高考数学复习点拨：判断方程表示的图形

高考数学复习点拨：判断方程表示的图形
如何判断方程表示的图形
山东胡大波
在实际解题中，有时判断给出方程的图形，如果是二元二次方程，虽然有点类似圆的一般式方程，实质上不为圆的方程，要想准确把握方程表示的图形，需进一步加深理解定义与概念。

本文揭示圆与二元二次方程的关系。

进一步明确方程与图形之间的关系。

一、二元二次方程表示圆的方程的特点
在二元二次方程中，D、E、F 为常数，通过配方法得
（1）当时，方程表示以为圆心，为半
径的圆；
（2）当时，方程表示点；
（3）当时，方程无实数解，不表示任何图形。

可见，若所给二元二次方程表示圆必须满足：
（1）项的系数相等且不为零；（2）没有xy 项；（3）.
二、结论应用
例1、方程表示的几何图形是（）
A、圆
B、直线
C、点
D、不表示任何图形
解：将方程化为，则
，计算得，所以方程表示圆，选A.
例2、讨论方程所表示的曲线。

分析：从方程形式看它是一个圆的方程（A＝C，B＝0），但还不一定
就是圆。

解：将配方得.
（1）当，即m2 时，原方程表示以（－2，－m）为圆心，
为半径的圆。

（2）当，即时，原方程表示点（－2，－2）或（－2，2）
（3）当，即时，原方程不表示任何曲线。

点评：遇到字母时要对其值进行讨论：主要讨论圆心坐标和坐标公式，要掌握通过配方求圆心和半径的方法，注意二元二次方程表示圆的必要条件。

例3、如果方程表示一个圆，
求：（1）t 的取值范围；（2）该圆半径r 的取值范围。

解：（1）方程表示一个圆需有：，即，所以
（2）该圆的半径r 满足：
，所以，所以
点评：含有参数的二元二次方程，并不一定表示圆，只有当时才表示圆，即可通过不等式求出参数的范围，此题中利用了函数方程的思想求半径r 的取值范围。

例4、已知曲线C：，
证明：当时，曲线C 是一个圆，且圆心在一条直线上。

证明：因为D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，所以
，又因为，
所以，所以，曲线C 是一个圆，设圆心坐标为（x，y），则由，消去m 得x＋2y＝0，即圆心在直线x＋2y＝0 上。

点评：利用结论求得方程表示的曲线需要满足的条件，再利用参数法求得轨迹方程。