中考数学中考数学压轴题 复习测试提优卷(1)

一、中考数学压轴题
1．已知：如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（6，0），AB=62，点 P 从点 O 出发沿线段 OA 向终点 A 运动，点 P 的运动速度是每秒 2 个单位长度，点 D 是线段 OA 的中点．
（1）求点 B 的坐标；
（2）设点 P 的运动时间为点 t 秒，△BDP 的面积为 S ，求 S 与 t 的函数关系式；
（3）当点 P 与点 D 重合时，连接 BP ，点 E 在线段 AB 上，连接 PE ，当∠BPE =2∠OBP 时， 求点 E 的坐标．
2．已知：如图①，在等腰直角ABC ∆中，斜边2AC =．
（1）请你在图①的AC 边上求作一点P ，使得90APB ∠=︒；
（2）如图②，在（1）问的条件下，将AC 边沿BC 方向平移，使得点A 、P 、C 对应
点分别为E 、Q 、D ，连接AQ ，BQ ．若平移的距离为1，求AQB ∠的大小及此时四边形ABDE 的面积；
（3）将AC 边沿BC 方向平移m 个单位至ED ，是否存在这样的m ，使得在直线DE 上有一点M ，满足30AMB ∠=︒，且此时四边形ABDE 的面积最大？若存在，求出四边形ABDE 面积的最大值及平移距离m 的值；若不存在，请说明理由．
3．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）．
（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点D 作DE //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时，
PDE ABMC 1S S 9
=四边形． 4．在平面直角坐标系中，抛物线24y mx mx n =-+（m >0）与x 轴交于A ，B 两点，点B
在点A 的右侧，顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线CA 交y 轴于E ，且
:3:4∆∆=ABC BCE S S ．
（1）求点A ，点B 的坐标；
（2）将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后，点B 与点A 重合，点O 恰好落在y 轴上， ①求直线CE 的解析式；
②求抛物线的解析式．
5．已知抛物线217222
y x mx m 的顶点为点C ． （1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；
（2）若抛物线的对称轴为直线3x =，求m 的值和C 点坐标；
（3）如图，直线1y x =-与（2）中的抛物线并于A B 、两点，并与它的对称轴交于点D ，直线x k =交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以C D M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在x 轴正半轴上，2ABC ACB ∠=∠．
（1）求直线BC 的解析式；
（2）点D 是射线BC 上一点，连接AD ，设点D 的横坐标为t ，ACD ∆的面积为S ()0S ≠，求S 与t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，AD 与y 轴交于点E ，连接CE ，过点B 作AD 的垂线，垂足为点H ，直线BH 交x 轴于点F ，交线段CE 于点M ，直线DM 交x 轴于点N ，当:7:12NF FC =时，求直线DM 的解析式．
7．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的一半，则称这样的方程为“半等分根方程”．
（1）①方程2280x x --= 半等分根方程（填“是”或“不是”）；
②若(1)()0x mx n -+=是半等分根方程，则代数式2252
m mn n ++= ； （2）若点(,)p q 在反比例函数8
x y =
的图象上，则关于x 的方程260px x q -+=是半等分根方程吗？并说明理由； （3）如果方程20ax bx c ++=是半等分根方程，且相异两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上，试说明方程20ax bx c ++=的一个根为53
． 8．如图，90EOF ∠=︒，矩形ABCD 的边BA 、BC 分别在OF 、OE 上，4AB =，3BC =，矩形ABCD 沿射线OD 方向，以每秒1个单位长度的速度运动．同时点P 从点
A 出发沿折线AD DC -以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 到达点C 时，矩形ABCD 也停止运动，设点P 的运动时间为()t s ，PDO △的面积为S ． （1）分别写出点
B 到OF 、OE 的距离（用含t 的代数式表示）；
（2）当点P 不与矩形ABCD 的顶点重合时，求S 与t 之间的函数关系式；
（3）设点P 到BD 的距离为h ，当15h OD =时，求t 的值； （4）若在点P 出发的同时，点Q 从点B 以每秒43
个单位长度的速度向终点A 运动，当点Q 停止运动时，点P 与矩形ABCD 也停止运动，设点A 关于PQ 的对称点为E ，当PQE 的一边与CDB △的一边平行时，直接写出线段OD 的长．
9．（1）阅读理解：
如图①，在ABC 中，若8AB =，5AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围． 可以用如下方法：将ACD 绕着点D 逆时针旋转180︒得到EBD △，在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是______；
（2）问题解决：
如图②，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF +>；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，CB CD =，100BCD ∠=︒，以C 为顶点作一个50︒的角，角的两边分别交AB 、AD 于E 、F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并说明理由．
10．已知：如图，二次函数213222
y x x =-++的图象交x 轴于A 点和B 点（A 点在B 点左则），交y 轴于E 点，作直线,EB D 是直线EB 上方抛物线上的一个动点．过D 点作 直线l 平行于直线.EB M 是直线 EB 上的任意点，N 是直线l 上的任意点，连接
,MO NO ，始终保持MON ∠为90︒，以MO 和ON 边，作矩形MONC ．
