中职数学三角函数诱导公式的教学探析

中职数学三角函数诱导公式的教学探析
作者：高少玲
来源：《科技视界》 2013年第6期
高少玲
（厦门市集美职业技术学校，福建厦门 361022）
【摘要】三角函数诱导公式是中职数学三角函数部分的重要公式，然而三角函数诱导公
式多而复杂，利用传统诱导公式求解相应的三角函数，步骤多且难以理解。

如何解决这一难题？笔者在多年的教学中总结教学经验，改变传统教学模式，将三角函数诱导公式进行拓展，化难
为易，以适应中职生的学习需求。

【关键词】中职数学；三角函数；诱导公式
三角函数诱导公式是中职数学三角函数部分的重要公式，是继任意角的三角函数的定义、
任意角的三角函数值的符号判断和同角三角函数的基本关系之后要学习的重点内容，其最重要
的作用是将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，以便于求值计算，化简证明。

1 传统诱导公式教学中遇到的问题
２对问题的思考
笔者在多年的教学中总结教学经验，将三角函数诱导公式中的－α 的诱导公式和１８
０°±α的诱导公式三组公式拓展为ｋ·３６０°－α（ｋ∈Ｚ）的诱导公式和（２ｋ＋１）·１８０°±α（ｋ∈Ｚ）的诱导公式，具体公式如下：
ｋ·３６０°－α（ｋ∈Ｚ）的诱导公式
ｓｉｎ（ｋ·３６０°－α）＝－ｓｉｎα
ｃｏｓ（ｋ·３６０°－α）＝ｃｏｓα
ｔａｎ（ｋ·３６０°－α）＝－ｔａｎα
（２ｋ＋１）·１８０°－α（ｋ∈Ｚ）的诱导公式
ｓｉｎ（２ｋ＋１）·１８０°－α＝ｓｉｎα
ｃｏｓ（２ｋ＋１）·１８０°－α＝－ｃｏｓα
ｔａｎ（２ｋ＋１）·１８０°－α＝－ｔａｎα
（２ｋ＋１）·１８０°＋α（ｋ∈Ｚ）的诱导公式
ｓｉｎ（２ｋ＋１）·１８０°＋α＝－ｓｉｎα
ｃｏｓ（２ｋ＋１）·１８０°＋α＝－ｃｏｓα
ｔａｎ（２ｋ＋１）·１８０°＋α＝ｔａｎα
通过不断的学习验证、总结教学经验，笔者发现在教学中改变传统的教学模式，拓展三角函数诱导公式能有效降低三角函数诱导公式的学习、应用难度，解决上述难题，改变中职学生对三角函数诱导公式的惧怕心理，帮助他们树立学习自信心，让他们愿学、乐学。

３解决问题的实施步骤
拓展后的三角函数诱导公式在教学上延用教材中公式的推导方法展开推导，仍借助单位圆利用角的定义、角的周期性和对称性、任意角的三角函数的定义进行推导证明。

３．１利用任意角的定义、角的对称性和周期性确认ｋ·３６０°－α（ｋ∈Ｚ）和（２ｋ＋１）·１８０°±α（ｋ∈Ｚ）所在的象限
（1）任意角的定义：使角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，则按逆时针旋转所成的角是正角，按顺时针旋转所成的角是负角，不作任何旋转规定为零角。

由此可知以３６０°为周期，角的终边在不断的重合，故０°～３６０°内所有角的终边与３６０°～７２０°内所有角的终边对应重合。

（2）角的对称性：根据角的定义，对于任意角α，角α的终边与角－α的终边关于X 轴对称；１８０°＋α的终边是角α的终边的反向延长线；１８０°－α的终边是角－α的终边的反向延长线。

（3）角的周期性：如下图（1）所示，设角α是锐角，则角α在第一象限，由任意角的定义及角的对称性知角－α在第四象限，角１８０°－α在第二象限，角１８０°＋α在第三象限。

