2020年四川省成都市成华区中考数学二诊试卷(含答案解析)

2020年四川省成都市成华区中考数学二诊试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列关于“0”的说法正确的有()
①0是正数与负数的分界数；②0℃是一个确定的温度；③0是正数；④0是自然数；⑤不存在
既不是正数，也不是负数的数．
A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 2个
2.如图是由4个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的俯视图是()
A.
B.
C.
D.
3.下列图形中，既是轴对称又是中心对称的图形有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4.截至今年4月10日，舟山全市蓄水量为84327000m3，数据84327000用科学记数法表示为()
A. 0.84327×108
B. 8.4327×107
C. 8.4327×108
D. 84327×103
5.下列运算正确的是()
A. 2x+3y=5xy
B. x2⋅x3=x6
C. x5÷x=x4
D. (x−y)2=x2−y2
6.一组数据90，60，90，60，90，70，它们的众数、中位数分别是()
A. 60，80
B. 60，70
C. 90，70
D. 90，80
7.若m<−3，则下列函数：①y=m
x
(x≥−3)，②y=−mx+1，③y=m(x+3)2，④y=(m+
3)x2(x≤0)中，y的值随x的值增大而增大的函数共有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
8.如图，在⊙O中，AB⏜=AC⏜，∠ADC=20°，则∠AOB的度数是()
A. 40°
B. 30°
C. 20°
D. 10°
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cos B的值为()
A. √15
4B. 1
4
C. √15
15
D. 4√17
17
10.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，顶点为(4,6)，则下列说法错
误的是()
A. b2>4ac
B. ax2+bx+c≤6
C. 若点(2,m)(5,n)在抛物线上，则m>n
D. 8a+b=0
二、填空题（本大题共9小题，共36.0分）
11.若代数式√3−2x
x−2
有意义，则x的取值范围是________．
12.五张扑克牌中有两张红桃，把它们背面朝上，从中任抽一张，则抽到红桃的概率是______．
13.在实数范围内定义一种运算“⊗”，其规则为a⊗b=a2−b2−5a，则方程(x+2)⊗√6=0的
所有解的和为______ ．
14.如图，分别以线段AC的两个端点A、C为圆心，大于1
2
AC的同样长
为半径画弧，两弧交于B、D两点，连接BD、AB、BC、CD、DA，
以下结论：①BD⊥AC；②AC=BD；③AC平分∠BAD；其中正确
的是．
15. 已知关于x 的一元二次方程x 2+2x −a =0的两个实根为x 1，x 2，且1x 1+1x 2=23，则a 的值为
_______． 16. 如图，数轴上点A ，B 分别对应1，2，过点B 作PQ ⊥AB ，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，
交PQ 于点C ，以原点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交数轴于点M ，则点M 对应的数是_________．
17. 桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其
数字为p ，随机摸出另一张卡片，其数字记为q ，则满足关于x 的方程x 2+px +q =0有实数根的概率是______．
18. 如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD 的顶点C 、D 在y 轴上，A 、B
两点分别在反比例函数y =k x (x <0)与y =3
x (x <0)的图象上，若
▱ABCD 的面积为5，则k 的值为______．
19. 如图，
在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点E 在边BC 上(E 不与B ，C 重合)，连接AE ，把△ABE 沿直线AE 折叠，点B 落在点B′处，当△CEB′
为直角三角形时，则△CEB′的周长为______．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
20. 如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B ，D ，某海岛上的观测塔A 距离海岸5海
里，在A 处测得B 位于南偏西22°方向．一艘渔船从D 出发，沿正北方向航行至C 处，此时在A 处测得C 位于南偏东67°方向．求此时观测塔A 与渔船C 之间的距离(结果精确到0.1海里)． (参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25，sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈12
5)
四、解答题（本大题共8小题，共76.0分）
21.(1)计算：20180−|−√3|+(−1
2
)−1+2cos30°
(2)解不等式组：{5x−2>3(x+1) 1
2
x−1≥7−3
2
x
22.先化简，再求值：b2−a2
a2−ab ÷(a+2ab+b2
a
)⋅(1
a
+1
b
)，其中a=√2+√3,b=√2−√3．
23.为积极响应创建“全国卫生城市”的号召，某校1500名学生参加了卫生知识竞赛，成绩记为A，
B，C，D四等．从中随机抽取了部分学生成绩进行统计，绘制成如图的两幅不完整的统计图，根据统计图信息，回答下列问题：
(1)此次被抽取的学生成绩共有多少份？
(2)D等学生成绩所在扇形的圆心角的度数是多少度？补全条形统计图；
(3)估计该校学生成绩为A等的学生大约有多少人？