（1）在D 点移动过程中，求出当DEB ∆的面积最大时点D 的坐标；在DEB ∆的面积最大 时，求矩形MONC 的面积的最小值．
（2）在DEB ∆的面积最大时，线段ON 交直线EB 于点G ，当点,,,D N G B 四个点组成平行 四边形时，求此时线段ON 与抛物线的交点坐标．
11．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．
（1）如图①，AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点A 、点B 的运动，∠AEB= °
（2）如图②，若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D ①若∠BAO=60°，则∠D= °．
②随着点A ，B 的运动，∠D 的大小会变吗？如果不会，求∠D 的度数；如果会，请说明理由．
（3）如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知∠BAO ，∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．
12．如图1，在O 中，弦AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，连接AD 、BC 、AO ，AD AB =．
（1）求证：2CAO CDB ∠=∠
（2）如图2，过点O 作OH AD ⊥，垂足为点H ，求证：2OH CE DE +=
（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB 、AC 交于点F ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，交AB 于N ，若12BC =，3AF BF =，求MN 的长．
13．如图，一张半径为3cm 的圆形纸片，点O 为圆心，将该圆形纸片沿直线l 折叠，直线
l 交O 于A
B 、两点．
（1）若折叠后的圆弧恰好经过点O ，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l （不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB 的长度．
（2）已知M 是O 一点，1cm OM =．
①若折叠后的圆弧经过点M ，则线段AB 长度的取值范围是________．
②若折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ，则线段AB 的长度为_________cm ．
14．在ABC ∆中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称ABC ∆为n 倍角三角形．例如，在ABC ∆中，80A ∠=︒，75B ∠=︒，
25C ∠=︒，可知3∠=∠B C ，所以ABC ∆为3倍角三角形．
（1）在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，则ABC ∆为________倍角三角形；
（2）若DEF ∆是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13，求DEF ∆的最小内角． （3）若MNP ∆是2倍角三角形，且90M N P ∠<∠<∠<︒，请直接写出MNP ∆的最小内角的取值范围． 15．已知：在平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B
在点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2．
（1）如图1，求此抛物线的解析式；
（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若728
CG AG =，求点P 的坐标．
16．如图，等腰△ABC ，AB ＝CB ，边AC 落在x 轴上，点B 落在y 轴上，将△ABC 沿y 轴翻折，得到△ADC
（1）直接写出四边形ABCD 的形状：______；
（2）在x 轴上取一点E ，使OE ＝OB ，连结BE ，作AF ⊥BC 交BE 于点F ．
①直接写出AF 与AD 的关系：____（如果后面的问题需要，可以直接使用，不需要再证
明）；
②取BF 的中点G ，连接OG ，判断OG 与AD 的数量关系，并说明理由；
（3）若四边形ABCD 的周长为8，直接写出GE 2＋GF 2＝____．
17．AB 是O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ，连接CD 交AB 于E ，
（1）如图(1)求证：90AEC ∠=︒；
（2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠
（3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==∆的面积等于8，求线段MN 的长度
18．已知抛物线y=﹣x 2﹣2x+3交x 轴于点A 、C （点A 在点C 左侧），交y 轴于点B ．
（1）求A ，B ，C 三点坐标；
（2）如图1，点D 为AC 中点，点E 在线段BD 上，且BE=2DE ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 坐标；
（3）如图2，将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，点P 为△ACG 内一点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在它们的左侧作等边△APR 和等边△AGQ ，求PA+PC+PG 的最小值，并求当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标（直接写出结果即可）．
19．2．如图1，90A ∠=︒，AB AC =，则2BC AB
=
知识应用：
(1)如图2，ADE ∆和ABC ∆均为等腰直角三角形，90DAE BAC ∠=∠=︒，D ，E ，C 三点共线，若2AD =
，2BD =，求CD 的长． 知识外延：
(2)如图3，正方形ABCD 中，BE 和BC 关于BG 对称，C 点的对应点为E 点，AE 交BG 的延长线于F 点，连接CF ．
①求证：GF EC =；
②若2AE =，2CE =，求BF 的长．
20．如图1，以AB 为直径作⊙O ，点C 是直径AB 上方半圆上的一点，连结AC ，BC ，过点C 作∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作AB 的平行线交CB 的延长线于点E ．
