福建省龙海市第二中学近年届高三数学上学期第一次月考试题理(2021年整理)

福建省龙海市第二中学2019届高三数学上学期第一次月考试题理
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龙海二中2018-2019学年上学期第一次月考
高三数学(理)试题
(满分150分， 考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

) 1. 设集合}}2
{ 2,{ y=1A x N x B y x =∈≤=-，则A B ⋂=（ ）
A 。

{} -21x x ≤≤ B. }{0 ,1 C. }{1 ,2 D. }{ 01x x ≤≤ 2. “2a =”是“关于x 的方程230x x a -+=有实数根”的（ )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3。

等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若7S 为一个确定的常数，下列各式中也为确定常数的是（ ） A ．147a a a B ．147a a a ++ C ．18a a D ．18a a +
4．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里非常重要，被誉为“数学中的天桥",根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于（ ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限
5。

设函数2sin(3)6
y x π
=+（x ∈R ）的图像是曲线C ,则下列说法中正确的是（ ）
A ．点(0)3
A π
，是曲线C 的一个对称中心
B ．直线6
x π
=是曲线C 的一条对称轴
C 。

曲线C 的图像可以由2sin3y x =的图像向左平移6π
个单位得到
D ．曲线C 的图像可以由2sin3y x =的图像向左平移18
π
个单位得到
6. 2
0ln 1()231m
x x f x x t dt x >⎧⎪
=⎨+⎪⎩
⎰，，≤，且()()10f f e =,则m 的值为（ ） A ．1 B ．2 C 。

1- D ．2-
7。

sin
(
)((
,0)(0,
))
x
f x x
x
ππ
=∈-大致的图象是（ )
A． B． C。

D．
8。

已知定义在R上的函数(1)
f x-的图像关于1
=
x对称,且当0
>
x时,)
(x
f单调递减,若
),
7.0(
),
5.0(
),3
(log6
3.1
5.0
f
c
f
b
f
a=
=
=-则c
b
a,
,的大小关系是（）
A．b
a
c>
>B．c
a
b>
>C．b
c
a>
>D．a
b
c>
>
9。

在ABC
△中，a，b,c为角A,B，C所对的边，若222
()tan
a c
b B ac
+-=，则角B的值为( ）
A．
6
π B．
3
π C.
6
π或5
6
π D．
3
π或2
3
π
10。

一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中"；乙说：“我没有作案,是丙偷的"；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ )
A．甲B．乙C．丙D．丁
11。

已知函数2(0)
()
3(0)
x a x
f x
x a x
⎧-
=⎨
->
⎩
≤
（a∈R），若函数()
f x在R上有两个零点，则a的取值范围
是（）
A．(01]
， B．[1)
+∞
， C.(01)(02)
，， D．(1)
-∞，
12．等比数列{}
n
a的前n项和为
n
S,则下列判断一定正确的是（）
A。

若
3
S>，则
2018
a> B。

若
3
S<，则
2018
a<
C。

若
21
a a
>，则
20192018
a a
> D。

若
21
11
a a
>,则
20192018
a a
<
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分）。

13. 已知向量a,b满足3
a=，8
b=，()3
a b a
⋅-=，则a与b的夹角为．
14. .将函数)62sin()(π+=x x f 的图象向右移动6
π
个单位得到函数)(x g y =的图象，则
=)6(π
g 。

15
设(()ln f x x =+
，若()f a =则()f a -= ． 16。

设函数1()0R
x Z
f x x C Z ∈⎧=⎨
∈⎩，，，Z
是整数集。

给出以下四个命题：①(1f f =；②()f x 是R 上
的偶函数；③若12x x ∀∈R ，，则1212()()()f x x f x f x ++≤；④()f x 是周期函数,且最小正周期是1。

