《线性代数》-代数难题讲解

线性代数疑难习题讲解 （2005．6） 1．
题目 证明向量321,,ααα线性无关的充要条件是313221,,αααααα+++线性无关。

知识点：线性无关，向量的初等变换。

解题步骤：
方法一。

必要性：
设0=+++++)()()(313322211ααααααk k k 即0=+++++332221131)()()(αααk k k k k k ∵321,,ααα线性无关 ∴有方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+=+0
0032
2131k k k k k k ∵其系数矩阵的行列式:
021********≠= ∴⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+=+0
0032
2131k k k k k k 只有零解
即⎪⎩⎪
⎨⎧===0003
21k k k ∴313221,,αααααα+++线性无关 充分性：
设 0=++33211ααk k k
即
0=++-+++-+++-)(2
)(2)(2)(313
213221321132ααααααk k k k k k k k k
313221,,αααααα+++线性无关
∴⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧=+-=+-=+-020202
3
212131
32k k k k k k k k k
其系数矩阵的行列式：
022*********
122002011121111111111212
1
2
121212*********
≠=-=--=---=---
∴方程只有零解
即⎪⎩⎪
⎨⎧===0003
21k k k ∴321,,ααα线性无关. 方法二：
∵−−→−-+−−→−+++--c c c c c 32
31
2
2
1
2
1221313221)2,,(),,(ααααααααααα ),,(),,(132113213
23
1ααααααααc c c c +-
−−→−-+
∴),,(),,(132313221αααααααααrank rank =+++
故321,,ααα线性无关的充要条件是313221,,αααααα+++线性无关
方法总结：方法一是从定义出发进行证明，必要性比较容易想到，但充分性比较难。

方法二是利用初等变换求新变量的秩一只证明了必要性，充分性不容易证明. 相关例题：例4.9（P67） 2．
题目 设A 为n 阶实矩阵，证明：若0=T
AA ，则0=A 。

知识点：矩阵相乘、转置矩阵、零矩阵概念 解题步骤：
证明：设
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 2
1
22221
11211，则⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=nn n n
n n T
a a a a a a a a a A 212221212111
∴
=⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝
⎛+++*
*
**+++****
+++**
**
+++=222212
323223122222221212
12211nn n n n
n
n T a a a a a a a a a a a a AA
其中*为省略表示的代数和
∴02
22212222222121212211=+++==+++=+++nn n n n n a a a a a a a a a
∵ij a 为实数
∴0212222111211=============nn n n n n a a a a a a a a a 即ij a ＝0 ∴()
0==⨯n
m ij a A
常见错误及原因：混淆了零矩阵与行列式为零的概念，由
0)det(,0)det()det()det(,0====A A A AA AA T T T
得出0=A 。

3．
设A 为n 阶矩阵，若E A =2
，试证的特征值是 -1或1. 知识点：特征值与特征向量 解题步骤：
方法一。

设A 的特征值为λ，对应的特征向量为X ，则有： X AX λ=
两边左乘矩阵A 得：
X A AAX λ=或AX X A λ=2
把E A =2
和X AX λ=代入上式得：
X X EX 2λ==
因为X 为非零向量，所以
12=λ
1±=λ
方法二。

∵E A =2
∴0=-22E A 或0=--+2E AE EA AA ∴0=-+))((E A E A ∴0)det()det(=-+E A E A ∴0)det(=+E A 或0)det(=-E A ∴A 的特征值为1-或1
方法三。

设A 的特征值为λ，并设有多项式1)(2-=x x f 则方阵E A A f -=2)(的特征值为1)(2-=λλf 由∏==n
i i
A 1
)det(λ
得
∴01))(det(2=-=λA f 即12
=λ
∴1±=λ
相关例题：例5.4（P89）
4．
题目 设A, X, B 分别是m ×n,n ×1,m ×1矩阵，B ≠0; 是方程AX =B 的一个解；对应的齐次方程AX =0的一个基础解系为ξ1，ξ
2
，… ，ξ
r
n -，r = rank(A ). 证明 η , ξ1，ξ
2
，
ξ3…… ，ξ
r
n -线性无关。

知识点：基础解系，线性无关
解题步骤：方法一。

证明： ξ
1，ξ
2
，ξ3……，ξr n-是齐次方程AX=0的一个基础解系。

∴ξ
1
，ξ2，ξ3……，ξr n-线性无关。

Rank (ξ1，ξ2，ξ3……ξr n-) = n－r
η是方程AX=B的一个解，B≠0
∴η不能由ξ
1
，ξ2，ξ3……，ξr n-线性表示
∴Rank (η，ξ
1
，ξ2，ξ3……，ξr n-) = n－r＋1
∴η, ξ1，ξ2，ξ3……，ξr n-线性无关. 方法二。

（从定义出发）
设存在k, k
1, k
2
, k
3
…, k
r
n-
，使
kη+ k1ξ1+ k2ξ2+……+k r n-ξr n-= 0
在等式两边左乘A，有
k Aη+ k1Aξ1+ k2Aξ2+……+k r n-Aξr n-= 0
ξ1，ξ2，ξ3……，ξr n-是齐次方程AX=0的一个基础解系，η是方程AX=B的一个解。

∴k
1
Aξ1+ k2Aξ2+……+k r n-Aξr n-=0，Aη=B
∴k B=0
B≠0
∴k = 0
∴k
1ξ
1
+ k
2
ξ
2
+……+ k
r
n-
ξ
r
n-
=0成立
ξ
1
，ξ2，ξ3……，ξr n-是齐次方程AX=0的一个基础解系。

∴ξ
1
，ξ2，ξ3……，ξr n-线性无关
∴k
1=k
2
=k
3
= ……= k
r
n-
=0
∴k = k
1= k
2
= k
3
= ……= k
r
n-
=0
∴η, ξ
1，ξ
2
，ξ3……，ξr n-线性无关.
方法三。

（反证法）
假设η可由ξ
1，ξ
2
，ξ3……，ξr n-线性表示，
即η=∑-
=r
n
i
i
i
k 1
ξ
ξ1，ξ2，ξ3……，ξr n-是齐次方程AX=0的一个基础解系。

∴ξ
1
，ξ2，ξ3……，ξr n-线性无关
η是方程AX=B的一个解
∴A∑-
=r
n
i
i
i
k
1
ξ= 0 =B这与B≠0矛盾
∴假设不成立
∴η不能由ξ
1
，ξ2，ξ3……，ξr n-线性表示
∴Rank(η，ξ
1
，ξ2，ξ3……，ξr n-)=n-r+1
∴η, ξ
1
，ξ2，ξ3……，ξr n-线性无关。