例谈核心素养下学生探究和应用能力的培养——基于《直线和圆的位置关系》教学思考

例谈核心素养下学生探究和应用能力的培养
———基于《直线和圆的位置关系》教学思考
郑汉洲
（安徽省合肥市第一中学，２３０６０１）
实施素质教育的重点是培养学生具有创新精神和实践能力，教师在日常的教学中如何在向学生传授知识的同时，培养他们的探索与研究能力？笔者认为数学建模是实现这一目标的一种有效途径．本文结合《直线与圆的位置关系》一节的教学案例，谈谈如何通过创设问题情境增强学生自主建模的兴趣，通过新知探索中问题的提出培养学生自主学习精神，通过变式训练中模型的解释培养学生的实践意识，通过拓展训练的应用培养学生的创新能力．
１　数学建模的含义及其意义
所谓数学模型，就是对现实世界中的各种原型，进行必要的抽象与简化，概括成数学问题，然后求解该数学问题，最后在现实问题中解释、验证所得到的解的过程，也就是引导学生用数学模型来解释生活问题，用模型的思想解决数学问题，以发展学生的数学思维，提升他的思维品质．在教学过程中引导学生自主建模，既能提高学生解决问题的能力，更能充分发挥学生的主体作用，有力推进新课改的实施，真正实现“人人学有价值的数学，人人能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”．
２　案例呈现
２．１　创设好的问题情境，是引导学生自主建模的
基础
本节课的主要内容是以研究直线与圆的位置关系，并学会用两种方法解决有关直线与圆的位置关系的问题．为了让学生经历知识的探索过程，还学生探索数学问题的权利，发展他们的思维，培养他们的创造性，促进学生的可持续发展．在上课一开始教师创设了这样的教学情境：
师：同学们，首先让我们一起欣赏美丽的海上日出的视频．
师：看过视频后，你们想不想亲自去目睹这美丽的胜景？
师：但天有不测风云，正当我们准备乘船去某港口看海上日出，突然听到天气预报说现海上有一台风，在台风中心的周围３０ｋｍ的圆形区域都会受到它的影响．已知台风中心位于轮船正西８０ｋｍ处，港口位于台风中心正北４
０ｋｍ处，如果轮船沿直线航行，并且中途不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
师：利用初中所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下．
问题一抛出，同学们异常积极，有的同学通过画图，发现直线和圆没有公共点，所以不会受台风的
影响；
有的同学则利用勾股定理算出圆心到直线的距离，发现它比半径大，所以直线与圆是相离的，所以它不会受台风的影响．
这里，教师让学生在欣赏美丽的日出视频后回忆、再现初中的方法，各显其招，积极、主动参与数学知识“再创造”活动，学生通过自己动手画图，建立数学模型，从数学角度看日常生活中的问题，体验到数学与生活的密切联系，激发学生的探索热情，课堂变得异常活跃．
教师接下来说：那你们能否用所学的坐标法来解决这个问题呢？
这样，教师既肯定了学生，又为学生进一步思考指明了方向，为提升学生的数学建构水平做了很好的铺垫．
２．２　让学生在新知探索中提出问题，是引导学生自
主建模的关键
学习数学，不仅要记住数学定理，而且还应该
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探究结论是怎样一步一步提炼出来的．教师在教学时要善于引导学生对自己的学习过程进行探究发现并进行归纳提升，用简明的数学语言建构起数学模型．
在这一节课的新知探究中，教师这样进行设计：师：利用坐标法，需要建立适当的直角坐标系，在这个实际问题中该如何建立直角坐标系？
生：为解决这个问题，我们以台风中心为原点Ｏ，东西方向为ｘ轴，建立直角坐标系．
生１：由直线与圆的方程：
ｘ２＋ｙ２
＝９００．
ｘ＋２ｙ－８０＝０{
．
消去ｘ，得ｙ２
－６４ｙ＋１１００＝０．
因为Δ＝（－６４）２－４×１×１１００＝－３０４＜０，
所以，直线与圆相离，不改变航线，不受台风影响．
生２：因为圆心（０，０）到直线ｘ＋２ｙ－８０＝０的距离ｄ
为ｄ＝｜１×０－２×０－８０｜１２＋２槡２
＝８０槡５槡＝１６５．∵半径ｒ＝３０，∴ｄ＞ｒ．
所以，直线与圆相离，不改变航线，不受台风影响．
在上述教学过程中，老师及时设疑激思，通过问题的提出，使学生积极参与到探索中，建立数学模型．学生可能有不同的建系方法，让学生对比后，找到最合适、最方便研究的直角坐标系，同时为学生的进一步交流和探索提供了方便．
学生通过自主探究、小组讨论、发现了知识间的内在联系，教师则针对学生的讨论，对学生思维上进行恰当的启迪，方法上进行及时的点拨，鼓励学生积极、主动地探究，以顺利地完成整个探究过程．这里，学生通过合作交流，发现了知识之间的内在联系，培养了学生的语言表达能力和沟通能力，增强学生思维的严谨性；学生在交流中学习数学，由特殊到一般，从已知到未知，步步深入进行研究，自主完成解题策略，并通过自己归纳总结解题方法，体验到了数学学习的快乐和成就感．
２．３　变式训练中的模型解释，是引导学生自主建模
的深化
学生在教师的引导下，经过自主探究，合作交流，建构起数学模型，如何将建立的数学模型合理地运用问题解决中？又如何进一步拓展和提炼模型？
教师在接下来的教学中进行了这样的设计：师：现在如果将问题中台风半径改为为３６ｋｍ，并且台风风力不大，轮船仍不改变航线，速度为８
