武冈市第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

武冈市第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 常用以下方法求函数y=[f （x ）]g （x ）的导数：先两边同取以e 为底的对数（e ≈2.71828…，为自然对数的底
数）得lny=g （x ）lnf （x ），再两边同时求导，得•y ′=g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′，即y ′=[f （x ）]g （x
）
{g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′}．运用此方法可以求函数h （x ）=x x （x ＞0）的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是（ ）
A ．h （）
B ．h （）
C ．h （）
D ．h （）
2． （2015秋新乡校级期中）已知x+x ﹣1=3，则x 2+x ﹣2等于（ ）
A ．7
B ．9
C ．11
D ．13
3． 设,,a b c 分别是ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ++=与
sin sin 0bx B y C -+=的位置关系是（ ）
A ．平行
B ． 重合
C ． 垂直
D ．相交但不垂直 4． 如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）
A ．1：2：3
B ．2：3：4
C ．3：2：4
D ．3：1：2
6． ,AD BE 分别是ABC ∆的中线，若1AD BE ==，且AD 与BE 的夹角为120，则AB AC ⋅=（ ） （A ）
13 （ B ） 49 （C ） 23 （D ） 89
7． 已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 4•a 8=2a 52，a 2=1，则a 1=（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．
8．若等边三角形ABC的边长为2，N为AB的中点，且AB上一点M满足CM xCA yCB
=+，
则当14
x y
+取最小值时，CM CN
⋅=（）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）
A．B． C．D．
10．已知集合{2,1,1,2,4}
A=--，
2
{|log||1,}
B y y x x A
==-∈，则A B=（）
A．{2,1,1}
--B．{1,1,2}
-C．{1,1}
-D．{2,1}
--
【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．
11．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．4 B．8 C．12 D．20
【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．12．已知直线l：2
y kx
=+过椭圆)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
的上顶点B和左焦点F，且被圆
224
x y
+=截得的弦长为L，若
45
L≥e的取值范围是（）
（A）⎥
⎦
⎤
⎝
⎛
5
5
0，（B ）
25
⎛
⎝⎦
，（C）⎥
⎦
⎤
⎝
⎛
5
5
3
0，（D）⎥
⎦
⎤
⎝
⎛
5
5
4
0，二、填空题
13．若函数
63e
()()
32e
x
x
b
f x x
a
=-∈R为奇函数，则ab=___________．
【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．
14．数据﹣2，﹣1，0，1，2的方差是．
15．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
16．椭圆
+
=1上的点到直线l ：x ﹣2y ﹣12=0的最大距离为 ．
17．给出下列命题：
①把函数y=sin （x ﹣
）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=sin （2x ﹣
）；
②若α，β是第一象限角且α＜β，则cos α＞cos β；
③x=﹣
是函数y=cos （2x+π）的一条对称轴；
④函数y=4sin （2x+）与函数y=4cos （2x ﹣
）相同；
⑤y=2sin （2x ﹣
）在是增函数；
则正确命题的序号 ．
18．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 1+3a 2，则公比q= ．
三、解答题
19．火车站北偏东方向的
处有一电视塔,火车站正东方向的
处有一小汽车,测得
距离为31
,
该小汽车从
处以60
的速度前往火车站,20分钟后到达
处,测得离电视塔21
,问小汽车到火车站还需
多长时间？
20．设函数，若对于任意x ∈[﹣1，2]都有f （x ）＜m 成立，求实数m 的取值范围．
21．（本小题满分12分）已知向量(cos sin ,sin )m x m x x w w w =-a ，(cos sin ,2cos )x x n x w w w =--b ，
设函数()()2n f x x R =??a b
的图象关于点(,1)12
p
对称，且(1,2)w Î． （I ）若1m =，求函数)(x f 的最小值；
（II ）若()()4
f x f p
£对一切实数恒成立，求)(x f y 的单调递增区间．
【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角形函数的图象和性质等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．
22．【南京市2018届高三数学上学期期初学情调研】已知函数f （x ）＝2x 3－3（a +1）x 2＋6ax ，a ∈R ． （Ⅰ）曲线y ＝f （x ）在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；
（Ⅱ）若对于任意x ∈（0，+∞），f （x ）＋f （－x ）≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）若a ＞1，设函数f （x ）在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M （a ）、m （a ）， 记h （a ）＝M （a ）－m （a ），求h （a ）的最小值．
23．（本小题满分12分）
已知函数2
1()cos cos 2
f x x x x =--. （1）求函数()y f x =在[0,
]2
π
上的最大值和最小值； （2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足2c =，3a =，()0f B =，求sin A 的值.1111]
24．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=3，且2S n =a n+1+2n ． （1）求a 2；
（2）求数列{a n }的通项公式a n ；
（3）令b n =（2n ﹣1）（a n ﹣1），求数列{b n }的前n 项和T n ．
武冈市第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：（h （x ））′=x x
[x ′lnx+x （lnx ）′]
=x x （lnx+1），
令h （x ）′＞0，解得：x ＞，令h （x ）′＜0，解得：0＜x ＜，
∴h （x ）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
∴h （）最小， 故选：B ．
【点评】本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查．
2． 【答案】A
【解析】解：∵x+x ﹣1
=3，
则x 2+x ﹣2=（x+x ﹣1）2﹣2=32
﹣2=7．
故选：A ．
【点评】本题考查了乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3． 【答案】C 【解析】
试题分析：由直线sin 0A x ay c ++=与sin sin 0bx B y C -+=，
则sin (sin )2sin sin 2sin sin 0A b a B R A B R A B ⋅+⋅-=-=，所以两直线是垂直的，故选C. 1 考点：两条直线的位置关系. 4． 【答案】A
【解析】解：因为底面半径为R 的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，
则这个椭圆的短半轴为：R ，长半轴为：
=，
∵a 2=b 2+c 2
，∴c=
，
∴椭圆的离心率为：e==． 故选：A ．
【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．
5． 【答案】D
【解析】解：设球的半径为R ，则圆柱、圆锥的底面半径也为R ，高为2R ，
则球的体积V 球
=
圆柱的体积V 圆柱=2πR 3
圆锥的体积V 圆锥
=
故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR 3
：
： =3：1：2
故选D
【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．
6． 【答案】C
【解析】由1(),21(2),2AD AB AC BE AB AC ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得2233,4233AB AD BE AC AD BE
⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 22422
()()33333
AB AC AD BE AD BE ⋅=-⋅+=.