（1）如图1，连结AD ，求证：∠ADC ＝∠DEC ．
（2）若⊙O 的半径为5，求CA •CE 的最大值．
（3）如图2，连结AE ，设tan ∠ABC ＝x ，tan ∠AEC ＝y ，
①求y 关于x 的函数解析式；
②若CB BE ＝45
，求y 的值． 21．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴和y 轴上，已知OA=5，OB=3，点D 的坐标是（0，1），点P 从点B 出发以每秒1个单位的速度沿折线BCA 的方向运动，当点P 与点A 重合时，运动停止，设运动的时间为t 秒．
（1）点P 运动到与点C 重合时，求直线DP 的函数解析式；
（2）求△OPD 的面积S 关于t 的函数解析式，并写出对应t 的取值范围；
（3）点P 在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP 是不以DP 为底边的等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
22．问题探究
（1）如图1．在ABC 中，8BC =，D 为BC 上一点，6AD =．则ABC 面积的最大值是_______．
（2）如图2，在ABC 中，60BAC ∠=︒，AG 为BC 边上的高，O 为ABC 的外接圆，若3AG =，试判断BC 是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明
理由．
问题解决：
如图3，王老先生有一块矩形地ABCD ，6212AB =，626BC =+，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ，且满足点E 在CD 上，AD DE =，点F 在BC 上，且6CF =，点M 在AE 上，点N 在AB 上，90MFN ∠=︒，这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．
23．已知，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DC ，点E 在BC 延长线上，连接DE ，∠A ＋∠E ＝180°．
（1）如图1，求证：CD=DE ；
（2）如图2，过点C 作BE 的垂线，交AD 于点F ，请直接写出BE 、AF 、DF 之间的数量关系_______________________；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠ABC 的平分线，交CD 于G ，交CF 于H ，连接FG ，若∠FGH=45°，DF=8，CH=9，求BE 的长．
24．在平面直角坐标系xOy 中，点A 为x 轴上的动点，点B 为x 轴上方的动点，连接OA ，OB ，AB ．
（1）如图1，当点B 在y 轴上，且满足OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点P ，请直接写出P ∠的度数；
（2）如图2，当点B 在y 轴上，OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点P ，点C 在BP 的延长线上，且满足45AOC ∠=︒，求OAB OCB
∠∠；
（3）如图3，当点B 在第一象限内，点P 是AOB ∆内一点，点M ，N 分别是线段OA ，
OB 上一点，满足：1902
APB AOB ∠=︒+∠，PM PN =，180ONP OMP ∠+∠=︒．
以下结论：①OM ON =；②AP 平分OAB ∠；③BP 平分OBA ∠；
④AM BN AB +=．
正确的是：________．（请填写正确结论序号，并选择一个正确的结论证明，简写证明过程）．
25．如图,矩形ABCD 中，AD >AB ，连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90∘得到线段AE ，平移线段AE 得到线段DF (点A 与点D 对应，点E 与点F 对应)，连接BF ，分别交直线AD ，AC 于点G ，M ，连接EF ．
(1) 依题意补全图形；
(2) 求证：EG ⊥AD ；
(3) 连接EC ，交BF 于点N ，若AB =2，BC =4，设MB =a ，NF =b ，试比较()()11a b ++与9+62
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一、中考数学压轴题
1．B
解析：（1）B(0，6)；（2）S=
3 960
2
3
693
2
t t
t t
⎧
-<≤
⎪⎪
⎨
⎪-<≤
⎪⎩
，
，
；（3）E(4，2)
【解析】
【分析】
（1）在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得OB的长，从而得到点B的坐标；
（2）存在2种情况，一种是点P在点D的左侧，一种是在右侧，求△PBD的面积，高始终是OB不变，仅需表示出PD的长即可；
（3）如下图，作∠BPE的角平分线PF，根据角之间的关系，可得到PF∥OB，从而推导出△PEG∽△PBO，最后利用相似比的关系求得线段的长度，从而得到E的坐标.
【详解】
（1）∵A(6，0)，AB=62，△AOB是直角三角形
∴在Rt△AOB中，OB=()22
6266
-=
∴B(0，6)
（2）情况一：如下图，点P在点D的左侧，即
3
2
t<≤时
在△BPD中，以PD为底，则BO是△BOD的高
∴高=BO=6，底=3－2t
∴S=()
1
63296
2
t t
-=-
情况二：如下图，点P在点D的右侧，即
3
3
2
t<≤时
在△BPD中，以PD为底，则BO是△BOD的高
∴高=BO=6，底=2t－3
∴S=(
)1623692t t -=-
综上得：S=3960236932t t t t ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪-<≤⎪⎩
，， （3）如下图，PF 是∠PBE 的角平分线，交AB 于点F ，过点E 作x 轴的垂线，交x 轴于点G
∵OA=6，OB=6，2∴△OBA 是等腰直角三角形，∠A=45°
∴△GEA 是等腰直角三角形
设PG=x ，则AG=3－x ∴EG=AG=3－x
∵PF 是∠BPE 的角平分线，∴∠BPF=∠FPE
∵∠BPE =2∠OBP
∴∠OBP=∠BPF=∠FPE
∴PF ∥OB ，∴PF ⊥OA
∴∠FPE+∠EPG=90°
∵∠OBP+∠BPO=90°，∴∠EPG=∠BPO
∵∠EGP=∠BOP
∴△PEG ∽△PBO
∴EG OB PG OP =，即363
x x -=，解得：x=1 ∴PG=1，GE=2
∴E(4，2)
【点睛】
本题考查了勾股定理，平面直角坐标系和相似，解题关键是作二倍角的角平分线，构造出相似图形.
