二元一次不等式与线性规划(精)

二元一次不等式与线性规划
（1）二元一次不等式表示平面区域:
先讨论在平面直角坐标系中，以二元一次不等式1-+y x ＞0的解为坐标的点的集合}01|),{(>-+y x y x 所在的平面区域.由01>-+y x 得1+->x y ,令100+-=>x y y ,则点),(00y x 在直线1+-=x y ,即01=-+y x 上,点),(0y x 在点),(00y x 的上方,即在直线01=-+y x 的上方.所以在平面直角坐标系中，以二元一次不等式01>-+y x 的解为坐标的点的集合()}01|,{>-+y x y x 是在直线01=-+y x 右上方的平面区域.
一般地,二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示直线0=++C By Ax 某一侧所有点组成的平面区域.
说明:①二元一次不等式0≥++C By Ax 在平面直角坐标系中表示直线0=++C By Ax 某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;事实上, }0|),{(}0|),{(}0|),{(=++>++=≥++C By Ax y x C By Ax y x C By Ax y x
②作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.
推导:举例说明.
① 判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:
方法1:记住下列一般性结论:
(1)若0>B ,则0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方的平面区域.
0<++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方的平面区域.
(2)若0<B ,则0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方的平面区域.
0<++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方的平面区域.
(3)若0,0>=A B ,则0>+C Ax 表示直线0=+C Ax 右侧的平面区域.
0<+C Ax 表示直线0=+C Ax 左侧的平面区域.
若0,0<=A B ,则0>+C Ax 表示直线0=+C Ax 左侧的平面区域.
0<+C Ax 表示直线0=+C Ax 右侧的平面区域.
方法2:取特殊点检验;
原因:由于对在直线0=++C By Ax 的同一侧的所有点),(y x ,把它的坐标),(y x 代入
C By Ax ++,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点),(00y x ,从C By Ax ++00的正负即可判断0>++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域.②特殊地,当0≠C 时,常取原点检验.
对于二元一次不等式组,则分别判断每个不等式表示的平面区域,然后取它们的公共区域即是不等式组表示的平面区域.
求不等式(组)表示的平面区域的一般步骤:
①先依不等式作直线,注意虚实;
②取点:在直线的某一侧取一点;
③确定符号,即确定直线某一侧的符号;
④若为不等式组,则各不等式表示平面区域的公共部分.
（2）线性规划问题：
引例: 已知q px x f -=2
)(且5)2(1,1)1(4≤≤--≤≤-f f ,求)3(f 的取值范围. 错解: 由71,305
4114≤≤≤≤⇒⎩⎨⎧≤-≤--≤-≤-q p q p q p 而q p f -=9)3(利用不等式性质得269)3(7≤-=≤-q p f .
正解: 由⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=-==-=3434)2()1(μνμννμq p q p f q p f 而νμνμ3
5389)3(,51,14-=
-=≤≤--≤≤-q p f 所以]20,1[)3(-∈f
错解中似乎没有任何漏洞,那么到底是错在什么地方呢?是什么原因致使出现错误呢?通过今天的学习----线性规划,我们便可以发现问题出在哪里了.
① 基本概念：
设y x z +=2,式中变量满足下列条件: 1255334⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤+-≤-x y x y x ,求z 的最大值和最小值.
线性规划的基本概念:
1.线性约束条件：(由不等式或不等式组构成的关于变量n x x x ,,,21 的限制条件称为约束条件)在上述问题中,不等式组是一组变量y x ,的约束条件,这组约束条件都是关于y x ,的一次不等式,故又称线性约束条件.
2.线性目标函数：
(关于变量n x x x ,,,21 达到最大值或最小值的解析式称为目标函数)关于y x ,的一次式y x z +=2是欲达到最大值或最小值所涉及的变量y x ,的解析式,叫线性目标函数.(例如关于y x ,的解析式：22,2y x z y x z +=+=等等的叫做目标函数).
3.线性规划问题：
一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.
4.可行解、可行域和最优解：
a. 满足约束条件的解),(y x 叫可行解．
b. 由所有可行解组成的集合叫做可行域.
可行域可以是封闭的多边形也可以是一侧开放的无限大的平面区域.如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处使目标函数取得最值,最优解一般就是多边形的某个顶点,确定方法有两种:一是将目标函数的直线平行移动,最先通过或者最后通过的顶点就是;二是可利用围成可行域的直线的斜率来判断:若围成可行域的直线n l l l ,,,21 的斜率为n k k k ,,,21 ，而且目标函数的直线的斜率为k ,则当1+<<i i k k k 时，直线i l 与1+i l 相交的顶点一般是最优解;特别的,当表示线性目标函数的直线与可行域的某边平行(i k k =)时,其最优解可能有无数个.
c. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.
