2020-2021下海向明初级中学高三数学下期末模拟试卷附答案

2020-2021下海向明初级中学高三数学下期末模拟试卷附答案
一、选择题
1．已知在ABC V 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ）
A ．14
-
B ．
14
C ．23
-
D ．
23
2．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( ) A ．22y x =-
B ．1()2
x
y =
C ．2y log x =
D ．()
2
112
y x =
- 3．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）
A ．()D ξ减小
B ．()D ξ增大
C ．()
D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小
4．函数()()2
ln 1f x x x
=+-的一个零点所在的区间是( ) A ．()0,1
B ．()1,2
C ．()2,3
D ．()3,4
5．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种
B ．10种
C ．18种
D ．20种
6．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ） A ．7，5，8
B ．9，5，6
C ．7，5，9
D ．8，5，7
7．当1a >时， 在同一坐标系中，函数x
y a -=与log a y x =-的图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．在ABC V 中，若 13,3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．已知a 为函数f （
x ）=x 3–12x 的极小值点，则a=
A ．–4
B ．–2
C ．4
D ．2
10．设集合，，则
=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是
A ．3
B ．2
C 3
D 2
12．在ABC ∆中，60A =︒，45B =︒，32BC =AC =（ ） A ．
32
B 3
C ．23
D ．43二、填空题
13．函数()22,0
26,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩
的零点个数是________．
14．已知实数x ，y 满足24
240x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≤⎩
，则32z x y =-的最小值是__________．
15．已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，
的均值为
．
16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．
17．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则
a =__________．
18．已知直线：与圆
交于
两点，过
分别作的垂线与
轴交于
两点.则
_________.
19．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2
EF =
，现有如下四个结论： AC BE ①⊥；//EF ②平面ABCD ；
③三棱锥A BEF -的体积为定值；④异面直线,AE BF 所成的角为定值，
其中正确结论的序号是______．
20．在ABC ∆中，若13AB =3BC =，120C ∠=︒，则AC =_____．
三、解答题
21．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22
21141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
，（t 为参数），以坐标原点O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
2cos 3sin 110ρθρθ++=．
（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．
22．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的一个焦点为
)
5,0，离心率为53
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨
迹方程.
23．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，
90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.
（1）求证：AF ⊥平面ABCD ； （2）若二面角D AP C --的余弦值为
6
3
，求PF 的长度. 24．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。

某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下： 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分
用户编号 评分 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
78 73 81 92 95 85 79 84 63 86
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
88 86 95 76 97 78 88 82 76 89
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
79 83 72 74 91 66 80 83 74 82
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
93 78 75 81 84 77 81 76 85 89
用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.
（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据； （2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2s ；
（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在()
,x s x s -+之间，则满意度等级为“A 级”。

试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比是多少？
303335 5.92≈≈≈）
25．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，
3
BAD π∠=，PAD ∆是等边
三角形，F 为AD 的中点，PD BF ⊥.
（1）求证：AD PB ⊥； （2）若E 在线段BC 上，且1
4
EC BC =
，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ？若存在，求四面体D CEG -的体积.
26．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*
1232()n n a a a a b n N ++++=∈L ，且{}n a 为正项等比
数列，12a =，324b b =+. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足*221
1
()log log n n n c n N a a +=
∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：
1n T <.
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,
则()()()222
3241
cos 2324
k k k C k k
+-=
=-⨯⨯ ，选A.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据,x y 的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系.
根据实验数据可以得出，x 近似增加一个单位时，y 的增量近似为2.5，3.5，4.5，6，比较
接近()
2
112
y x =
-，故选D. 【点睛】
本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】
111
()0122222
p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+Q ， 2222111111()(0)(1)(2)2222224
p p D p p p p p ξ-∴=
--+--+--=-++， 1
(0,1)2
∈Q ，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】
2
221
1
1
(),()(())().n
n
n
i i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
先求出(1)(2)0,f f <根据零点存在性定理得解. 【详解】
由题得()2
1ln 2=ln 2201
f =-
-<， ()2
2ln3=ln3102
f =-->，
所以(1)(2)0,f f <
所以函数()()2
ln 1f x x x
=+-的一个零点所在的区间是()1,2. 故选B 【点睛】
本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
5．B
【解析】 【分析】 【详解】
分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C 42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C 41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数. 【详解】
由于样本容量与总体中的个体数的比值为
201
1005
=，故各年龄段抽取的人数依次为14595⨯=，1
2555⨯=，20956--=.故选：B
【点睛】
本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项. 【详解】
由于1a >，所以1x
x
a y a -=⎛⎫
= ⎪⎝⎭
为R 上的递减函数，且过()0,1；log a y x =-为()0,∞+上的单调递减函数，且过()1,0，故只有D 选项符合. 故选：D. 【点睛】
本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础题.