2．A
解析：（1）详见解析；（2）45AQB ∠=︒，21ABDE S =四边形；（3）存在，当
6422
m +-=时，四边形ABDE 面积最大值为322+ 【解析】
【分析】
（1）利用等腰三角形“三线合一”的性质，取AC 中点为点P 即可．
（2）延长AP 、CD 相交于点M ，取AB 的中点F ，连接PF ．证明△APE ≌△MPD ，得到AP=MP ，从而可得PF 是△ABM 的中位线．进而得到PF 是AB 的垂直平分线，这样可以得出∠APB=2∠M=2∠EAP ．由AE=PE 可得∠M=∠MPD=∠EPA=∠EAP ，所以可得
∠PDB=2∠M ，由AC ∥ED 可得∠PDB=∠ACB=45°，所以∠APB=45°．
（3）如图，以AB 为边长，在直线AB 的右侧作等边三角形ABO ，在以O 为圆心、OA 长为半径作⊙O ．过点O 作OM ⊥AC ，交⊙O 于点M ，点M 在AC 的右上方．过点M 作AC 的平行线DE ，AE ∥BC ，BC 的延长线交DE 于点D ．则此时满足∠AMB=30°，此时四边形ABDE 的面积最大．
【详解】
解：(1)利用等腰三角形的“三线合一”性质，取AC 的中点P ，连接BP 即可，如下图所示：
(2)如下图所示：
延长AQ 、CD 相交于点M ，取AB 的中点F ，连接PF ．
由平移的性质可得，DE=AC=2，AE=CD=1，AC ∥DE ，AE ∥CD
设∠EAQ=x
∵点Q 是DE 的中点∴QE=QD=
12
DE=1 ∴QE=AE ∴∠AQE=∠EAQ=x ，∴∠MQD=∠AQE=x
∵AE ∥CD ∴∠M=∠EAQ=x
在△AQE 和△MQD 中
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
EAQ M AQE MQD QE QD ，∴△AQE ≌△MQD(AAS)
∴AQ=MQ
∵点F 是AB 的中点
∴QF 是△ABM 的中位线
∵由题知，∠ABC=90°
∴∠AFQ=90°
∴PF ⊥AB ，点F 是AB 的中点
∴BQ=AQ=MQ
∴∠QBM=∠M=x
∴∠AQB=∠QBM+∠M=2x
由题知∠ACB=45°且AC ∥DE
∴∠QDB=∠ACB=45°
∵∠QDB=∠MQD+∠M=2x
∴2x=45°即∠AQB=45°
在等腰直角△ABC 中，斜边AC=2，则
∴
∴四边形ABDE
的面积为：11()(11) 1.22
+⨯==AE BD AB 故答案为：45AQB ∠=︒
，1ABDE S =
四边形. (3) 存在．
如下图，以AB 为边长，在直线AB 的右侧作等边三角形ABO ，在以O 为圆心、OA 长为半径作⊙O ．过点O 作OM ⊥MD ，交⊙O 于点M ，点M 在AC 的右上方．
过点M 作AC 的平行线DE ，AE ∥BC ，BC 的延长线交DE 于点D ，AE 交⊙O 于点H ．
则此时满足∠AMB=30°，此时四边形ABDE 的面积最大．
作OF ⊥AE 于F ，OM 与AE 相交于点N ．
∵AE ∥CD ，DE ∥AC
∴四边形ACDE 是平行四边形
∴AE=CD ，DE=AC=2
∴∠EDC=∠ACB=45°
∴∠AEM=∠EDC=45°
∵OM ⊥AC
∴OM ⊥DE
∴∠NME=90°
∴2MN ，∠MNH=45°
由（2）知，2
∴⊙O 2.
连接BH ，∵AE ∥BC ，∠ABC=90°
∴∠BAH=180°-∠ABC=90°
∵∠AMB=30°，=AB AB
∴∠AHB=∠AMB=30° ∴3=6=AH ∵OF ⊥AH ，点O 是圆心 ∴16=2AF AH
根据勾股定理得2OF ∵∠FNO=∠MNH=45°
∴=1==
2，ON FN OF
∴1=-=MN OM ON
∴2=NE
∴CD=AE=AF+FN+NE=
+2+22
∴11=
()(2222四边形最大面积+⨯=++ABDE S AE BD AB
=
故答案为：当42m =
时，四边形ABDE 【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质、平移的性质、平行四边形的判定及其性质以及圆的性质．本题综合性强，难度大，在第三问中，根据定弦定圆周角找到辅助圆解决问题，这是近年来中考的一个热点
3．C
解析：（1）21
y x 43
=-+（，顶点M 4；（2）P 2）；（3）1m ＝2，2m ＝1
【解析】
【分析】
（1）由点C 的坐标，可求出c 的值，再把()A 、()B 代入解析式，即可求出a 、b 的值，即可求出抛物线的解析式，将解析式化为顶点式，即可求出顶点M 的坐标；
（2）因为A 、B 关于抛物线的对称轴对称，连接BC 与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P ，设对称轴与x 轴交于点H ，证明PHB COB ∽，即可求出PH 的长，从而求出点P 的 坐标；
（3）根据点A 、B 、M 、C 的坐标，可求出ABMC S 四边形，从而求出PDE S =OC ＝
3，OB ＝OCB ∠＝60，因为DE //PC ，推出 ODE ∠＝60，从而得到
OD ＝3m -，)OE 3m =-，根据PDE DOE PDOE S
S S =-四边形，列出关于m 的方程，
解方程即可.