根据终边相同的角的定义可知角ｋ·３６０°－α（ｋ∈Ｚ）在第四象限，角（２ｋ＋１）１８０°－α（ｋ∈Ｚ）在第二象限，角（２ｋ＋１）１８０°＋α（ｋ∈Ｚ）在第三
象限。

即将ｋ·３６０°（ｋ∈Ｚ）看成１８０°的偶数倍，（２ｋ＋１）１８０°（ｋ∈Ｚ）看成１８０°的奇数倍，则可作如下归纳：当α是锐角时，１８０°的偶数倍加α是第一象
限角，１８０°的偶数倍减α是第四象限角，１８０°的奇数倍加α是第三象限角，１８０°的奇数倍减α是第二象限角。

公式推导前让学生通过观察、思考、讨论得出上述结论，有助于学生正确理解记忆拓展后
的三角函数诱导公式，为下一步公式的推导做好铺垫。

３．２ｋ·３６０°－α（ｋ∈Ｚ）的诱导公式和（２ｋ＋１）·１８０°±α（ｋ∈Ｚ）的诱导公式的推导
ｋ·３６０°－α（ｋ∈Ｚ）的诱导公式和（２ｋ＋１）·１８０°±α（ｋ∈Ｚ）的诱
导公式的推导仍延用教材中推导三角函数诱导公式的方法，利用单位圆，任意角的三角函数的
定义、角的周期性、对称性和同角三角函数的基本关系进行推导证明。

（1）ｋ·３６０°－α（ｋ∈Ｚ）的诱导公式的推导
在直角坐标系中，以原点为圆心，等于单位长的线段为半径画圆（此圆叫做单位圆），将
任意角α和－α放入其中，它们的顶点为原点，始边为Oｘ轴，由于它们绕原点旋转的方向相反而旋转的数量相同，因此它们的终边关于ｘ轴对称。

因为角ｋ·３６０°－α（ｋ∈Ｚ）与
角－α是终边相同的角，所以角ｋ·３６０°－α（ｋ∈Ｚ）与角α的终边也关于ｘ轴对称。

设单位圆与任意角α,ｋ·３６０°－α（ｋ∈Ｚ）的终边分别相交于点Ｐ和点Ｐ′，则点Ｐ
与点Ｐ′关于ｘ轴对称。

如果点Ｐ的坐标是（cosα,sinα），那么点Ｐ′的坐标是（cosα,-
sinα）。

由于点Ｐ′作为角ｋ·３６０°－α（ｋ∈Ｚ）的终边与单位圆的交点，其坐标应该是（cos（ｋ·３６０°－α）,sin（（ｋ·３６０°－α））。

于是得到cos（ｋ·３６０°
－α）=cosα,sin（ｋ·３６０°－α）＝-sinα，由同角三角函数的关系式知ｔａｎ
（ｋ·３６０°－α）＝综上可得ｋ·３６０°－α（ｋ∈Ｚ）的诱导公式：sin（ｋ·３６０°－α）＝－sinα，ｃｏｓ（ｋ·３６０°－α）＝ｃｏｓα，ｔａｎ（ｋ·３６０°－α）＝－ｔａｎα
（2）（２ｋ＋１）·１８０°±α（ｋ∈Ｚ）的诱导公式的推导
同（1）理，利用单位圆，任意角的三角函数的定义、角的周期性、对称性和同角三角函数的基本关系，可推得（２ｋ＋１）·１８０°±α（ｋ∈Ｚ）的诱导公式：
ｓｉｎ（２ｋ＋１）·１８０°＋α＝－ｓｉｎα
ｃｏｓ（２ｋ＋１）·１８０°＋α＝－ｃｏｓα
ｔａｎ（２ｋ＋１）·１８０°＋α＝ｔａｎα
ｓｉｎ（２ｋ＋１）·１８０°－α＝ｓｉｎα
ｃｏｓ（２ｋ＋１）·１８０°－α＝－ｃｏｓα
ｔａｎ（２ｋ＋１）·１８０°－α＝－ｔａｎα
３．３公式的记忆
3.3.1 各象限角的三角函数值的正负号
根据任意角的三角函数的定义可知ｒ＞０，所以三角函数值的正负号由终边上点P的坐标
来确定，点P（x，y）的坐标与各象限角三角函数值的正负号如下表：
即对于任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数的三角函数值在四个象限的符号可归纳为：第一象限全为正；第二象限只有正弦为正，其余为负；第三象限只有正切为正，其余为负；第
四象限只有余弦为正，其余为负。