8．A
解析：A 【解析】
余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=
解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.
解析：D 【解析】
试题分析：()()()2
312322f x x x x ==+'--，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得
()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即
2a =，故选D.
【考点】函数的导数与极值点
【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点.
10．B
解析：B 【解析】 试题分析：集合
，故选B.
考点：集合的交集运算.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
M N Q ，是双曲线的两顶点，M O N ，，将椭圆长轴四等分 ∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍 Q 双曲线与椭圆有公共焦点，
∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2
故答案选B
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
在三角形中，利用正弦定理可得结果. 【详解】 解：在ABC ∆中， 可得
sin sin BC AC
A B
=,
sin 45
AC =
2
=
解得AC = 故选C. 【点睛】
本题考查了利用正弦定理解三角形的问题，解题的关键是熟练运用正弦定理公式.
二、填空题
13．2【解析】【详解】当x≤0时由f （x ）=x2﹣2=0解得x=有1个零点；当x ＞0函数f （x ）=2x ﹣6+lnx 单调递增则f （1）＜0f （3）＞0此时函数f （x ）只有一个零点所以共有2个零点故答案为：
解析：2 【解析】 【详解】
当x≤0时，由f （x ）=x 2﹣2=0，解得
x=1个零点； 当x ＞0，函数f （x ）=2x ﹣6+lnx ，单调递增，
则f （1）＜0，f （3）＞0，此时函数f （x ）只有一个零点， 所以共有2个零点． 故答案为：2． 【点睛】
判断函数零点个数的方法
直接法（直接求零点）：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点， 定理法（零点存在性定理）：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点，
图象法（利用图象交点的个数）：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数，
性质法（利用函数性质）：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
14．6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时直线
解析：6 【解析】 【分析】
画出不等式组表示的可行域，由32z x y =-可得322z y x =-，平移直线322
z
y x =-，结合图形可得最优解，于是可得所求最小值． 【详解】
画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．
由32z x y =-可得322
z
y x =-． 平移直线322z y x =
-，结合图形可得，当直线322
z
y x =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值． 由题意得A 点坐标为(2,0)，
∴min 326z =⨯=，
即32z x y =-的最小值是6． 故答案为6． 【点睛】
求目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值时，可将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：
a z
y x b b =-+，通过求直线的纵截距z b 的最值间接求出z 的最值．解题时要注意：①当
0b >时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z
b 取最小值时，z 也取最小值；②当
0b <时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z
b
取最小值时，z 取最大值．
15．11【解析】因为样本数据x1x2⋅⋅⋅xn 的均值x=5所以样本数据
2x1+12x2+1⋅⋅⋅2xn+1的均值为2x+1=2×5+1=11所以答案应填：11考点：均值的性质 解析：
【解析】 因为样本数据
，
，
，
的均值
，所以样本数据，
，
，
的均值为
，所以答案应填：
．
考点：均值的性质．
16．390【解析】【分析】【详解】用2色涂格子有种方法用3色涂格子第一步选色有第二步涂色共有种所以涂色方法种方法故总共有390种方法故答案为:390
解析：390 【解析】 【分析】 【详解】 用2色涂格子有
种方法,
用3色涂格子,第一步选色有,第二步涂色,共有
种,
所以涂色方法种方法,
故总共有390种方法. 故答案为:390
17．【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化 解析：12【解析】 【分析】
根据2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a . 【详解】
因为2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， 由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，
由2cos ρθ=，得2
=2cos ρρθ，即22=2x y x +，即22(1)1x y -+=，
111201 2.2
a a a a -=∴=±>∴=+Q ，，，
【点睛】
（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；
（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2
cos ,sin ,ρθρθρ的形式，
进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
18．4【解析】试题分析：由x-3y+6=0得x=3y-6代入圆的方程整理得y2-33y+6=0解得y1=23y2=3所以x1=0x2=-3所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=23又直线l 的
解析：4 【解析】 试题分析：由
，得
，代入圆的方程，整理得，解得
，所以
，所以
．又直线的倾斜角为
，由平面几何知识知在梯
形
中，
．
【考点】直线与圆的位置关系
【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．
19．【解析】【分析】对于①可由线面垂直证两线垂直；对于②可由线面平行的定义证明线面平行；对于③可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对 解析：①②③
【解析】 【分析】
对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值． 【详解】
对于①，由1,AC BD AC BB ⊥⊥，可得AC ⊥面11DD BB ，故可得出AC BE ⊥，此命题正确；
