(完整word版)高一数学寒假作业9

课时作业9函数的单调性
时间：45分钟分值：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．下列命题正确的是( )
A．定义在(a，b)上的函数f (x)，若存在x1<x2时，有f (x1)<f (x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数
B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)使得x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数
C．若f(x)在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为增函数
D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)<f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1<x2
解析：根据函数单调性的定义和性质来判断．
答案：D
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是( )
A．f(x)＝x B．g(x)＝－2x
C．h(x)＝－3x＋1 D．s(x)＝1 x
解析：函数g(x)＝－2x在R上是减函数，函数h(x)＝－3x＋1在R上是减
函数，函数s(x)＝1
x在(0，＋∞)上是减函数，故排除B、C、D，选A.
答案：A
3．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则有( )
A．a≥1
2B．a≤
1
2
C．a>－1
2
D．a<
1
2
解析：由一次函数图象的性质可知2a－1<0，即a<1
2
，所以D正确．答案：D
4．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
解析：因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3，故选C.
答案：C
5．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有f a－f b
a－b>0成立，则必有( )
A ．函数f (x )先增后减
B ．函数f (x )先减后增
C ．f (x )在R 上是增函数
D ．f (x )在R 上是减函数 解析：根据单调性的定义判断． 答案：C
6．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么A 区间是( ) A ．(－∞，0) B ．[0，1
2]
C ．[0，＋∞)
D ．(1
2
，＋∞)
解析：由y ＝⎩⎨
⎧
－x 2＋x x ≥0，
x 2－x x <0.
由二次函数图象知增区间为[0，1
2]．
答案：B
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．如图1是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象，则y ＝f (x )在________上是增函数，在________上是减函数．
图1
解析：由函数的图象可得所求区间．
答案：[－2,1]和[3,5] [－5，－2]和[1,3]
8．若函数f(x)＝－|x|在区间[a，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是__________．
解析：函数f(x)＝－|x|的单调递减区间为[0，＋∞)，依题意得[a，＋∞)⊆[0，＋∞)，所以a≥0.
答案：a≥0
9．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，函数f(x)为增函数，当x ∈(－∞，－2)时，函数f(x)为减函数，则m等于________．
解析：二次函数在对称轴的两侧的单调性相反．由题意得函数的对称轴为x＝
－2，则m
4
＝－2，所以m＝－8.
答案：－8
三、解答题(共计40分)
10．(10分)判断并证明f (x )＝
x
x
2＋1
在(0，＋∞)上的单调性．
解：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则
f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 22＋1－x 1x 21＋1
＝
x 2x 21＋1－x 1x 22＋1
x
22
＋1x 2
1＋1
＝
x 2x 21＋x 2－x 1x 22－x 1
x 22＋1x 21
＋1＝
1－x 1x 2x 2－x 1x 22
＋1x
21
＋1.
(1)当0<x 1<x 2≤1时，x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，则f (x 2)－f (x 1)>0，所以函数
f (x )＝x
x 2＋1
在(0,1]上是增函数； (2)当1≤x 1<x 2时，x 2－x 1>0,1－x 1x 2<0，则f (x 2)－f (x 1)<0，所以函数f (x )＝
x x
2＋1
在[1，＋∞)上是减函数．
11．(15分)已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，试比较f (a 2－a ＋1)与f (3
4
)的大小．
解：∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥3
4，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (a 2－a
＋1)≤f (3
4
)．
12．(15分)函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且f (4)＝5.
(1)求f (2)的值；00 (2)解不等式f (m －2)≤3.
解：(1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5，∴f (2)＝3. (2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)． ∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数．
∴⎩⎨⎧
m －2≥2m －2>0
，解得m ≥4. ∴不等式的解集为{m |m ≥4}．。