０ｋｍ／ｈ，那么它受到台风影响的时间有多长？
这个题目，利用直线与圆的方程，通过计算直线与圆的相交弦长，以真正提升学生运用数学解决实际问题的能力．
师：同学们，现在如果轮船航线正好和受台风影响的圆形区域的边缘相切，计算ｒ的值．
这一问题增加了思维的梯度，是一道含有参数的方程，教师引导学生用基本方法求解，培养了学生思维的深刻性和灵活性．
２．４　拓展中的模型应用，是检验和发展学生数学建
模能力的平台
数学建模改变了传统教学中纯教师说教的教学模式，引导学生自主建模，
学生们采用了不同的方法和思路建模，
以培养他们的创新能力和应用意识
．
在接下来的拓展应用中，老师设计了五道变式训练：
这五道变式训练，不仅可以培养学生运用本节课学到的知识来解决问题，还可以培养学生学会从运动变化的观点看问题，
（下转第５５页）
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解惑的教学活动中进行思维碰撞的自然融合．在师生、生生的互动中，教师要始终怀揣深深的情，通过学生学会数学思维而形成的理性思考的精神，用智慧去启迪学生的情感思维．由教学情境、问题表述、符号化、语言表达等产生的情感体验，使学生对学习的过程深度参与，对数学信息的内化和批判的吸纳，通过思维的碰撞，使得数学思维方式及情感得到升华．因此在师生、课程、知识、技能、多元多层次的互动生成中，学生才能突破思维的局限，形成健全的人格．这样不断地开发潜能，启迪智慧，自我革新，探寻下一个“最近发展区”，才能取得数学素养和生命价值取向的整体提升．
综上所述，关注数学课堂结构是数学课堂和谐之根本，我们的数学课堂不应该仅仅是变“知识”成“技能”的课堂，更应该是变“知识”成“智慧”的课堂，还应该是充满生活体验、洋溢数学素养、促进和谐共生的课堂．正如前苏联教育家苏霍姆林斯基所说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要．这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者．然而在儿童的精神世界里这种需要特别强烈．”正是这种强烈的需要才使数学课堂更具有创造力，才能更好地落实数学的核心素养，促进学生的学习力不断生长．
参考文献：
［１］教育部制定．义务教育数学课程标准（２０１１年版）［Ｓ］．北京：北京师范大学出版社，２０１２．［２］郑毓信．数学思维与小学数学［Ｍ］．南京：江苏教育出版社，２００８．
［３］米山国藏．数学的精神思想和方法［Ｍ］．成都：四川教育出版社，１９８６．
［４］（苏）苏霍姆林斯基．给教师的建议．杜殿坤，译［Ｍ］．北京：教育科学出版社，１９８４．
［５］汪应洛．系统工程［Ｍ］．北京：机械工程出版社，２０１７．
［６］车文胜．让和谐在数学课堂中绽放生命力［Ｊ］．小学数学教育，２０１１，（４）．
［７］颜春红、吴玉国．结构化学习的活动设计与组织［Ｊ］．江苏教育研究（Ａ），２０１８，（１）．
［８］胡全会．引导探究，开展结构化数学教学［Ｊ］．数学教学通讯，２０１７，（２５）
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（上接第５２页）　教师通过多媒体演示直线不动、圆的半径变化，让学生感受到参数的作用，感受到图形直观的魅力，培养同学们灵活运用所学知识解决问题的能力．
这时，学生在和谐、融洽和热烈的讨论氛围中收获了许多，但老师并不满足，而是有意将学生的思维从课堂延伸到课外，为同学们进一步探讨和数学思维的发展设置了一个平台．
师：同学们，若台风风力较大，要想去观看日出，我们应如何设计我们的航线，才能避开台风的影响．在实际中，台风不是不动的，若台风中心沿直线移动，并且台风的圆形半径每小时增加１ｋｍ，我们的航线正好沿台风边沿，如何求航线方程．这两个问题，留给同学们课下研究．
数学建模是利用数学知识来解决实际问题的，而实际问题是不断变化的，通过留出的问题，鼓励同学们不断探索，以提高他们分析问题、解决问题的能力．
３　感受与体会
这节课的教学中，教师通过提供丰富的数学学习环境，创设便于观察和思考的情境，给他们提供自主探究的空间，使学生经历完整的数学学习过程，在创设问题情境时，引导学生自主建模，极大地激发了学生的学习热情，增强了学生自主建模的兴趣；在新知探索中，引导学生不断提出问题，解决问题，不仅培养了学生自主学习精神，也发展了学生问题解决的能力；在变式训练中，通过各种模型的解释，同学们将新知识内化到自己的认知结构中去，培养了学生的思维能力和实践意识；在最后的拓展训练中，老师提出一个又一个切合实际的问题，将课堂延伸到课外，给学生留下了极大的发挥空间，任凭学生去创造和创新，学生创造能力和实践能力得到很好发展．同学们在这节课的数学建模活动中表现出了大胆设想、敢于尝试的精神，完全充当了学习的主体；他们相互讨论，密切协作，形成合力，团队精神得到了很好体现；他们利用已有的知识，自主探索用坐标法去研究直线与圆的位置关系的方法，体验有关的数学思想，“用数学”的意识得以很好锻炼．
参考文献：
［１］韦波富．用建模思想指导小学数学教学［Ｊ］．新课程研究（基础教育），２０１１（６）．
［２］陈国华．数学建模与素质教育［Ｊ］．数学的实践与认识，２００３（２）：１１０－１１３．
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