），即可求解.
【详解】
∵顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ），
∴抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（1，2）．
故选D ．
12．A
解析：A
【解析】
【详解】
解：∵四边形ABCO 是平行四边形，且OA=OC ，
∴四边形ABCO 是菱形，
∴AB=OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵BD是⊙O的直径，
∴点B、D、O在同一直线上，
∠AOB=30°
∴∠ADB=1
2
故选A．
二、填空题
13．60°
【解析】
【分析】
直接利用圆周角定理，即可求得答案．
【详解】
∵A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=30°，
∴∠AOB的度数是：∠AOB =2∠ACB=60°．
故答案为：60°．
【点
解析：60°
【解析】
【分析】
直接利用圆周角定理，即可求得答案．
【详解】
∵A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=30°，
∴∠AOB的度数是：∠AOB=2∠ACB=60°．
故答案为：60°．
【点睛】
考查了圆周角定理的运用，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半．14．x1＝3，x2＝﹣3．
【解析】
【分析】
先移项，在两边开方即可得出答案．
【详解】
∵
∴=9，
∴x=±3，
即x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为x1＝3，x2＝﹣3．
【点睛】
本题考查了解一
解析：x1＝3，x2＝﹣3．
【解析】
【分析】
先移项，在两边开方即可得出答案．
【详解】
∵290
x-=
∴2x=9，
∴x=±3，
即x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为x1＝3，x2＝﹣3．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 15．【解析】
【分析】
根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．
【详解】
∵＝，
∴b=a,
∴=,
故答案为：.
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
解析：5 3
【解析】
【分析】
根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．【详解】
∵a b
b
-
＝
2
3
，
∴b=3
5 a,
∴a
b
=
5
33
5
a
a
=
,
故答案为：5 3 .
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
16．－1＜x＜3
【解析】
【分析】
根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．
【详解】
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【点睛
解析：－1＜x＜3
【解析】
【分析】
根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．
【详解】
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
17．【解析】
【分析】
直接利用黄金分割的定义求解．
【详解】
解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，
∴AC＝AB．
故答案为:．
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义，点C是线段AB的黄金分
【解析】
【分析】
直接利用黄金分割的定义求解．
【详解】
解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，
∴AC＝
1
2
AB．
故答案为:
1
2
．
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义，点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，则
1
2
AC
BC
=，
正确理解黄金分割的定义是解题的关键.
18．2
【解析】
【分析】
首先根据平均数确定x的值，再利用方差公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，计算方差即可．
【详解】
∵组数据的平均数是10，
∴(9+10+12+x+8
解析：2
【解析】
【分析】
首先根据平均数确定x的值，再利用方差公式S2＝1
n
[（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（x n﹣
x）2]，计算方差即可．【详解】
∵组数据的平均数是10，
∴1
5
(9+10+12+x+8)＝10，
解得：x＝11，
∴S2＝1
5
[[（9﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2+（8﹣10）2]，
＝1
5
×（1+0+4+1+4），
＝2．
故答案为：2．【点睛】
本题考查了方差，一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差S 2＝1n
[（x 1﹣x ）2+（x 2﹣x ）2+…+（x n ﹣x ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
19．．
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出边的关系，进而利用相似三角形的性质求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠EBC，
∵B 解析：38．
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出边的关系，进而利用相似三角形的性质求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠AFB ＝∠EBC ，
∵BF 是∠ABC 的角平分线，
∴∠EBC ＝∠ABE ＝∠AFB ，
∴AB ＝AF ， ∴35
AB AF BC BC ==， ∵AD ∥BC ，
∴△AFE ∽△CBE ， ∴
35AF EF BC BE ==， ∴38
EF BF =； 故答案为：3
8．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质、角平分线的性质及相似三角形的判定定理.
20．x1＝0，x2＝2
【解析】
【分析】
先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴x(x-2)=0，
x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
【点睛】
本题考查了一
解析：x 1＝0，x 2＝2
【解析】
【分析】
先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】
解：∵22x x =，
∴22=0x x -，
∴x(x-2)=0，
x 1＝0，x 2＝2．
故答案为：x 1＝0，x 2＝2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
21．【解析】
【分析】
过点作的垂线，则得到两个直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式，求的长.