请写出所有正确命题的序号 ．
三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且22a bc =。

（Ⅰ)若sin sin A C =,求cos A ； (Ⅱ)
若cos
2A =,6a =，求ABC ∆的面积。

18.（本小题满分12分）已知函数x x x x x f cos sin 2)cos (sin 3)(22--=．
（Ⅰ)求()f x 的最小正周期；.
（Ⅱ)设[,]33
x ππ
∈-，求()f x 的值域和单调递增区间．
19．（本小题满分12分）对于函数()f x ，若在定义域存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数".
(1)已知二次函数()()224,f x ax bx a a b R =+-∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由； （2）设()2x f x m =+是定义在[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围. 20．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差0d >，且163411,12a a a a ⋅=+=． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列1122n n n a a ++-⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ．
21.（本小题满分12分）已知函数()()2ln 1f x x x ax =--+． （1）若()f x 在区间()1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若存在唯一整数0x ，使得()00f x <成立，求实数a 的取值范围．
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本题满分10分）[选修4-4：极坐标与参数方程］ 在直角坐标系xOy 中,直线l 过点)2,1(-P ，倾斜角为
4
π
. 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，直线l 与曲线C 交于B A ,两点. （Ⅰ）求直线l 的参数方程（设参数为t )和曲线C 的普通方程; （Ⅱ）求
PB
PA 11+的值。

23．（本题满分10分）[选修4-5：不等式选讲］ 设函数()1
f x x m x m
=++-。

（Ⅰ)当1=m 时，求4)(≤x f 的解集； （Ⅱ）证明:2)(≥x f ．
龙海二中2018—2019学年上学期第一次月考
高三数学（理）参考答案
一、选择题。

（本题12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意，请将正
确答案填入答卷中）
13.
3
π
； 14。

21； 15。

16.①②④
三、解答题：（本大题共6小题,共80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 解：（Ⅰ)由sin sin A C =及正弦定理，得a c =。

…………1分 ∵22a bc =，
∴2a c b ==。

…………2分
由余弦定理，得222
cos 2b c a A bc +-=…………4分
222244144
b b b b +-==。

…………5分
(Ⅱ)由已知22a bc =，6a =，得18bc =。

………6分
∵在ABC ∆中,
2
A
为锐角,且cos 2A =，
∴1
sin
23
A ==。

…………8分
∴1sin 2sin
cos 222339A A A ==⨯⨯=。

…………10分
由18bc =,sin 9A =
及公式1
sin 2
S bc A =，
∴ABC ∆的面积11829
S =⨯⨯
=…………12分 18。

解:（Ⅰ）∵x x x x x f cos sin 2)sin (cos 3)(22---= )(x f ∴的最小正周期为
π． …… 5分
（Ⅱ）∵[,]33x ππ∈-， 233
x ππ
π∴-≤+≤， ．
)(x f ∴的值域为]3,2[-． ……… 10分 当)3
2sin(π
+
=x y 递减时，()f x 递增．
ππ
π
≤+
≤∴
3
22
x ，即
3
12
π
π
≤
≤x ．
故()f x 的递增区间为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡3,12ππ． …………12分
19。