【详解】
（1）∵抛物线y ＝2ax bx c a 0++≠（）过()A 3,0-、()
B 33,0，()
C 0,3三点， ∴c ＝3， ∴3a 3b 3027a 33b 30⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩， 解得1a 323
b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 故抛物线的解析式为()221231y x x 3x 3433=-
++=--+， 故顶点M 为()
3,4． （2）如图1，
∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，
∴连接BC 与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P ．
设对称轴与x 轴交于点H ，
∵PH //y 轴，
∴PHB COB ∽．
∴PH BH CO BO
=． 由题意得BH ＝23CO ＝3，BO ＝3
3 ∴PH 23333
=， ∴PH ＝2．
∴)
P 3,2． （3）如图2，∵()A 3,0-、()B 33,0，()C 0,3，()
M 3,4，
∴ABMC S 四边形＝
()AOC MHB COHM 111S S S 3334342393222
++=⨯⨯++⨯⨯=梯形． ∵ABMC S 四边形＝PDE 9S
， ∴PDE S 3=
∵OC ＝3，OB ＝3
3
∴OCB ∠＝60．
∵DE //PC ，
∴ODE ∠＝60． ∴OD ＝3m -，)OE 33m =-．
∵PDOE S 四边形＝))COE 133S
333m 3m 22=⨯-=-， ∴PDE S ＝))2DOE PDOE 333S S 3m 3m -=--=四边形 23330m 33+<<（）． ∴23333+= 解得1m ＝2，2m ＝1．
【点睛】 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质和四边形面积求法等知识，熟练运用方程思想方法和转化思想是解题关键．
4．A 解析：（1） A （12,0） B （72,0）；(2) ①23333
y x =-+，②24316373999
y x x =-+ 【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的解析式可得对称轴为x =2，利用:3:4∆∆=ABC BCE S S 得出CA :CE =3:4，由
△AOE ∽△AGC 可得
1
3
=AO AG ，进而求得OA 、OB 的长，即可求得点A 、点B 的坐标； （2）根据旋转的性质求出C 点坐标，利用C 点坐标和△AOE ∽△AGC 可求得E 点坐标，，分别利用待定系数法即可求得直线CE 和抛物线的解析式． 【详解】
解：（1）∵抛物线的解析式为2
4(0)=-+>y mx mx n m ，
∴对称轴为直线422-=-
=m
x m
， 如图，设对称轴与x 轴交于G ，则//CG y 轴，2OG =，
∴△AOE ∽△AGC ， ∴
=AO AE
AG AC
， ∵:3:4ABC
BCE
S S
=， ∴CA :CE =3:4 ，则3
1
AE AC =， ∴
1
3
==AO AE AG AC ， ∴1142=
=OA OG ，3342
==AG OG ， 则23==AB AG ，7
2
=+=OB OA AB ， ∴A (
12,0)， B (7
2
,0)； （2）如图，设O 旋转后落在点Q 处，过点C 作CP y ⊥轴于点P ，
由旋转的性质得：△BCO ≌△ACQ ， ∴BO =AQ =7
2
，CO =CQ ， ∴OQ =222271
()()2322=
-=-=AQ AO
∵CP y ⊥轴， ∴1
32
=
=OP OQ ∴点C 的坐标为(2,3)-，则3CG =由（1）得△AOE ∽△AGC ，1
3
==OE AE CG AC ， ∴33OE =
，即点E 的坐标为3(0,3
， ①设CE 的解析式为y kx b =+，分别代入C (2,3)-，E 3
得： 233
3k b b ⎧+=⎪⎨=
⎪⎩，解得：233k b ⎧=⎪
⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴CE 的解析式为233
y =； ②将A (
1
2
,0)，C (2,3)分别代入24y mx mx n =-+得：
120448m m n m m n ⎧-+=⎪⎨
⎪-+=⎩
，解得：99m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴抛物线解析式为2y x x =+
． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合、旋转的性质、相似三角形的性质和求一次函数的解析式，正确的理解题意，熟练运算“数形结合思想”是解题的关键．
5．（1）详见解析；（2）3m =，点C 坐标为(3,2)-；（3）5k =或4
17k 或
4
17k
时，可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形．
【解析】 【分析】 （1）从2
1
7202
2
x mx
m
的判别式出发，判别式总大于等于3，而证得；
（2）根据抛物线的对称轴32b x
a
来求m 的值；然后利用配方法把抛物线解析式转
化为顶点式，由此可以写出点C 的坐标；
（3）根据平行四边形的性质得到：2
15
|1(3)|42
2
MN k k k
CD ． 需要分类讨论：①当四边形CDMN 是平行四边形，2
1
51(3)42
2
MN k k k
，通过
解该方程可以求得k 的值；
②当四边形CDNM 是平行四边形，2153(1)42
2
NM k k
k ，通过解该方程可以求
得k 的值． 【详解】 解：（1）
2
2
17()4(2)(2)32
2
m m m
