八年级数学上册 暑期同步提高课程 第二讲 与三角形有关的线段和角讲义 新人教版

⎨等腰三角形⎨ ⎨斜三角形⎨ ⎩ ⎩
第二讲
与三角形有关的线段和角
1. 了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边或角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外
角和及三边关系；
2. 会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心
3. 掌握三角形内角和定理及推论；
4. 按要求解决三角形的边、角的计算问题
1. 三角形的边、高、中线、角平分线的定义及性质；
2. 通过三角形的内角和来确定三角形的外角和以及多边形的外角和
1. 三角形的分类：
⎧不等边三角形 ①按边分类：三角形⎪
⎧底边和腰不相等的等腰三角形
⎪
⎩等边三角形 ⎧直角三角形
②按角分类：三角形⎪
⎧钝角三角形
⎪
⎩锐角三角形 2. 三角形的高、中线、角平分线
（1） 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

三角 形的
三条高交于一点，这一点叫做三角形的垂心.
（2） 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.
（3）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

3.三角形的内角与外角
（1）三角形的内角：
✓定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角.
✓三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°.
灿若寒星
✓三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可求出其内角度数；③求一个三角形中各角之间的关系。

（2）三角形的外角
✓定义：三角形一边与另一边延长线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形外角和为 360°。

✓性质：①三角形一个外角等于与它不相邻两内角和。

②三角形一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
4.三角形的三边关系
（1）三边关系性质：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围。

考点/易错点1
关于三角形的高的注意事项：
（1）三角形的高线是一条线段；
（2）锐角三角形的三条高都在三角形内，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，它们的交点是直角的顶点，另一条在三角形的内部。

考点/易错点2
关于三角形的中线的注意事项：
（1）三角形的中线是一条线段；
（2）三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形；
（3）三角形三条中线交于一点，这一点叫做三角形的重心.
考点/易错点3
关于三角形的角平分线的注意事项：
（1）三角形的角平分线是一条线段；
（2）三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫做三角形的内心.
考点/易错点4
三角形的外角特点：
（1）外角的顶点是三角形的一个顶点；
灿若寒星
（2） 外角的一条边是三角形的一边；
（3） 外角的另一条边是三角形某条边的延长线.
考点/易错点 5 三角形三边关系注意：
①这里的“两边”指的是任意两边.对“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值；
②三角形的三边关系是“两点之间，线段最短”的具体应用。

【例 1】过 A 、B 、C 、D 、E 五个点中任意三点画三角形；
（1） 其中以 A B 为一边可以画出
个三角形；（2）其中以 C 为顶点可以画出 个三角形．
【答案】（1）如图，以 AB 为一边的三角形有△ ABC 、△ ABD 、△ ABE 共 3 个；
（2） 如图，以点 C 为顶点的三角形有△ ABC 、△ BEC 、△ BCD 、△ ACE 、△ ACD 、△ CDE 共 6 个．
【解析】考查了三角形的定义，以及网格结构的知识，根据网格结构作出图形是解题的关键． 【例 2】已知 B D 是△ABC 的一条中线，△ABD 与△BCD 的周长分别为 24，17，则 A B ﹣BC 的长是 ．
【答案】∵BD 是△ABC 的一条中线，∴AD =CD ，
∴△ABD 与△BCD 的周长的差=（AB +AD +BD ）﹣（BC +CD +BD ）
=AB+AD+BD﹣BC﹣CD﹣BD=AB﹣BC，
∵△ABD 与△BCD 的周长分别为 24，17，∴AB﹣BC=24﹣17=7．
【解析】考查了三角形的中线，求出两个三角形的周长的差等于AB﹣BC 是解题的关键。

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【例 3】如图，在正方形 ABCD 中，BD =2，∠DCE 是正方形 ABCD 的外角，
P 是∠DCE 的角平分线 C F 上任意一点，则△PBD 的面积等于（
）
A ． 1
B ． 1.5
C ． 2
D ． 2.5
【答案】A ．△PBD 的面积等于 1
⨯ 2 ⨯1 =1．
2
【解析】考查了三角形面积公式以及代入数值求解的能力，注意平行线间三角形同底等高．
【例 4】手工课上，小明用螺栓将两端打有孔的 5 根长度相等的木条，首尾连接制作了一个五角星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星就变形了．于 是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至少需要添加的螺栓数为（
）
A ． 1 个
B ． 2 个
C ． 3 个
D ． 4 个
【答案】A ．如图：A 点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边．
【解析】三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等， 因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
【例 5】△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，G 是重心．如果 AG =6，则线段 DG 的长为（ ）
A ． 2
B ． 3
C ． 6
D ． 12
【答案】B ．∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的 2 倍，∴DG = 1
2 AG =3．
********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********【解析】三角形的重心的性质：三角形重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的 2 倍．
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【例 6】如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为 2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框， 则任两螺丝的距离之最大值为何（ ）
A ． 5
B ． 6
C ． 7
D ． 10
【答案】C ．解：已知 4 条木棍的四边长为 2、3、4、6；
①选 2+3、4、6 作为三角形，则三边长为 5、4、6；5﹣4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为 6；
②选 3+4、6、2 作为三角形，则三边长为 2、7、6；6﹣2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为 7；
③选 4+6、2、3 作为三角形，则三边长为 10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立； ④选 2+4、3、6 作为三角形，则三边长为 6、3、6；而 6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为 6；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为 7．
【解析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．
【例 7】BP 、CP 分别平分∠ABC 、∠ACB ，请你探索∠A 和∠P 的数量关系． 解：∵BP 平分∠ABC （已知），∴∠PBC = 1 ∠ABC （
）．
2
同理可得∠PCB = 1
ACB 。