5.线性规划问题：
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题.
② 用图解法解决线性规划的一般步骤：
1.画: 画出约束条件表示的可行域;
2.移: 作出目标函数,并平移确定出最优解的位置;
3.求: 根据直线方程求解出最优解;
4.算: 根据最优解算出最优值(最大值或最小值);
5.特: 若要求的是整数解,则可行域是一些点集(整数点),求解过程中应打网格.
③实际问题中的线性规划：
(1)建模: 注意审题,根据题意列出线性规划模型;
(2)求解: 利用图解法求解模型(注意实际意义).
【经典例题】
【例1】设变量y x ,满足约束条件⎩⎨
⎧-≥-≥+1,3y x y x ，则目标函数x y z 2+=的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【例2】设,,R ∈y x 且满足02=+-y x ，则22y x +的最小值为 ；
若y x ,又满足x
y x y 则,4->的取值范围是 . 【例3】设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，求z 的最大值和最小值.
【例4】设O 为坐标原点，(1,1)A ，若点B 满足222210,12,12x y x y x y ⎧+--+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩
，则OA OB ⋅的
最小值为
A
B ．2
C ．3 D
．2+
【例5】已知不等式组1,1,0x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩
表示的平面区域为M ，若直线3y kx k =-与平面区域
M 有公共点，则k 的取值范围是（ A ）
A ．1[,0]3-
B ． 1(,]3-∞
C ． 1(0,]3
D ． 1(,]3
-∞-
【易错题】
【例1】已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩
所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为
A ．1
B ．3-
C ．1或3-
D ．0 【答案】A
【例2】不等式组0,10,3260
x x y x y ìïïï--íïï--ïïî≥≥≤所表示的平面区域的面积等于 . 【例3】设变量x ，y 满足0,10,3260,
y x y x y ìïïï--íïï--ïïî≥≥≤则该不等式组所表示的平面区域的面积等于 ；
z x y =+的最大值为 .
【例4】目标函数2z x y =+在约束条件30200x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩
下取得的最大值是________ .
【例5】已知0,(,20x x y y x
k x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩
满足为常数）若y x z 3+=的最大值为8，则k =_____ 【课堂练习】
1. 在平面直角坐标系中,不等式组0,40,x y x y x a +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
所表示的平面区域的面积是9,则实数a 的
值为 .
2.若实数x ，y 满足条件0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩
则2x y -的最大值为（ ）
A ．9
B ．3
C ．0
D ．3-
3.若实数x ，y 满足不等式组1,2,0,y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
则y x z 2-=的最小值为（ ）
A ．2
7- B ． 2- C ．1 D ．25 4.若变量x y ，满足约束条件0,21,43,y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩
则35z x y =+的取值范围是（ ）
A.[3,)+∞
B.[-8,3]
C.(,9]-∞
D.[-8,9]
5.在平面上有两个区域M 和N ，其中M 满足002y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩
，N 由1t x t +≤≤ 确定，当0
t =时，M 和N 公共部分的面积是 ；当01t ≤≤时，M
和N 的公共部分面积的最大值为 ．
【课后作业】
1、不等式组0,10,3260x x y x y ≥⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩
所表示的平面区域的面积等于 .
2、点(,)P x y 在不等式组22y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩
表示的平面区域内，则z x y =+的最大值为_______．
3、已知a b <，则下列不等式正确的是
A ．11a b
> B ．22a b > C ．22a b ->- D ．22a b > 4、平面上满足约束条件2,0,60x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩
的点(,)x y 形成的区域为D ，则区域D 的面积为
________；设区域D 关于直线21y x =-对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离最近的两点的距离为________．
5、若满足条件020x y x y y a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
的整点(,)x y 恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的
点，则整数a 的值为
A ．3-
B ． 2-
C ．1-
D ．0
6、若实数x ，y 满足条件0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩
则2x y -的最大值为
A ．9
B ．3
C ．0
D ．3-
7、若实数x ，y 满足条件0,10,01,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩
则|3|x y -的最大值为（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
8、若实数x ，y 满足不等式组1,2,0,y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
则y x z 2-=的最小值为
A ．2
7- B ． 2- C ．1 D ． 25 9、若点(,)P x y 在不等式组,,2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩
表示的平面区域内，则2z x y =+的最大值为 A ．0 B ．2 C ． 4 D ．6
10、 设,x y 满足约束条件0, , 230,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩
则目标函数2z x y =-的最大值是 ； 使z 取得最大值时的点(,)x y 的坐标是 ．。