解：（1）()f x 为“局部奇函数”等价于关于x 的方程()()0f x f x -+=有解，…………2分 即()()()20240f x f x a x +-=⇒-=，…………4分 有解2x =±，…………5分
∴()f x 为“局部奇函数". …………6分
(2)当()2x f x m =+时，()()0f x f x +-=可转化为2220x x m -++=,…………7分 因为()f x 的定义域为[]1,1-，所以方程2220x x m -++=在[]1,1-上有解，………9分
令1
2,22x t ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
，则1
2m t t -=+，…………10分 因为()1g t t t =+在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，
∴()52,2g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴522,2m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即5,14m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦
.…………12分 20解:（1）因为163412a a a a +=+=, 所以16,a a 是方程212110x x -+=两根，且16a a <， 解得161,11a a ==，--—--—-———-————————-—-——（2分）
所以61510a a d -==，即2d =, —-————————————-—————（4分） 所以21n a n =-． ----—————--——————（5分） (2）（方法一)因为
11112222
n n n n
n n n a a a a ++++-=-， -——-—————--—-——-—（7分) 所以311212
1213211112112222222222
n n n n n n n n a a a a a a a a n T ++++++=-+-+-=-=-． ——————（12分）
（方法二）因为112123
222
n n n n a a n ++--=-⨯,
所以231113
2322222n n
n T --⎛⎫
=-⨯+++
+
⎪⎝⎭， 所以2341111132322222
2n n n T +--⎛⎫
=-⨯+++
+
⎪⎝⎭
， 所以212341111
11122
223112322122222
2242212
n n n n n n n T +++-
---⎛⎫=-⨯+++
+-=-+⨯ ⎪⎝⎭-,
所以1
211
22
n n n T ++=
- 21．解:（1)函数()f x 的定义域为()0,+∞，()2
ln 1f x x a x
'=+--，…………1分
要使()f x 在区间()1,+∞上单调递增,只需()0f x '≥,…………2分
即2
ln 1x a x
+-≥在()1,+∞上恒成立即可，…………3分
易知2
ln 1y x x
=+-在()1,+∞上单调递增，所以只需min a y ≤即可，…………4分
易知当1x =时，y 取最小值，min 2
ln1111
y =+-=-,
∴实数a 的取值范围是(],1-∞-.…………5分 (2）不等式()00f x <即()0002ln 1x x ax -<-, 令()()()2ln ,0,1g x x x x h x ax =->=-，
则()2
ln 1g x x x
'=+-，()g x '在()0,+∞上单调递增，
而()()110,2ln 20g g ''=-<=>， ∴存在实数()1,2m ∈，使得()0g m '=,
当()1,x m ∈时,()0g x '<,()g x 在()1,m 上单调递减；
当(),x m ∈+∞时，()0g x '>,()g x 在(),m +∞上单调递增，∴()()min g x g m =.…………8分 ()()120g g ==，画出函数()g x 和()h x 的大致图象如下， ()h x 的图象是过定点()0,1C -的直线，
由图可知若存在唯一整数0x ,使得()00f x <成立，则需{}min ,BC AC DC k a k k <≤，
而ln 312ln 3
1033
AC DC k k +--=-=>，∴AC DC k k >． ∵12BC
k =,∴1ln 31
23
a +<≤
． 于是实数a 的取值范围是1ln 31,23+⎛⎤ ⎥⎝⎦
．…………12分 22。

解：（Ⅰ)∵直线l 过点)2,1(-P ，倾斜角为
4
π
∴直线l 以t 为参数的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 222221(t 为参数）.。

.。

.。

..。

....。

..。

3分 ∵曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=
∴曲线C 的普通方程为4)2(22=+-y x ..。

.。

..。

.。

...。

..。

..。

.。

..。

.。

.。

.5分
(Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得01232=+-t t 。

.。

.。

.。

..。

6分 设B A ,两点对应的参数为21,t t ∵点P 在曲线C 的左下方
∴21,t PB t PA ==。

.。

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......。

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.8分 ∴
2311112
12121=+=+=+t t t
t t t PB PA ..。

..。

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..。

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..。

...。

..。

..。

10分
23。

解：（Ⅰ）当1=m 时，11)(-++=x x x f 当1>x 时，x x f 2)(=
由4)(≤x f ，解得21≤<x .。

......。

....。

..。

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.。

.。

.。

..2分
当11≤≤-x 时，2)(=x f ，满足4)(≤x f ....。

.。

......。

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..。

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.。

.。

3
分
当1-<x 时,x x f 2)(-= 由4)(≤x f ,解得12-<≤-x
综上所述，当1=m 时,4)(≤x f 的解集为]2,2[-。

...。

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.。

..。

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..。

5分
（Ⅱ)证明：m x m x x f 1)(-
++= m x m x 1+-+≥m
m 1
+=。

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..。

.。

...。

.8分 m m 1+
=212=⋅≥m
m 。

.。

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.....。

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..。

..。

...。

.。

10分。