2 ∵∠BPC +∠PBC +∠PCB =180°（
）
∴∠BPC =180°﹣∠PBC ﹣∠PCB （等式的性质） =180°﹣ 1
（∠ABC +∠ACB ） （
）
2
灿若寒星
=180°﹣ 1
（180°﹣∠ ）
2 =90°+ 1 ∠ ．
2
【答案】∵BP 平分∠ABC （已知），∴∠PBC = 1
∠ABC （角平分线的定义）．
2
同理可得∠PCB = 1
ACB ，∵∠BPC +∠PBC +∠PCB =180°（三角形的内角和等于 180°）
2 ∴∠BPC =180°﹣∠PBC ﹣∠PCB （等式的性质）
=180°﹣ 1 （∠ABC +∠ACB ）（等量代换）=180°﹣ 1 （180°﹣∠A ）=90°+ 1 ∠A ．
2 2 2 【解析】根据角平分线的定义、△ BPC 的内角和定理求得求解．
1. 不一定在三角形内部的线段是（
）
A ． 三角形的角平分线
B ． 三角形的中线
C ． 三角形的高
D ． 三角形的中位线
2. 如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为 2，宽为 1，A 、B 两点在网格格点
上，若点 C 也在网格格点上，以 A 、B 、C 为顶点的三角形面积为 2，则满足条件的点 C 个数是（ ）
A ． 2
B ． 3
C ． 4
D ． 5
3. 三角形的重心是三角形的（
）
A ． 三条中线的交点
B ． 三条角平分线的交点
C ． 三边垂直平分线的交点
D ． 三条高所在直线的交点
4. △ ABC 的面积为 60，点 0 是重心，连接 B G 并延长交 A C 于 D ，连接
GA ，则△ GAB 的面积为（ ）
A ． 40
B ． 30
C ． 20
D ． 10
5. 有 3cm ，6cm ，8cm ，9cm 的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个
数为（ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
1. △ABC 角平分线 AD 、中线 BE 相交于点 O ，则①AO 是△ABE 的角平分线；②BO 是
A． 1 个B． 2 个
C． 3 个D． 4 个
2. 在现实的生产、生活中有以下四种情况：
①用“人”字梁建筑屋顶； ②自行车车梁是三角形结构；
③用窗钩来固定窗扇；
④商店的推拉防盗铁门． 其中用到三角形稳定性的是（
）
A ． ①②
B ． ②③
C ． ①②③
D ． ②③④
形具有稳定性；综上所述，用到三角形稳定性的是①②③．
3. 要判断△ABC 的面积是△DBC 的面积的几倍，只有一把仅有刻度的直
尺，需要度量的次数最少是（ ）
A ． 3 次以上
B ． 3 次
C ． 2 次
D ． 1 次
4. 在△ ABC 中，AD 是 B C 边上的中线，G 是重心，如果 D G =2，那么
线段 A D 的长是（ ）
A ． 2
B ． 3
C ． 6
D ． 12
5. O 是△ ABC 的重心，则图中与△ ABD 面积相等的三角形个数为
6. 如图①，BO 、CO 分别为∠ABC 和∠ACB 的平分线，我们易得∠BOC =90°+ 1
∠A ；
2
在图②中，当 BO ′、CO ′分别为∠ABC 和∠ACB 的外角平分线时，求∠BO ′C 与∠A 的数量关系．我们可以利用“转化”的思想，将未知的∠BO ′C 转化为已知的∠BOC ：如图②，作 BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ．
A ． 3
B ．
4 C ．
5 D ． 6
（1）在图②中存在如图③的基本图形：点A、B、D 在同一直线上，且BO、BO′分别平分∠ABC 和∠DBC，试证明：BO⊥BO′；
（2）试直接利用上述基本图形的结论，猜想并证明图②中∠BO′C 与∠A 的数量关系；
（3）如图④，BP、CP 分别为内角∠ABC 和外角∠ACF 的平分线，猜想并证明∠BPC 与∠A 的数量关系．
7.如图（1）所示，一副三角板中，含 45°角的一条直角边AC 在y 轴上，斜边AB 交x 轴于点G．含 30°角的三角板的顶点与点A 重合，直角边AE 和斜边AD 分别交x 轴于点F、H．
（1）若AB∥ED，求∠AHO 的度数；
（2）如图 2，将三角板ADE 绕点A 旋转．在旋转过程中，∠AGH 的平分线GM 与∠AHF 的平分线HM 相交于点M，∠COF 的平分线ON 与∠OFE 的平分线FN 相交于点N．
①当∠AHO=60°时，求∠M 的度数；
②试问∠N+∠M 的度数是否发生变化？若改变，求出变化范围；若保持不变，请说明理由．。