对于②，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF 在平面1111D C B A 内，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确；
对于③，EF 为定值，B 到EF 距离为定值，所以三角形BEF 的面积是定值，又因为A 点到面11DD BB 距离是定值，故可得三棱锥A BEF -的体积为定值，此命题正确； 对于④，由图知，当F 与1B 重合时，此时E 与上底面中心为O 重合，则两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是
1OBC ∠，此二角不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不为定值，此命题错误．
综上知①②③正确，故答案为①②③
【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
20．1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确定AC 的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计
解析：1 【解析】 【分析】
由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值. 【详解】
由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去）. 【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题
21．（1）2
2
:1,(1,1]4
y C x x +=∈-
；:2110l x ++=；（2
【解析】 【分析】
（1）利用代入消元法，可求得C 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l 的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值. 【详解】 （1）由2
2
11t x t -=
+得：210,(1,1]1x t x x -=≥∈-+，又()
2
2
22161t y t =+ ()()22
2116141144111x
x y x x x x x -⨯
+∴==+-=--⎛⎫+ ⎪+⎝⎭
整理可得C 的直角坐标方程为：2
2
1,(1,1]4
y x x +=∈-
又cos x ρθ=，sin y ρθ=
l ∴的直角坐标方程为：23110x y ++=
（2）设C 上点的坐标为：()cos ,2sin θθ
则C 上的点到直线l 的距离4sin 112cos 23sin 11677
d πθθθ⎛
⎫++ ⎪++⎝
⎭==
当sin 16πθ⎛
⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
时，d 取最小值 则min 7d = 【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.
22．（1）22194
x y +=；（2）22
013x y +=. 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、
b 、
c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：
第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、
2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为
()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用
0∆=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方
程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. （1）由题意知
5533
a a =⇒=，且有2235
b -=2b =，
因此椭圆C 的标准方程为22
194
x y +=；
（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-， 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-， 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得
()()()2
2
2000094189360k
x k y kx x y kx ++-+--=，
()(
)
()22
20000184949360k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--⨯+--=⎣⎦⎣⎦
，
化简得()2
2
00
940y kx k ---=，即()()22
20
00
9240x k kx y y --+-=，
则1k 、2
k 是关于k 的一元二次方程()()22
20
00
9240x k kx y y --+-=的两根，则
201220419
y k k x -==--，
化简得22
0013x y +=；
②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆
2213x y +=上.
综上所述，点P 的轨迹方程为2
2
13x y +=.
考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用. 23．（1）见解析；（2
【解析】 【分析】
（1）先证明AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，即得AF ⊥平面ABCD ；（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题
得cos ,m AB m AB m AB
⋅===
u u u v
u u u v u u u v ，解方程即得解.
【详解】
（1）证明：∵90BAF ∠=︒，∴AB AF ⊥，
又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF I 平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ， ∴AF ⊥平面ABCD .
（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D
，()0,0,1F ，
∴()0,2,1FD u u u v =-，()1,2,0AC =u u u v
，()1,0,0AB =u u u r
由题知，AB ⊥平面ADF ，
∴()1,0,0AB =u u u r
为平面ADF 的一个法向量， 设()01FP FD λλ=≤<u u u v u u u v ，则()0,2,1P λλ-，∴()0,2,1AP λλ=-u u u v
，
设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则0
0m AP m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩
u u u v u u u v ，
∴
()
210
20
y z
x y
λλ
⎧+-=
⎨
+=
⎩
，令1
y=，可得
2
2,1,
1
m
λ
λ
⎛
⎫
=-
⎪
-
⎝⎭
，
∴2
6
cos,
2
141
1
m AB
m AB
m ABλ
λ
⋅
===
⎛⎫
⋅++ ⎪
-
⎝⎭
u u u v
u u u v
u u u v
，得
1
3
λ=或1
λ=-（舍去），
∴
5
PF=.