24.如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2=k
的图象交于A(m,2)，B(n,−1)两点．
x
(1)求A点坐标及反比例函数的解析式．
(2)当y1<y2时，求自变量x的取值范围．
25.如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交
BE的延长线于点C，使∠EAC=∠EDA．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若CE=AE=2√3，求阴影部分的面积．
26.端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、
B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．
(1)求A、B两种粽子的单价各是多少？
(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进
价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
27.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠DAE=45°，
求证：AB2=BE⋅CD．
28.已知，抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C，与x轴交
于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为(1,0)，OC=3OB．
(1)直接写出C点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积
的最大值．
【答案与解析】
1.答案：A
解析：
本题考查了有理数，熟记相关概念以及0的特殊性是解题的关键．根据有理数的相关定义和0的特殊性对各小题分析判断即可得解．
解：①0是正数与负数的分界数，正确；
②0℃是一个确定的温度，正确；
③0不是正数，也不是负数，故本小题错误；
④0是自然数，故本小题正确．
⑤0既不是正数，也不是负数的数．故本小题错误
故选A．
2.答案：C
解析：解：根据题意，从上面看原图形可得到，
故选：C．
直接从上往下看，看到平面图形就是俯视图，选择正确选项即可．
本题主要考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从上往下看得到的平面图形．
3.答案：B
解析：
本题考查了中心对称图形与轴对称图形有关知识，根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断即可求解．
解：第一个图形是中心对称图形，又是轴对称图形，
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形
第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形
第四个图形是中心对称图形，又是轴对称图形．
∴既是轴对称又是中心对称的图形有2个．
故选B．
4.答案：B
解析：
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
解：因为84327000是8位数，
所以84327000=8.4327×108−1=8.4327×107．
故选B．
5.答案：C
解析：
此题考查了同底数幂的乘除法，完全平方公式，以及合并同类项，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
A.原式不能合并，错误；
B.原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
C.原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断；
D.原式利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．
解：A.原式不能合并，错误；
B.原式=x5，错误；
C.原式=x4，正确；
D.原式=x2−2xy+y2，错误，
故选C．
6.答案：D
解析：解：90出现次数最多，所以众数为90，
=80，
这组数据按小到大排列60，60，70，90，90，90，所以中位数为70+90
2
故选：D．
90出现次数最多，所以众数为90，这组数据按小到大排列60，60，70，90，90，90，所以中位数为80．
此题考查了众数、中位数的求法，正确理解中位数、众数的意义是解题的关键．
7.答案：C
解析：解：①∵m<0，∴−3≤x<0时，y的值随x的值增大而增大，x>0时，y的值随x的值增大而增大，①正确；
②∵m<−3，∴−m>0，∴y的值随x的值增大而增大，②正确；
③y=m(x+3)2，x≤0时，y的值随x的值增大而增大，x≥0时，y的值随x的值增大而减小，③不正确；
④y=(m+3)x2(x≤0)中，x≤0时，y的值随x的值增大而增大，④正确
故选：C
①根据反比例函数的性质判断即可；
②∵m<−3，∴−m>0，根据一次函数性质判断即可；
③、④根据二次函数的性质进行分析即可．
本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的性质，掌握一次函数、反比例函数和二次函数的增减性是解题的关键．
8.答案：A
解析：
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理；熟知在同圆或等圆中，同
弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题
的关键．
先由由圆周角定理求出∠AOC的度数，再由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOB的度数．
解：连接CO，如图：
∵∠ADC=20°，
∴∠AOC=40°，
∵在⊙O中，AB⏜=AC⏜，
∴∠AOC=∠AOB，
∴∠AOB=∠AOC=40°，
故选：A．
9.答案：A
解析：
此题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键，利用锐角三角函数定义求出cos B的值即可．