， ∵不论m 为何实数，总有2(2)0m -≥，
2
(2)3
0m ，
∴无论m 为何实数，关于x 的一元二次方程217202
2
x mx
m
总有两个不相等的实数
根，
∴无论m 为何实数，抛物线217
22
2
y x mx
m
与x 轴总有两个不同的交点． （2）
抛物线的对称轴为直线3x =，
3
122
m ，即3m =，
此时，抛物线的解析式为22
1513(3)22
22
y x x
x ，
∴顶点C 坐标为(3,2)-；
（3）//,CD MN C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴四边形CDMN 是平行四边形（直线在抛物线的上方）或四边形CDMN （直线在抛物线
的下方），如图所示，
由已知2
15(3,2),(,1),(3)2
2
D M k k N k k k
，， (3,2)C ，
4CD ∴=，
2
1
51(3)42
2
MN
k k k
CD
，
①当四边形CDMN 是平行四边形，
2
1
51(3)42
2
MN
k k k
，
整理得，28150k k -+=，
解得13k =（不合题意，舍去），25k =； ②当四边形CDNM 是平行四边形，
2153(1)
42
2
NM
k k
k ，
整理得2810k k ， 解得，12
4
174
17k k ，，
综上，5k =或4
17k
或4
17k
时，可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行
四边形． 【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式，抛物线的顶点公式和平行四边形的判定与性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
6．A
解析：（1）6y x =-+；（2）636S t =-，()6t >；（3）5599
y x =+ 【解析】
【分析】
（1）求出点A 、B 的坐标，从而得出△ABO 是等腰直角三角形，再根据2ABC ACB ∠=∠可得△OCB 也是等腰直角三角形，从而可求得点C 的坐标，将点B 、C 代入可求得解析式；
（2）存在2种情况，一种是点D 在线段BC 上，另一种是点D 在线段BC 的延长线上，分别利用三角形的面积公式可求得；
（3）如下图，先证ACR CAD ∆≅∆，从而推导出//RD AC ，进而得到CF RG =，同理还可得NF DG =，RD CN =，然后利用:7:12NF FC =可得到N 、D 的坐标，代入即可求得． 【详解】 解：（1）
直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，
(6,0)A ∴-，(0,6)B ．6OA OB ∴==．
45BAO ∴∠=︒，180BAO ABC BCO ∠+∠+∠=︒， 2ABC ACB ∠=∠，45BCO ∴∠=︒
6OC OB ∴==，()6,0C ∴．设直线BC 的解析式为y kx b =+， 将B 、C 两点坐标代得60
6k b b +=⎧⎨=⎩
解得1
6k b =-⎧⎨=⎩
∴直线BC 的解析式为6y x =-+．
（2）点D 是射线BC 上一点，点D 的横坐标为t ，
(,6)D t t ∴-+，6(6)12AC =--=．
如下图，过点D 作DK AC ⊥于点K ，当点D 在线段BC 上时，
6DK t =-+， 1
6362
S AC DK t ∴=⋅=-+()06t ≤<；
如下图，当点D 在线段BC 的延长线上时，
6DK t =-，636S t ∴=-()6t >．
（3）如图，延长CE 交AB 于点R ，连接DR 交BF 于点G ，交y 轴于点P ．
45BAO BCO ∠=∠=︒，BA BC ∴=．
AO CO =，BO AC ⊥EA EC ∴=，EAC ECA ∴∠=∠． ACR CAD ∴∆≅∆．BAD BCR ∴∠=∠．
AR CD ∴=．BR BD ∴=．//RD AC ∴．BH AD ⊥，
HBD BAD BCR ∴∠=∠=∠．MB MC ∴=，∠MRB MRB MBR ∠=∠ MR MB ∴=．CM MR ∴=．//RD AC ， ::1:1CF RG CM RM ∴==．CF RG ∴=． 同理NF DG =．RD CN =．
∵:7:12NF FC =．:7:12DG RG ∴=．
RP PD BP ==，5tan 19PG OF
OBF BP OB ∴
==∠= 6OB ∴=，3019OF ∴=，6OC =，84
19
CF ∴=．
7RD GN ∴==．1ON ∴=，72PD =．5
2
OP OB BP ∴=-=．
(1,0)N ∴-，75,22D ⎛⎫
⎪⎝⎭
．
设直线 DN 的解析式为y ax c =+，将N 、D 两点代入，
0752
2a c a c -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩
解得5959a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴直线DM 的解析式为55
99
y x =
+． 【点睛】
本题考查了一次函数与图形的综合，需要用到全等、三角函数和平面直角坐标系的知识，解题关键是想办法确定函数图像上点的坐标．
7．（1）①不是；②0；（2）若点(,)p q 在反比例函数8
y x
=
的图象上，则关于x 的方程260px x q -+=是半等分根方程，理由详见解析；（3）详见解析
【解析】 【分析】
（1）①解方程2280x x --=，根据“半等分根方程”定义作出判断即可；②解方程
(1)()0x mx n -+=得11x =，2n x m =-
，所以12n m -=或2n
m
-=，即：n =-2m 或m =-2n ，分别代入代数式2
25
2
m mn n +
+=结果均为0 （2）根据点(,)p q 在反比例函数8y x
=的图象上，得到8q p =，代入2
