20-21版：§3.2 古典概型（步步高）

§3.2 古典概型 学习目标 1.了解基本事件的特点.2.理解古典概型的定义.3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题.4.理解(整数值)随机数(random numbers)的产生．
知识点一 基本事件
1．定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验的基本事件．
2．特点：(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
知识点二 古典概型
1．定义：古典概型满足的条件：
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
2．计算公式：对于古典概型，任何事件的概率为P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数
. 知识点三 随机数的产生
1．随机数的产生
(1)标号：把n 个大小、形状相同的小球分别标上1,2,3，…，n .
(2)搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌．
(3)摸取：从中摸出一个．
这个球上的数就称为从1～n 之间的随机整数，简称随机数．
2．伪随机数的产生
(1)规则：依照确定算法．
(2)特点：具有周期性(周期很长)．
(3)性质：它们具有类似随机数的性质．
计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．
3．产生随机数的常用方法
(1)用计算器产生．(2)用计算机产生．(3)抽签法．
4. 随机模拟方法(蒙特卡罗方法)
利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法．
1．任何一个事件都是一个基本事件．(×)
2．古典概型具有两个特征——无限性和等可能性．(×)
3．古典概型中的任何两个基本事件都是互斥的．(√)
4．相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的．(×)
一、基本事件的计数问题
例1将一枚骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个基本事件？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？
解方法一(列举法)：
(1)用(x，y)表示结果，其中x表示骰子第1次出现的点数，y表示骰子第2次出现的点数，则试验的所有结果为
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个基本事件．
(2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
方法二(列表法)：
如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应．
(1)由图知，基本事件总数为36.
(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用虚线圈出)．
方法三(树状图法)：
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：
(1)由图知，共36个基本事件．
(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用“√”标出)．
反思感悟基本事件的探求方法
(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．
(2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数．
(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验问题．
跟踪训练1(1)某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案 C
解析该生选报的所有可能情况：{数学和计算机}，{数学和航空模型}，{计算机和航空模型}，所以基本事件有3个．
(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．
①写出这个试验的所有基本事件；
②求这个试验的基本事件的总数；
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？
解①这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
②这个试验包含的基本事件的总数是8.
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
二、古典概型的概率计算
例2某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率． 解 (1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，共15个．
所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个，
则所求事件的概率为P ＝315＝15
. (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，共9个． 包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有
{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个，
则所求事件的概率为P ＝29
. 反思感悟 首先，阅读题目，收集题目中的各种信息；其次，判断基本事件是否为等可能事件，并用字母A 表示所求事件；再次，求出基本事件的总数n 及事件A 包含的基本事件的个数m ；最后，利用公式
P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数
＝m n ，求出事件A 的概率． 跟踪训练2 一个盒子里装有三张卡片，分别标记数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．
解 (1)由题意知，(a ，b ，c )所有的可能为
(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，
则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．
所以P (A )＝327＝19
. 因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19
. (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，
(3,3,3)，共3种．
所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89
. 因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89
. 三、随机模拟法估计概率
例3 种植某种树苗成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，求恰好成活4棵的概率．设计一个试验，用随机模拟法估计上述概率．
解 利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9.因为是种植5棵，所以每5个随机数作为一组．例如，产生30组随机数：
69801 66097 77124 22961 74235 31516 29747 24945
57558 65258 74130 23224 37445 44344 33315 27120
21782 58555 61017 45241 44134 92201 70362 83005
94976 56173 34783 16624 30344 01117
这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9
组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率约为930
＝0.3. 反思感悟 随机数模拟法估计概率的步骤
(1)确定随机数的范围及表示，如题中树苗成活率为0.9，故产生0～9之间的整数随机数，0代表不成活，其余表示成活．
(2)确定产生随机数的位数，如题中要种植5棵，所以随机数五位一组，每位表示1棵．
(3)产生若干组(N )随机数，找出满足条件的随机数的组数(n )．
(4)求出频率：ƒ＝n N
，估计概率． 跟踪训练3 袋子中有四个小球，分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，从中任取一个小球，取到“冬”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1,2,3,4表示取出的小球上分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计，直到第二次就停止的概率为( )
A.15
B.14
C.13
D.12
答案 B
解析 20组随机数中，第一次不是4且第二次是4的数共有5组，故估计直到第二次就停
止的概率为520＝14
.
综合型古典概型的概率计算
典例 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 的三件产品中，每次任取一件．
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
解 (1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．
用A 表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，
所以A ＝{(a 1，b )，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)}．
因为事件A 由4个基本事件组成，所以P (A )＝46＝23
. (2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，b )，共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，
则B ＝{(a 1，b )，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)}．事件B 由4个基本事件组成，因而P (B )＝49
. [素养评析] (1)解决有序和无序问题应注意两点
①关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误． ②关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a 1，b )，(b ，a 1)不是同一个基本事件．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是相等的．
(2)对于求古典概型的概率问题，关键是判断事件是否为古典概型，能正确求出基本事件的个数，利用公式求解概率，这些都是数学核心素养逻辑推理与数学运算的体现．
1．下列试验中，属于古典概型的是( )
A ．种下一粒种子，观察它是否发芽
B ．从规格直径为250 mm±0.6 mm 的一批合格产品中任意抽取一根，测量其直径d
C ．抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面
D ．某人射击中靶或不中靶
答案 C
解析 依据古典概型的特点判断，只有C 项满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相同．
2．(多选)一个家庭有两个小孩，对于性别，则所有可能的基本事件有( )
A ．(女、女)
B ．(女、男)
C ．(男、女)
D ．(男、男)
答案 ABCD
解析 把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的情况是(男、男)，(男、女)，(女、男)，(女、女)．
3．某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为( )
A.15
B.14
C.49
D.59
答案 C
解析 袋中有9个大小相同的球，从中任意取出1个，共有9种取法．取出的球恰好是白球，
共有4种取法．故取出的球恰好是白球的概率为49
.故选C. 4．利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2，小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为( )
A.12
B.13
C.14
D.15
答案 A
解析 抛掷硬币两次，产生的随机数的情况有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共四种，其中随
机数之和为3的情况有(1,2)，(2,1)两种，故所求概率为24＝12
5．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为________．
答案 13
解析 设两个红球分别为A ，B ，两个白球分别为C ，D ，从中任取两个球，有如下取法： (A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6种情形，其中颜色相同的有(A ，
B )，(
C ，
D )，共2种情形，故P ＝26＝13
.
1．知识清单：
(1)基本事件．
(2)古典概型的定义及特点．
(3)古典概型的概率计算公式．
2．方法归纳：列举法、列表法、树状图法、分类讨论、转化化归．
3．常见误区：基本事件列举不全；混淆“等可能性”与“非等可能性”．。