【点睛】
本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解
掌握水平和分析推理能力.
24．（1）见解析；（2）均值83
x=，方差233
s=（3）50%
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由表格分析可得通过系统抽样分别抽取编号，据此可得样本的评分数据；（2）根据题意，由平均数和方差公式计算可得答案；
（3）根据题意，分析评分在(833333
，，即（77.26，88.74）之间的人数，进而
计算进而可得答案．
【详解】
（1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40
则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89.
（2）由（1）中的样本评分数据可得
()
1
9284867889748378778983
10
x=+++++++++=，
则有
()()()()()()()()()() 2222222222 2
1
9283848386837883898374838383788377838983 10
S⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-⎣⎦
33
=
所以均值83
x=，方差233
s=.
（3）由题意知评分在(8333,8333即()
77.26,88.74之间满意度等级为“A级”，由（1）中容量为10的样本评分在()
77.26,88.74之间有5人，
则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为5
0.550%10
== 【点睛】
本题考查系统抽样方法以及数据方差的计算，关键是分析取出的数据，属于基础题． 25．（1）证明见解析；（2）112
. 【解析】 【分析】
（1）连接PF ，BD 由三线合一可得AD ⊥BF ，AD ⊥PF ，故而AD ⊥平面PBF ，于是AD ⊥PB ； （2）先证明PF ⊥平面ABCD ，再作PF 的平行线，根据相似找到G ，再利用等积转化求体积． 【详解】 连接PF ，BD,
∵PAD ∆是等边三角形，F 为AD 的中点， ∴PF ⊥AD ，
∵底面ABCD 是菱形，3
BAD π
∠=
，
∴△ABD 是等边三角形，∵F 为AD 的中点， ∴BF ⊥AD ，
又PF ，BF ⊂平面PBF ，PF ∩BF ＝F ， ∴AD ⊥平面PBF ，∵PB ⊂平面PBF ， ∴AD ⊥PB ．
（2）由（1）得BF ⊥AD ，又∵PD ⊥BF ，AD ，PD ⊂平面PAD ， ∴BF ⊥平面PAD ，又BF ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ，
由（1）得PF ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PF ⊥平面ABCD ，
连接FC 交DE 于H,则△HEC 与△HDF 相似，又1142EC BC FD ==，∴CH=1
3
CF ， ∴在△PFC 中,过H 作GH //PF 交PC 于G ，则GH⊥平面ABCD ，又GH ⊂面GED ，则面GED⊥
平面ABCD ， 此时CG=
1
3
CP, ∴四面体D CEG -
的体积
11111
223382312
D CEG G CED CED V V S GH PF V --==⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=．
所以存在G 满足CG=13CP, 使平面DEG ⊥平面ABCD ，且112
D CEG V -=. 【点睛】
本题考查了线面垂直的判定与性质定理，面面垂直的判定及性质的应用，考查了棱锥的体积计算，属于中档题．
26．（1）2n
n a =，21n n b =-；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2b n ①，n ≥2时，a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2b n ﹣1②，①﹣②可得：a n ＝2（b n ﹣b n ﹣1）（n ≥2），{a n }公比为q ，求出a n ，然后求解b n ；（2）化简
221
1
log log n n n c a a +=
（n ∈N *），利用裂项消项法求解数列的和即可．
【详解】
（1）由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2b n ①
n ≥2时，a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2b n ﹣1②
①﹣②可得：a n ＝2（b n ﹣b n ﹣1）（n ≥2）， ∴a 3＝2（b 3﹣b 2）＝8
∵a 1＝2，a n ＞0，设{a n }公比为q ， ∴a 1q 2
＝8，∴q ＝2 ∴a n ＝2×2
n ﹣1
＝2n
∴(
)1231
212222222
212
n n n n b +-=++++==--L ，
∴b n ＝2n ﹣1．
（2）证明：由已知：()2211111
1n n 1
n n n c log a log a n n +=
==-++．
∴1231111111
111223n n 11
n c c c c n L L ++++=-+-++-=-<++ 【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．数列求和的
常见方法有：列项求和，错位相减求和，倒序相加求和.。