解：如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，
∴BC=√42−12=√15，
则cosB=BC
AB =√15
4
，
故选A．
10.答案：C
解析：解：A、由抛物线与x轴有2个交点可知b2−4ac>0，即b2>4ac，故此选项正确；
B、由抛物线的顶点坐标为(4,6)知函数的最大值为6，则ax2+bx+c≤6，故此选项正确；
C、由抛物线对称轴为x=4且开口向下知离对称轴水平距离越大函数值越小，则m<n，故此选项错误；
D、由对称轴x=−b
2a
=4知，b=−8a，即8a+b=0，故此选项正确；
故选：C．
分别根据抛物线与x轴的交点个数、函数的最大值、函数的增减性和对称轴逐一判断可得．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，当a>0，抛物线开口向上，a<0，抛物线开口向下；对称轴为直线x=−b
；抛物线与y轴的交点坐
2a
标为(0,c)；当b2−4ac>0，抛物线与x轴有两个交点；当b2−4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2−4ac<0，抛物线与x轴没有交点．
11.答案：x≤3
2
解析：
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
解：根据二次根式有意义，分式有意义得：3−2x≥0且x−2≠0，
解得：x≤3
且x≠2，
2
∴x≤3
，
2
．
故答案为x≤3
2
12.答案：2
5
解析：解：从中任抽一张，则抽到红桃的概率=2
．
5
．
故答案为2
5
直接利用概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
13.答案：1
解析：解：根据题意得(x+2)2−(√6)2−5(x+2)=0，
整理得(x+2)2−5(x+2)−6=0，
(x+2−6)(x+2+1)=0，
x +2−6=0或x +2+1=0，
所以x 1=4，x 2=−3，
所以方程(x +2)⊗√6=0的所有解的和为1．
故答案为1．
利用新定义得到(x +2)2−(√6)2−5(x +2)=0，整理得(x +2)2−5(x +2)−6=0，把方程看作关于(x +2)的一元一次方程，然后利用因式分解法解．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
14.答案：①③
解析：
本题考查的是作图−基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键.根据线段垂直平分线的作法进行逐一分析即可．
解：①∵分别以线段AC 的两个端点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，
∴AB =BC ，
∴BD ⊥AC ，故①正确；
②只有当∠BAD =90°时，AC =BD ，故②错误；
③在△ABC 与△ADC 中，
{AB =AD BC =CD AC =AC
, ∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴AC 平分∠BAD ，故③正确，
正确的是①③，
故答案为①③． 15.答案：3
解析：
本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的定义的知识点，若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a ．
解：∵关于x的一元二次方程x2+2x−a=0的两个实根为x1，x2，∴x1+x2=−2，x1x2=−a，
∴1
x1+1
x2
=x1+x2
x1x2
=−−2
a
=2
3
，
∴a=3，
故答案为3．
16.答案：√5
解析：
此题主要考查了勾股定理，根据题意得出CO的长是解题关键．
直接利用勾股定理得出OC的长，进而得出答案．
解：如图所示：
连接OC，
由题意可得：OB=2，BC=1，
则OC=√22+12=√5，依题可知OC=OM，
故点M对应的数是：√5．
故答案为：√5．
17.答案：1
2
解析：解：当p2−4q≥0时，关于x的方程x2+px+q=0有实数根，即p2≥4q时，关于x的方程x2+px+q=0有实数根，
画树状图如下：
由树状图知共有6种等可能结果，其中使关于x的方程x2+px+q=0有实数根的结果有3种结果，
∴关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率为3
6=1
2
，
故答案为：1
2
画树状图列出所有等可能结果，从中依据根的判别式找到使方程x2+px+q=0有实数根的结果数，利用概率公式计算可得．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.答案：−2
解析：
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数y=k
x
图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，在反比例函数的图象上任意一点向坐标
轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是1
2
|k|，且保持不变．也考查了平行四边形的性质．
连接OA、OB，如图，利用平行四边形的性质得AB垂直x轴，则利用反比例函数的比例系数k的几
何意义得到S△OAE和S△OBE，所以S△OAB=|k|
2+3
2
，然后根据平行四边形的面积公式可得到▱ABCD的面
积=2S△OAB=5，即可求出k的值．解：连接OA、OB，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB垂直x轴，
∴S△OAE=1
2×|k|=|k|
2
，S△OBE=1
2
×3=3
2
，
∴S△OAB=|k|
2+3
2
，
∵▱ABCD的面积=2S△OAB=5．
∴|k|+3=5，
解得k=−2或2，
∵k<0，
∴k=−2，
故答案为：−2．
19.答案：12或8+2√10
解析：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，AD=BC=8，∠DAB=∠ABC=90°
∵折叠