60px x q -+=，
得到关于x 的方程2
8
60px x p
-+=，解方程，用含p 的式子表示x ，根据“半等分根方程”定义判断即可；
（3）根据两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线上，且纵坐标相等，可以求出对称轴为
5
2
x =
，根据方程20ax bx c ++=是半等分根方程，得到两根关系，根据抛物线对称轴为 125
22
x x +=，即可求出两个根，问题得证． 【详解】
解：（1）①解方程2280x x --=得124,2x x ==-，不符合“半等分根方程”定义， 故答案为：不是；
②解方程(1)()0x mx n -+=得11x =，2n x m =-，所以12n m -=或2n
m
-=，即：n =-2m 或m =-2n ， 当n =-2m 时，()()2
2
225522022
m mn n m m n m ++=+-+-=； 当m =-2n 时，()()2
2225522022
m mn n n n n n +
+=-+-+=；
故答案为：0；
（2）若点(,)p q 在反比例函数8y x
=的图象上，则关于x 的方程2
60px x q -+=是半等分根方程
理由：∵点(,)p q 在反比例函数8
y x
=的图象上 ∴8q p
=
代入方程2
60px x q -+=得： 28
60px x p
-+
= 解得：12x p
=，24x p =
∵121
2
x x =
∴方程2
60px x q -+=是半等分根方程
（3）∵相异两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线2
y ax bx c =++上，
∴抛物线的对称轴为：(1)(4)5
22
t t x ++-=
=
又∵方程20ax bx c ++=是半等分根方程 ∴设20ax bx c ++=的两个根分别为1x 和2x 令1212x x =
则有：125
22
x x += 所以153
x =
，2103x =
所以方程20ax bx c ++=的一个根为5
3
得证． 【点睛】
本题为“新定义问题”，考查了学生自主学习的能力，解决此题关键是理解新定义概念，并结合所学数学知识进行解答．
8．B
解析：（1）35t ，
4
5t ；（2）当0＜t ＜3时，224655
S t t =--+；当3＜t ＜7时，23391052
S t t =+-；（3）7
5；（4）132，7713，477
【解析】 【分析】
（1）过点B 作x 轴垂线，利用相似三角形可求得；
（2）分2种情况，一种是点P 在AD 上，另一种是点P 在CD 上，然后利用三角形面积公
式可求得； （3）直接令1
5
h OD =
即可求出； （4）存在3种情况，第一种是：QP ∥BD ，第二种是EP ∥CD 或EQ ∥CB ，第三种是QE ∥BD ，分别按照几何性质分析求解． 【详解】
（1）如下图，过点B 作x 轴垂线，垂足为点M
根据平移的特点，可得∠BOM=∠DBA ∵∠BMO=∠DAB=90°，∴△BMO ∽△DAB ∵AB=4，AD=BC=3 ∴BD=5 ∵
BM OM BO
DA BA BD
==，OB=t ∴BM=35
t ，OM=
45
t （2）情况一：当0＜t ＜3时，图形如下，过点P 作OD 的垂线，交OD 于点N
∵∠NDP=∠BDA ，∠PND=∠BAD ，∴△PND ∽△BAD ∵AP=t ，∴PD=3－t ∵
PN BA
PD BD =，∴PN=()435
t - 图中，OD=5+t ∴()
()2431
24
562
5
55
OBD
t S
t t t -=
+=--+
情况二：当3＜t ＜7时，图形如下，过点P 作OD 的垂线，交OD 于点N
图中，PD=t －3，OD=5+t 同理，△PND ∽△BCD ，可得PN=()335
t -
∴()
()233133952
5
1052
OBD
t S
t t t -=
+=-
+- （3）情况一：当0＜t ＜3时 则h=PN=()435
t -
∵1
5
h OD = ∴
()
4355
5
t t
-+= 解得：t=
75
情况二：当3＜t ＜7时 则h=PN=
()335
t -
∵
15
h OD = ∴
()
33555t t
-+=
解得：t=7(舍)
（4）情况一：QP ∥BD ，图形如下
由题意可得：BQ=43t ，AP=t ，则QA=4－43
t ，DP=3－t ∵BD ∥QP ∴QA PA QB PD
= 代入得：4()2243t t =-
解得：t=32
∴OD=5+t=
132 情况二：如下图，EP ∥CD(或EQ ∥CB)
∵点E 是点A 关于QP 对称的点
∴EP=PA ，EQ=QA ，QP=QP
∴△APQ ≌△EPQ
∵EP ∥CD ，CD ⊥AD
∴EP ⊥AD
∴∠APQ=∠EPQ=45°
∴△AQP 是等腰直角三角形，AQ=PA
∴4－43
t t = 解得：t=127
∴OD=5+t=
477 情况三：如下图，QE ∥BD ，延长QE 交DA 于点N
∵△APQ ≌△EPQ ，∴∠QEP=∠QAP=90°
∴△ENP 是等腰直角三角形
∵QN ∥BD ，∴∠NQA=∠DBA ，∠A=∠A
∴△QNA ∽△BDA
∵BQ=
43t ，AP=t ，QA=4－43t ，DP=3－t ∴QN QA AN BD BA AD
== ∴QN=5－43
t ，NA=3－t ∴EN=QN －QE=QN －QA=1－
3t ，NP=NA －AP=3－2t ，EP=PA=t ∴在Rt △ENP 中，()
2223213t t t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 解得：t=1213
或t=3(舍) ∴OD=5+t=
7713 【点睛】
本题考查动点问题，解题关键是利用相似将图形中各边用t 表示出来．
9．F
解析：（1）28AD <<；（2）见详解；（3）EF BE DF =+，理由见详解