３．３．２公式的理解记忆
观察拓展后的三角函数诱导公式，可以发现其本质与原三角函数诱导公式一样都具有周期
性和对称性。

其公式特征是：所有公式两端的三角函数名称相同，公式右端三角函数前的符号
与公式左端括号内角所在象限的三角函数值的符号相同。

有了对ｋ·３６０°－α（ｋ∈Ｚ）和（２ｋ＋１）·１８０°±α（ｋ∈Ｚ）所在的象
限的确认，和学生对任意角的三角函数值在各象限的符号的学习，可将ｋ·３６０°±α（ｋ
∈Ｚ）的诱导公式和（２ｋ＋１）·１８０°±α（ｋ∈Ｚ）的诱导公式作如下归纳：与１８
０°的整数倍相关的三角函数诱导公式，“函数值不变，符号看象限”。

归纳口诀后，引导学生根据图（1）进行理解记忆，再稍加练习巩固，三角诱导公式的学习也就不攻自破。

３．４公式的应用
例1 求下列三角函数值：
解题分析：观察式子（１）中的各个角可知５８５°＝５４０°＋４５°＝３×１８０°＋４５°，是１８０°的奇数倍加一个锐角在第三象限，第三象限的余弦值是负数，利用的（２ｋ＋１）１８０°＋α（ｋ∈Ｚ）的诱导公式可直接将ｃｏｓ５８５°化为－ｃｏｓ４５°求解；４９５°＝５４０°－４５°＝３×１８０°－４５°，是１８０°的奇数倍减一个锐角在第二象限，第二象限的正切值是负数，利用的（２ｋ＋１）１８０°－α（ｋ∈Ｚ）的诱导公式可直接将ｔａｎ４９５°化为－ｔａｎ４５°求解；６９０°＝７２０°－３０°＝４×１８０°－３０°，是１８０°的偶数倍减一个锐角在第四象限，第四象限的正弦值是负数，利用的ｋ·３６０°－α（ｋ∈Ｚ）的诱导公式可直接将ｓｉｎ６９０°化为－ｓｉｎ３０°求解。

观察式子（２）中的各个角可知３π＋α，５π＋α是第三象限角；２π＋α是第一象限角；４π－α，－α是第四象限角。

由各象限的三角函数的正负号可知第三象限的正弦值和余弦值为负数，正切值为正数；第一象限的正切值为正数；第四象限的正切值为负数，余弦值为正数；根据诱导公式的拓展公式可直接求解（２）式。

４结束语
笔者经多年的教学实践，发现相比传统三角函数诱导公式的教学，拓展后的三角函数诱导公式教学模式，中职学生更容易理解、记忆和应用，且在应用中可简化解题过程，激发中职学生的学习兴趣。

当然因笔者个人对诱导公式的本质理解有限，存在不足之处望各位同仁批评指出。

相信只要大家勤于思考，乐于互相学习、交流，中职数学教学的明天将更加美好。

【参考文献】
［１］覃志根.三角函数诱导公式的教学探讨[J].中学教学参考,2010(25).
［２］朱克文.三角函数诱导公式记忆新解 [J].新课程学习(中)2,012(06).
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2008(02).
［４］陈九香.浅析三角函数的“诱导公式”[J].职业圈,2007(08).
［５］黄连舫.改革三角诱导公式教学的尝试[J].南昌职业技术师范学院学报,2001(06).
［责任编辑：杨扬］。