∴AB=AB′=6，BE=B′E，∠ABC=∠AB′E=90°
若∠CEB′=90°，且∠DAB=∠ABC=90°，
∴四边形ABEB′是矩形，且AB=AB′=6
∴四边形ABEB′是正方形，
∴BE=B′E=6，
∴EC=BC−BE=2
∴B′C=√B′E2+EC2=2√10∴△CEB′的周长=EC+B′C+B′E=8+2√10，
若∠EB′C=90°，且∠AB′E=90°
∴∠AB′E+∠EB′C=180°
∴点A，点B′，点C三点共线，
在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=10，
∴B′C=AC−AB′=10−6=4
∴△CEB′的周长=EC+B′C+B′E=8+4=12
故答案为：12或8+2√10
由矩形的性质和折叠的性质可得AB=AB′=6，BE=B′E，∠ABC=∠AB′E=90°，分∠CEB′=90°，∠EB′C=90°两种情况讨论，由勾股定理可求B′C的长，即可求△CEB′的周长．
本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用分类讨论思想解决问题是本题的关键．20.答案：解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F，
得矩形CDEF，
∴CF=DE，
根据题意可知：
AE=5，∠BAE=22°，
∴BE=AE⋅tan22°=5×2
5
=2，
∴DE=BD−BE=6−2=4，
∴CF=4，
在Rt△AFC中，∠CAF=67°，
∴AC=FC
sin67∘=4×13
12
≈4.3(海里)．
答：观测塔A与渔船C之间的距离约为4.3海里．
解析：过点A 作AE ⊥BD 于点E ，过点C 作CF ⊥AE 于点F ，得矩形CDEF ，再根据锐角三角函数即可求出观测塔A 与渔船C 之间的距离．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
21.答案：解：(1)原式=1−√3−2+2×√32
=1−√3−2+√3
=−1；
(2){5x −2>3(x +1)①12x −1≥7−32
x②， 由①得：x >2.5，
由②得：x ≥4，
则不等式组的解集为x ≥4．
解析：本题主要考查实数的运算与解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握零指数幂、三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质及不等式的性质．
(1)原式第一项利用零指数幂的意义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用负整数指数幂的意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算，计算即可得到结果；
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
22.答案：解：原式=−(a+b)(a−b)a(a−b)÷(a 2a +
2ab+b 2a )⋅(b ab +a ab ) =−(a +b)a ⋅a (a +b)2⋅a +b ab
=−1ab ，
当a =√2+√3，b =√2−√3时，
原式=(√2+√3)(√2−√3)
=−
12−3 =1．
解析：【试题解析】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a、b的值代入计算可得．
23.答案：解：(1)被抽取的学生总数为50÷25%=200(人)，
(2)D等在扇形统计图所对应的圆心角为：(1−60%−25%−10%)×360°=18°，
A等级人数为：200×60%=120(人)，
D等级人数为：200−120−50−20=10(人)，
补全条形图如图：
(3)1500×60%=900(人)，
答：估计全校校生成绩为A等的大约有900人．
解析：(1)用B等人数除以B等百分比可得抽查人数；
(2)用1减去A、B、C三等级百分比可得D等百分比，再乘以360°可得D等对应扇形圆心角，用A 等百分比乘以总人数可得A等人数，总人数减去其余各组人数可得D等人数，补全图形；
(3)用样本中A等级百分比乘以总人数可得．
本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，解题的关键是从条形统计图，扇形统计图得出正确的数据．
24.答案：解：(1)∵A(m,2)，
∴把y=2代入y=x+1得，2=x+1，
解得x=1，
∴A点的坐标为(1,2)，
得，k=1×2=2，
把A(1,2)代入y=k
x
∴反比例函数的解析式是y=2
，
x
；
所以A点坐标为(1,2)，反比例函数的解析式为y=2
x
(2)∵B(n,−1)，
把y=−1代入y1=x+1中得：−1=x+1，
∴x=−2，
所以B点的坐标为(−2,−1)，如图：
由图象观察可得，当y1<y2时，自变量x的取值范围为：x<−2或0<x<1．
解析：本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题时注意：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把点的横坐标或纵坐标代入函数关系式中即可．
(1)根据直线解析式可得点A的坐标，根据点A的坐标可得反比例函数的解析式；
(2)根据B点的纵坐标为−1，代入一次函数的解析式中即可得出B点的横坐标，再根据图象即可得出y1<y2时自变量x的取值范围．
25.答案：(1)证明：连接OA，过O作OF⊥AE于f，
∴∠AFO=90°，
∴∠EAO+∠AOF=90°，
∵OA=OE，
∠AOE，
∴∠EOF=∠AOF=1
2
∠AOE，
∵∠EDA=1
2
∴∠EDA=∠AOF，
∵∠EAC=∠EDA，
∴∠EAC=∠AOF，
∴∠EAO+∠EAC=90°，
∵∠EAC+∠EAO=∠CAO，
∴∠CAO=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
(2)解：∵CE=AE=2√3，
∴∠C=∠EAC，
∵∠EAC+∠C=∠AEO，
∴∠AEO=2∠EAC，
∵OA=OE，
∠AEO=∠EAO，
∴∠EAO=2∠EAC，
∵∠EAO+∠EAC=90°，