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质可证明ADC EDB ≅，6,AC BE AD ED ===，在ABE △中根据三角形三边关系即可得出答案；
（2）延长FD 至M ，使DF=DM ，连接BM ，EM ，可得出CF BM =，根据垂直平分线的性质可得出EF EM =，利用三角形三边关系即可得出结论；
（3）延长AB 至N ，使BN=DF ，连接CN ，可得NBC D ∠=∠，证明NBC FDC ≅，得出,CN CF NCB FCD =∠=∠，利用角的和差关系可推出50ECN ECF ∠=︒=，再证明NCE FCE ≅，得出EN EF =，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵,,AD ED CD BD ADC BDE ==∠=∠
∴ADC EDB ≅
∴6,AC BE AD ED ===
在ABE △中根据三角形三边关系可得出：
AB BE AE AB BE -<<+，即4216AD <<
∴28AD <<
故答案为：28AD <<；
（2）延长FD 至M ，使DF=DM ，连接BM ，EM ，
同（1）可得出CF BM =，
∵,FD MD FD DE =⊥
∴EF EM =
在BEM △中，BE BM EM +>
∴BE CF EF +>；
（3）EF BE DF =+，理由如下：
延长AB 至N ，使BN=DF ，连接CN ，
∵180,180ABC D ABC NBC ∠+∠=︒∠+∠=︒
∴NBC D ∠=∠
∴NBC FDC ≅
∴,CF CN NCB FCD =∠=∠
∵100,50BCD FCE ∠=︒∠=︒
∴50ECN ECF ∠=︒=
∴NCE FCE ≅（SAS ）
∴EN EF =
∴EF EN BE BN BE DF ==+=+
∴EF BE DF =+．
【点睛】
本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强．
10．D
解析：（1）D 点坐标为()2,3，矩形MONC 的最小值为645；（2）交点坐标为（
3+13，﹣
9313+），（3﹣13，﹣9313-），（1﹣5，15-），（1+5，
152
+）． 【解析】
【分析】 （1）当△DEB 的面积最大时，直线DN 与抛物线相切，可求出直线DN 的解析式和点D 的坐标，当矩形面积最小时，MG 最小，求出MG 的最小值即可．
（2）分两种情况讨论，以DB 为边和以DB 为对角线，分别求出此时ON 的解析式，联立求出交点坐标即可．
【详解】
解：（1）如图1所示，过点D 作y 轴的平行线交MB 于点H ，过点O 作OQ 垂直MB 于点Q ，
令y ＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝4，
∴A （﹣1，0），B （4，0），
令x ＝0，y ＝2，
∴E （0，2），
设直线BE 的解析式为y ＝kx +b ，则2,40,b k b =⎧⎨+=⎩
解得122
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线BE 的解析式为y ＝﹣
12
x +2， ∵DN ∥BE ，
∴设直线DN的解析式为y＝﹣1
2
x+b1，
S△DEB＝DH
1
2
⨯•（x B﹣x E），
∴当△DEB面积最大时，即是DH最大的时候，
∴﹣1
2
x+b1＝﹣
1
2
x2+
3
2
x+2，
△＝b2﹣4ac＝0，即16﹣4（2b1﹣4）＝0，解得b1＝4，点D（2，3），
S矩＝2S△MOG+S平形四边形，
∴矩形面积最小时就是MG最小，
设QG＝m，MQ＝n，
∴MG＝m+n，
∵m+n≥
∵△QOG∽△MQO，
∴OQ2＝m•n，
∵△OEQ∽△EOB，
∴OQ＝
5
，
∴m•n＝16
5
，
∴m+n的最小值为
5
．
∴MG，
∴S矩＝2S△MOG+S平形四边形＝64
5
．
（2）分两种情况讨论，情况一：当GN∥DB时，
直线DB的解析式为：y＝﹣3
2
x+6，
则直线NG的解析式为y＝﹣3
2 x，
∴﹣3
2
x＝﹣
1
2
x2+
3
2
x+2，
解得x1＝x2＝3
∴交点坐标为（），（3），
情况二：DB为对角线时，此时NG必过DB的中点（3，3
2
），
设直线ON的解析式为y＝k1x，
则k1＝1
2
，
∴直线OD的解析式为y＝1
2 x，
1 2＝﹣
1
2
x2+
3
2
x+2，
解得x1＝1
x2＝
∴交点坐标为（1
），（
），
综上所述：交点坐标为（
9
2
+
），（3
9
2
-
），（1
﹣
），（
）．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质以及二次函数与几何相结合的问题，转化矩形面积最小和三角形面积最大为某条线段的最值为解题关键．
11．A
解析：（1）135°；（2）①45°，②不发生变化，45°；（3）60°或45°
【解析】
【分析】
（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；
（2）①利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；
②证明和推理过程同①的求解过程；
（3）由（2）的证明求解思路，不难得出EAF
∠=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，
∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍.
【详解】
（1）
()
1
180180
2
1
1809018045135
2
AEB EBA BAE OBA BAO
∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠
=︒-⨯︒=︒-︒=︒
（2）①如图所示。