7． 【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＞0，
∵a 4•a 8=2a 52，∴a 62=2a 52
， ∴q 2
=2，∴q=
， ∵a 2=1，∴a 1
=
=
．
故选：D
8． 【答案】D 【解析】
试题分析：由题知(1)CB BM CM CB xCA y =-=+-，BA CA CB =-；设B
M k B A =，则,1x k y k =-=-，
可得1x y +=，当
14x y +取最小值时，()141445x y
x y x y x y y x
⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，最小值在4y x x y =时取到，此时21,33y x ==，将()
1
,CN 2
CM xCA yCB CA CB =+=
+代入，则
()22111233322233x y CM CN xCA yCB CA CB x y +⎛⎫⋅=
++⋅=+=+= ⎪⎝⎭
.故本题答案选D. 考点：1.向量的线性运算；2.基本不等式． 9． 【答案】C
【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵S 3=a 2+10a 1，a 5=9，
∴，解得
．
∴
．
故选C ．
【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．
10．【答案】C
【解析】当{2,1,1,2,4}x ∈--时，2log ||1{1,1,0}y x =-∈-，所以A B ={1,1}-，故选C ．
11．【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为
123123
1
=⨯⨯，故选C. 12．【答案】 B
【解析】依题意，2, 2.b kc ==
设圆心到直线l 的距离为d ，则L =≥
解得216
5d ≤。

又因为
d =2116,15k ≤+解得2
14k ≥。

于是222
222211c c e a b c k ===++，所以
2
40,5e <≤解得0e <≤故选B ． 二、填空题
13．【答案】2016
【解析】因为函数()f x 为奇函数且x ∈R ，则由(0)0f =，得00
63e 032e b
a -=，整理，得2016a
b =． 14．【答案】 2 ．
【解析】解：∵数据﹣2，﹣1，0，1，2，
∴=，
∴S2=[（﹣2﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]=2，
故答案为2；
【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x
，x2，…x n的平均数，是一道基础题；
1
15．【答案】12
【解析】
考点：球的体积与表面积．
【方法点晴】本题主要考查了球的体积与表面积的计算，其中解答中涉及到正方体的外接球的性质、组合体的结构特征、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中仔细分析，得出正方体的体对角线的长就外接球的直径是解答的关键．
16．【答案】4．
【解析】解：由题意，设P（4cosθ，2sinθ）
则P到直线的距离为d==，
当sin（θ﹣）=1时，d取得最大值为4，
故答案为：4．
17．【答案】
【解析】解：对于①，把函数y=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得
到函数y=sin（2x﹣），故①正确．
对于②，当α，β是第一象限角且α＜β，如α=30°，β=390°，则此时有cosα=cosβ=，故②错误．
对于③，当x=﹣时，2x+π=π，函数y=cos （2x+π）=﹣1，为函数的最小值，故x=﹣是函
数y=cos （2x+
π）的一条对称轴，故③正确．
对于④，函数y=4sin （2x+）=4cos[
﹣（2x+
）]=4cos （
﹣2）=4cos （2x ﹣
），
故函数y=4sin （2x+）与函数y=4cos （2x ﹣）相同，故④正确．
对于⑤，在上，2x ﹣
∈，函数y=2sin （2x ﹣
）在上没有单调性，故⑤错误，
故答案为：①③④．
18．【答案】 2 ．
【解析】解：设等比数列的公比为q ， 由S 3=a 1+3a 2，
当q=1时，上式显然不成立；
当q ≠1时，得
，
即q 2
﹣3q+2=0，解得：q=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了等比数列的前n 项和，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】 解:由条件=,设,
在中,由余弦定理得
.