【详解】
过作于点，设，则，因为，所以，则由勾股定理得，因为，所以，则．则．
【点睛】
本题考查勾股定
解析：2
【解析】
【分析】 过A 点作BC 的垂线，则得到两个直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式，求AC 的长.
【详解】
过A 作AD BC ⊥于D 点，设2AC x =，则2AB x =，因为45C ∠=︒，所以
AD CD x ==，则由勾股定理得223BD AB AD x =-=，因为62BC =+，所以362BC x x =+=+，则2x =．则2AC =．
【点睛】
本题考查勾股定理和正余弦公式的运用，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解.
22．【解析】
【分析】
根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】
∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4××1×2=4，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
解析：49
【解析】
【分析】
根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】
∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4×
12×1×2=4， ∴飞镖落在阴影部分的概率是
49， 故答案为：
49
． 【点睛】
此题考查几何概率，解题关键在于掌握运算法则. 23．24π
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵圆锥的底面半径为4cm，
∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，
解析：24π
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵圆锥的底面半径为4cm，
∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，
∴圆锥的侧面积=1
2
×8π×6=24π（cm2）．
故答案为：24π．
【点睛】
本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周
长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=1
2
•l•R，（l为弧长）．
24．∠ACP=∠B（或）．
【解析】
【分析】
由于△ACP与△ABC有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【详解】
解析：∠ACP=∠B（或AP AC
AC AB
=）．
【解析】
【分析】
由于△ACP与△ABC有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
【详解】
解：∵∠PAC=∠CAB，
∴当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC；
当AP AC
AC AB
=时，△ACP∽△ABC．
故答案为：∠ACP=∠B（或AP AC
AC AB
=）．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似：有两组角对应相等的两个三角形相似．
三、解答题
25．145
【解析】
【分析】
连接PC,则PC=1
2
DE=2, 在CB上截取CM=0.25,得出△CPM∽△CBP，即可得出结果.
【详解】
解:连接PC,则PC=1
2
DE=2,
∴P在以C为圆心，2为半径的圆弧上运动,在CB上截取CM=0.25,连接MP,
∴
0.25121
,
2444 CM CP
CP CB
====,
∴CM CP CP CB
=,
∵∠MCP=∠PCB, ∴△CPM∽△CBP,
∴PM=1
4 PB,
∴PA+1
4
PB=PA+PM,
∴当P、M、A共线时，PA+1
4
PB最小，即22
145
0.25+6=.
【点睛】
本题考查了最短路径问题，相似三角形的判定与性质，正确做出辅助线是解题的关键.
26．（1）见解析；（2）
125
【解析】
【分析】 （1）连接OD ，如图，先证明OD ∥AE ，再利用DE ⊥AE 得到OD ⊥DE ，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）证明△ABD ∽△ADE ，通过线段比例关系求出DE 的长.
【详解】
（1）证明：连接OD
∵AD 平分∠BAC
∴∠BAD ＝∠DAC
∵OA ＝OD
∴∠BAD ＝∠ODA
∴∠ODA ＝∠DAC ∴OD ∥AE
∴∠ODE ＋∠E ＝180°
∵DE ⊥AE
∴∠E ＝90°
∴∠ODE ＝180°－∠E ＝180°－90°＝90°，即OD ⊥DE
∵点D 在⊙O 上
∴DE 是⊙O 的切线.
（2）∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AD 平分∠BAC ，
∴∠BAD=∠DAE ，
在△ABD 和△ADE 中，
==BDA DEA BAD DAE ∠∠⎧⎨∠∠⎩
， ∴△ABD ∽△ADE ，
∴AB BD AD DE
=, ∵BD ＝3，AD ＝4，22BD AD +
∴DE=34
5
⨯
=
12
5
.
【点睛】
本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，适当画出正确的辅助线是解题的
关键.