∴∠EAC=30°，∠EAO=60°，∴△OAE是等边三角形，
∴OA=AE，∠EOA=60°，
∴OA=2√3，
∴S
扇形AOE =60⋅π×(2√3)2
360
=2π，
在Rt△OAE中，OF=OA⋅sin∠EAO=2√3×√3
2
=3，
∴S△AOE=1
2AE⋅OF=1
2
×2√3×3=3√3，
∴阴影部分的面积=2π−3√3．
解析：本题考查了切线的判定和性质，扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
(1)连接OA，过O作OF⊥AE于f，得到∠EAO+∠AOF=90°，根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠EDA=∠AOF，推出OA⊥AC，得到AC是⊙O的切线；
(2)根据等腰三角形的性质得到∠C=∠EAC，得到∠AEO=2∠EAC，推出△OAE是等边三角形，根据
扇形的面积公式得到S
扇形AOE =60⋅π×(2√3)2
360
=2π，求得S△AOE=1
2
AE⋅OF=1
2
×2√3×3=3√3，于是
得到结论．
26.答案：解：(1)设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，
根据题意，得：1500
x +1500
1.2x
=1100，
解得：x=2.5，
经检验，x=2.5是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x=3．
答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．
(2)设购进A种粽子m个，则购进B种粽子(2600−m)个，
依题意，得：3m+2.5(2600−m)≤7000，
解得：m≤1000．
答：A种粽子最多能购进1000个．
解析：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
(1)设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量=总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设购进A种粽子m个，则购进B种粽子(2600−m)个，根据总价=单价×数量结合总价不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
27.答案：证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=1
2
×(180°−∠BAC)=45°，
∵∠DAE=45°，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=45°+∠BAD，∠EAB=∠DAE+∠BAD=45°+∠BAD，
∴∠ADC=∠EAB，
∵∠B=∠C，
∴△ADC∽△EAB，
∴AB
CD =BE
AC
，
∵AB=AC，
∴AB2=BE⋅CD．
解析：本题考查了等腰直角三角形和相似三角形的性质和判定，能推出△ADC∽△EAB 是解此题的关键．
求出∠B =∠C ，∠ADC =∠EAB ，根据相似三角形的判定推出△ADC∽△EAB ，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案．
28.答案：解：(1)∵点B 的坐标为(1,0)，OC =3OB ，
∴OB =1，OC =3，
∴点C 的坐标为(0,−3)．
(2)将B(1,0)、C(0,−3)代入y =ax 2+3ax +c ，得：
{a +3a +c =0c =−3，解得：{a =34c =−3， ∴抛物线的解析式为y =34x 2+94x −3．
(3)过点D 作直线DE//y 轴，交AC 于点E ，交x 轴于点F ，过点C 作
CG ⊥DE 于点G ，如图所示．
当y =0时，有34x 2+9
4x −3=0，
解得：x 1=−4，x 2=1，
∴点A 的坐标为(−4,0)，
∴AB =5．
设直线AC 的解析式为y =kx +b(k ≠0)，
将A(−4,0)、C(0,−3)代入y =kx +b ，得：
{−4k +b =0b =−3，解得：{k =−3
4b =−3，
∴直线AC 的解析式为y =−3
4x −3．
设点D 的坐标为(t,34t 2+94t −3)，则点E 的坐标为(t,−3
4t −3)，
∴ED =−34t −3−(34t 2+94t −3)=−3
4t 2−3t ，
∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △AED +S △CED ，
=12AB ⋅OC +12ED ⋅AF +1
2ED ⋅CG ，
=12AB ⋅OC +1
2ED ⋅AO ，
=12×5×3+12×4(−3
4t 2−3t)，
=−3
2t2−6t+15
2
=−3
2
(t+2)2+27
2
．
∵−3
2
<0，
∴当t=−2时，四边形ABCD的面积取最大值，最大值为27
2
．
答：四边形ABCD面积的最大值为27
2
．
解析：(1)由点B的坐标及OC=3OB可得出点C的坐标；
(2)根据点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
(3)过点D作直线DE//y轴，交AC于点E，交x轴于点F，过点C作CG⊥DE于点G，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A、C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的
解析式，设点D的坐标为(t,3
4t2+9
4
t−3)，则点E的坐标为(t,−3
4
t−3)，进而可得出ED的值，根
据S四边形ABCD=S△ABC+S△AED+S△CED结合三角形的面积公式可得出S四边形ABCD=−3
2t2−6t+15
2
，
再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的最值以及三角形的面积公式，解题的关键是：(1)由点B的坐标及OB、OC之间的关系，求出点C的坐标；(2)根据点的坐标，利
用待定系数法求出二次函数解析式；(3)利用三角形的面积公式找出S
四边形ABCD =−3
2
t2−6t+15
2
．。