=.
在中,由正弦定理,得
（
）
（分钟）
答到火车站还需15分钟.
20．【答案】
【解析】解：∵
，
∴f ′（x ）=3x 2
﹣x ﹣2=（3x+2）（x ﹣1），
∴当x ∈[﹣1，﹣），（1，2]时，f ′（x ）＞0；
当x ∈（﹣，1）时，f ′（x ）＜0；
∴f （x ）在[﹣1，﹣），（1，2]上单调递增，在（﹣，1）上单调递减；
且f （﹣）=﹣
﹣×+2×+5=5+
，f （2）=8﹣×4﹣2×2+5=7；
故f max （x ）=f （2）=7；
故对于任意x ∈[﹣1，2]都有f （x ）＜m 成立可化为7＜m ；
故实数m 的取值范围为（7，+∞）．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题．
21．【答案】 22．【答案】（1）a ＝
12（2）（－∞，－1－1e ]．（3）827
【解析】
（2）
f （x ）＋f （－x ）＝－6（a ＋1）x 2≥12ln x 对任意x ∈（0，+∞）恒成立， 所以－（a ＋1）≥
22ln x
x
． 令g （x ）＝22ln x
x ，x ＞0，则g '（x ）＝()3
212ln x x -．
令g '（x ）＝0，解得x
当x ∈（0g '（x ）＞0，所以g （x ）在（0
当x∞）时，g'（x）＜0，所以g（x∞）上单调递减．
所以g（x）max＝g（1
e
，
所以－（a＋1）≥1
e ，即a≤－1－1
e
，
所以a的取值范围为（－∞，－1－1
e
]．
（3）因为f（x）＝2x3－3（a＋1）x2＋6ax，
所以f′（x）＝6x2－6（a＋1）x＋6a＝6（x－1）（x－a），f（1）＝3a－1，f（2）＝4．令f′（x）＝0，则x＝1或a．
f（1）＝3a－1，f（2）＝4．
②当5
3
＜a＜2时，
当x∈（1，a）时，f '（x）＜0，所以f（x）在（1，a）上单调递减；
当x∈（a，2）时，f '（x）＞0，所以f（x）在（a，2）上单调递增．
又因为f（1）＞f（2），所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（a）＝－a3＋3a2，所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－（－a3＋3a2）＝a3－3a2＋3a－1．
因为h'（a）＝3a2－6a＋3＝3（a－1）2≥0．
所以h （a ）在（5
3，2）上单调递增， 所以当a ∈（53，2）时，h （a ）＞h （53）＝8
27
．
③当a ≥2时，
当x ∈（1，2）时，f '（x ）＜0，所以f （x ）在（1，2）上单调递减， 所以M （a ）＝f （1）＝3a －1，m （a ）＝f （2）＝4， 所以h （a ）＝M （a ）－m （a ）＝3a －1－4＝3a －5， 所以h （a ）在[2，＋∞）上的最小值为h （2）＝1． 综上，h （a ）的最小值为
8
27
． 点睛：已知函数最值求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数最值取法，根据最值列等量关系，确定参数值或取值范围；（2）利用最值转化为不等式恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.
23．【答案】（1）最大值为，最小值为32-；（2）14
. 【解析】
试题分析：（1）将函数利用两角和的正余弦公式,倍角公式,辅助角公式将函数化简()sin(2)16
f x x π
=--
再利用()sin()(0,||)2f x A x b πωϕωϕ=++><
的性质可求在[0,]2
π
上的最值；（2）利用()0f B =,可得B ,再由余弦定理可得AC ,再据正弦定理可得sin A .1
试题解析：
（2）因为()0f B =，即sin(2)16
B π
-
=
∵(0,)B π∈，∴112(,)6
66
B π
ππ
-
∈-
，∴26
2
B π
π
-
=
，∴3
B π
=
又在ABC ∆中，由余弦定理得，
2221
2cos
49223732b c a c a π
=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯
=，所以AC .
由正弦定理得：sin sin b a B A =3sin sin 3A =，所以sin A =.
考点：1.辅助角公式；2.()sin()(0,||)2
f x A x b π
ωϕωϕ=++><
性质；3.正余弦定理.
【思路点睛】本题主要考查倍角公式,正余弦定理.在利用正,余弦定理 解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角. 24．【答案】
【解析】解：（1）当n=1时，2S 1=2a 1=a 2+2， ∴a 2=4…1；
（2）当n ≥2时，2a n =2s n ﹣2s n ﹣1=a n+1+2n ﹣a n ﹣2（n ﹣1）=a n+1﹣a n +2， ∴a n+1=3a n ﹣2，
∴a n+1﹣1=3（a n ﹣1）…4， ∴
，
∴{a n ﹣1}从第二项起是公比为3的等比数列…5， ∵，
∴， ∴；
（3）∴ (8)
∴①…9 ∴
②
①﹣②得：
，
=，
=（2﹣2n）×3n﹣4， (11)
∴ (12)
【点评】本题考查等比数列的通项公式，数列的递推公式，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．。