27．（1）①（6，23），②（3，33）；（2）
()
()
()
()
2
43
4303
31333
35
232
23
12359
543
9
x
x
x x x
S
x x
x
x
⎧
+≤≤
⎪
⎪
⎪
-+-<≤
⎪
⎪
=⎨
⎪-+<≤
⎪
⎪
⎪>
⎪⎩
【解析】
【分析】
（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；②由正切函数，即可求得∠CAO的度数，③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；
（2）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案．
【详解】
解：（1）①∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，23），
∴点B的坐标为：（6，23）；
②如图1：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠PQO=60°，D（0，3
∴3
∴AE=3
tan60
PE
=，
∴OE=OA-AE=6-3=3， ∴点P 的坐标为（3，33）；
故答案为：①（6，23），②（3，33）；
（2）①当0≤x ≤3时，
如图，OI =x ，IQ =PI •tan 60°=3，OQ =OI +IQ =3+x ；
由题意可知直线l ∥BC ∥OA ， ∴313
33EF PE DC OQ PO DO ====， ∴EF =133
+x （） 此时重叠部分是梯形，其面积为：
S 梯形=12（EF +OQ ）•OC =43（3+x ） ∴4343x S =
+． 当3＜x ≤5时，如图
AQ =OI +IO -OA =x +3-6=x -3
AH 3x -3)
S=S 梯形﹣S △HAQ =S 梯形﹣
12AH •AQ 433+x 23x （-3） ∴231333S x x =+ ③当5＜x ≤9时，如图
∵CE ∥DP ∴
CO CE DO DP = ∴23
33CE x
= ∴23
CE x = 263BE x =- S=12（BE +OA ）•OC =3（12﹣23
x ） ∴23123S x =-
+． ④当x ＞9时，如图
∵AH ∥PI
∴
AO AH OI PI = ∴633
x =∴183AH =
S=12543．
综上：2033
35599x x x x S x x x ⎧+≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪>⎩））））．
【点睛】
此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
28．（1）y=﹣0.5x+110；（2）房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．
【解析】
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；
（2）根据题意可以得到利润与x 之间的函数解析式，从而可以求得最大利润．
【详解】（1）设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，
70758070
k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：0.5110k b =-⎧⎨=⎩， 即y 与x 之间的函数关系式是y=﹣0.5x+110；
（2）设合作社每天获得的利润为w 元，
w=x （﹣0.5x+110）﹣20（﹣0.5x+110）=﹣0.5x 2+120x ﹣2200=﹣0.5（x ﹣120）2+5000， ∵60≤x≤150，
∴当x=120时，w 取得最大值，此时w=5000，
答：房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
29．见解析
【解析】
分析：
（1）连接OD ，由已知易得∠B=∠C ，∠C=∠ODC ，从而可得∠B=∠ODC ，由此可得AB ∥OD ，结合DF ⊥AB 即可得到OD ⊥DF ，从而可得DF 与⊙O 相切；
（2）连接AD ，由已知易得BD=CD ，∠BAD=∠CAD ，由此可得DE=DC ，从而可得DE=BD ，结合DF ⊥AB 即可得到BF=EF.
详解：
（1）连结OD ，
∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
∵OC=OD ，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴DF⊥OD，
∴直线DF与⊙O相切；
（2）连接AD．
∵AC是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，又AB=AC，
∴BD=DC，∠BAD=∠CAD，
∴DE=DC，
∴DE=DB，又DF⊥AB，
∴BF=EF．
点睛：（1）连接OD，结合已知条件证得OD∥AB是解答第1小题的关键；（2）连接AD 结合已知条件和等腰三角形的性质证得DE=DC=BD是解答第2小题的关键.
30．(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）先运用SAS判定△AED≌△FDE，可得DF=AE，再根据AE=AB=CD，即可得出CD=DF；（2）当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．
【详解】
（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，
∴∠AEB＝∠ABE，
又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，
∴∠EDA＝∠DEF，
又∵DE＝ED，
∴△AED≌△FDE（SAS），
∴DF＝AE，
又∵AE＝AB＝CD，
∴CD＝DF；
（2）如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G 在AD 右侧时，取BC 的中点H ，连接GH 交AD 于M ，
∵GC ＝GB ，
∴GH ⊥BC ，
∴四边形ABHM 是矩形，
∴AM ＝BH ＝12AD ＝12
AG ， ∴GM 垂直平分AD ，
∴GD ＝GA ＝DA ，
∴△ADG 是等边三角形，
∴∠DAG ＝60°，
∴旋转角α＝60°；
②当点G 在AD 左侧时，同理可得△ADG 是等边三角形，
∴∠DAG ＝60°，
∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．
【点睛】
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定（SAS ）与性质的运用，解题关键是掌握旋转的性质、全等三角形的判定（SAS ）与性质的运用．
31．（1）2，3，()1,0-；（2）①32t =时，DE 长度最大，最大值为94
；②32t =或52
t = 【解析】
【分析】
（1）先求得坐标(3,0),(0,3)A B ，把(3,0),(0,3)A B 代入2y x bx c =-++中，利用待定
系数法求得系数得出解析式，进一步求解C 点坐标即可；
（2）①由题知()2(,0),,23P t D t t t -++、(,3)E t t -+;()223(3)DE t t t =-++--+将函数化为顶点式，即可得到最大值．）②将BF 、DF 用含有t 的代数式表示，分类讨论当
BDF CBO △∽△相似，则BF OC DF OB =
312
=,求得t ，当BDF BCO △∽△
相似，则BF OB DF OC =
()231t t -=,求得t 即可． 【详解】
解：（1）在3y x =-+中令0x =,得3y =，令0y =,得3x =，
∴(3,0),(0,3)A B ，把(3,0),(0,3)A B 代入2
y x bx c =-++中，得：93010b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩
， ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++，
∴C 点坐标为()1,0-；
（2）①由题知()2(,0),,23P t D t t t -++、(,3)E t t -+；
∴()223(3)DE t t t =-++--+23t t =-+23
9()24
t =--+ ∴当32t =时，DE 长度最大，最大值为94
． ②∵()()3,0,0,3A B ，
∴OA OB =，
∴45BAO ∠=︒，
在Rt
PAE 中，45PAE ∠=
︒，)AE t ==-；在Rt DEF
△中，45DEF ∠=
︒，2(3)22
DF EF DE t
t ===-；
∴))22)322
BF AB AE EF t t t t t =--=---=- 若BDF CBO △∽△
相似，则BF OC DF OB =
)231t t -=， 解得：0t =（舍去），32
t =；
若BDF BCO △∽△相似，则BF OB DF OC
=，即：()2321232
t t =-,解得：0t =（舍去），52t =；综上，32t =或52
t =时，BOC 与BDF 相似． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合运用以及相似三角形性质．求出二次函数解析式，研究二次函数的顶点坐标及相关图形的特点，是解题的关键．
32．（1）①P 与直线相切.理由见解析；②()1,1P 或()5,3P -；（2）9131,4⎛⎫+- ⎪⎝
⎭或9131,4⎛⎫-+- ⎪⎝
⎭. 【解析】
【分析】
（1）①作直线l 的垂线，利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征证明线段相等即可；
②利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征构建方程即可求得答案.
（2）利用两点之间的距离公式分别求得各线段的长，根据“和谐点”的定义及二次函数图象上点的特征构建方程即可求得答案.
【详解】
（1）①P 与直线相切.
如图，过P 作PQ ⊥直线l ，垂足为Q ，设()P m n ,.
则()2221PB m n =-+，()2
22PQ n =- 21(1)14
n m =--+，即：()2144m n -=- ()()22
22221442PB m n n n n PQ ∴=-+=-+=-=
PB PQ ∴= P ∴与直线l 相切.
②当P 与y 轴相切时PD PB PQ ==
∴()222m n =- ，
2m n ∴=-，即：2n m =±
代入()2
144m n -=-
化简得：2650m m -+=或2250m m ++=.
解得：11m =，25m =. ()1,1P ∴或()5,3P -.
（2）已知1P 、3P 的横坐标分别是2，6，代入二次函数的解析式得：
1324P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，32164P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 设()2P m
n ，， ∵点B 的坐标为()10，，()2
144m n -=-
∴154BP ==，
3294BP ==，
22BP n ===-，
依题意得：
12323BP BP BP BP ++=，即2132BP BP BP =+， 5292244n -=
+，即：1724n -=， ∴254n =(不合题意，舍去)或94
n =-， 把94n =-
，代入()2144m n -=-得： ()2113m -=
直接开平方解得：11m =，21m =，
∴()13,T P P 的坐标为：91,4⎫-⎪⎭或91,4⎛⎫- ⎪⎝⎭
【点睛】 本题主要考查了两点之间的距离公式二次函数的性质，利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征构建方程是解题的关键.。