高二数学下学期第一次联考试题文含解析试题

南白中学〔县一中〕2021-2021学年高二下学期
创作人：历恰面日期：2020年1月1日
第一次联考数学〔文〕试题
第一卷〔选择题一共60分〕
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，四个选项有且只有一项正确.
，，那么〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
,选C.
〔为虚数单位〕是纯虚数，那么实数的值是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：根据复数的运算法那么可得，假设其为纯虚数，那么.
考点：复数的概念与四那么运算.
3.假设执行如以下图的程序框图，那么输出的值是
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】解：第一次执行循环体后，a＝2，不满足退出循环的条件，故i＝2；
第二次执行循环体后，a＝5，不满足退出循环的条件，故i＝3；
第一次执行循环体后，a＝16，不满足退出循环的条件，故i＝4；
第一次执行循环体后，a＝65，满足退出循环的条件，
故输出的i值为4，
应选：D．
【点睛】此题考察程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论．
，那么与的夹角等于〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，设夹角为，那么.
，，那么以下不等式一定正确的选项是
．．．．．．．．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对4个选项分别进展判断，即可得出结论．
【详解】解：由于a＞b＞0，，A错；
当0＜c＜1时，c a＜c b；当c＝1时，c a＝c b；当c＞1时，c a＞c b，故c a＞c b不一定正确，B 错；
a＞b＞0，c＞0，故ac﹣bc＞0，C错．
，D对；
应选：D．
【点睛】此题考察不等式的性质，考察学生分析解决问题的才能，属于中档题．
“直线与圆相切〞，“〞；那么是
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直线和圆相切的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进展判断即可．
【详解】解：假设直线与圆相切，
那么圆心〔0，0〕到直线的间隔d＝，
即，
即p是q的充要条件，
应选：C．
【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆相切的等价条件是解决此题的关键．
中，，假设在等差数列中，，那么等差数列的前项和
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵是等比数列，∴，∴，又是等差数列，∴，，∴，应选B．
，，，那么
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
观察角与所求角之间的关系得到α+＝〔+α〕﹣〔﹣〕，只要再求出另一个三角函数
值，利用两角差的余弦公式解答．
【详解】解：∵假设＜β＜0＜α＜，cos〔+α〕＝，cos〔﹣〕＝，
∴sin〔+α〕＝，sin〔﹣〕＝，
∴cos〔α+〕＝cos[〔+α〕﹣〔﹣〕]＝cos〔+α〕cos〔﹣〕+sin〔+α〕sin 〔﹣〕＝〕＝；
应选：A．
【点睛】此题考察了三角函数求值中角的等价变换以及两角和与差的三角函数公式的运用，此题关键是发现α+＝〔+α〕﹣〔﹣〕．
9.三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，假设该三棱锥的正视图如右图所示，那么该三棱锥的体积是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为，高为1的等腰三角形，棱锥的高为1，进而得到答案．
【详解】解：∵三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，
结合给定的三棱锥的正视图，
可得：三棱锥的底面是底为，高为1，
棱锥的高为1，
故棱锥的体积V＝×〔××1〕×1＝，
故答案为：B.
【点睛】此题考察的知识点是由三视图，求体积和外表积，根据的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
满足那么的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的斜率公式进展求解即可．
【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图，
的几何意义是区域内的点到原点的斜率，
由图象知OC的斜率最小，OB的斜率最大，
由，得，即B〔8，5〕，
此时OB斜率k＝，
由，得，即C〔8，﹣1〕，
此时OC斜率k＝，
那么的取值范围为，
故答案为：B.
【点睛】此题主要考察线性规划的应用，利用两点间的斜率公式以及数形结合是解决此题的关键．
上的偶函数满足，且时, ，那么函数
的零点个数是
A. 6个
B. 8个
C. 2个
D. 4个【答案】D
【解析】
【分析】
先根据奇偶性和周期性作出f(x)在R上的图象，再在同一个坐标系中作出的图象，根据两图像交点个数即可得出h(x)的零点个数。

【详解】解：∵定义在R上的偶函数f〔x〕满足f〔x+1〕＝﹣f〔x〕，
∴满足f〔x+2〕＝f〔x〕，
故函数的周期为2．
当x∈[0，1]时，f〔x〕＝x，
故当x∈[﹣1，0]时，f〔x〕＝-x．
函数h(x)＝f〔x〕﹣的零点的个数等于函数y＝f〔x〕的图象与函数y＝的图象的交点个数．
在同一个坐标系中画出函数y＝f〔x〕的图象与函数y＝的图象，如下图：
显然函数y＝f〔x〕的图象与函数y＝的图象有4个交点，
应选：D．
【点睛】此题考察了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想．
的左焦点，作圆的切线，切点为，直线交双曲线右支于点，假设，那么双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设右焦点为F′，由，可得E是PF的中点，利用O为FF'的中点，可得OE 为△PFF'的中位线，从而可求PF′、PF，再由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．
【详解】解：设右焦点为F′，
∵，
∴E是PF的中点，
∴PF′＝2OE＝a，
∴PF＝3a，
∵OE⊥PF，
∴PF′⊥PF，
∴〔3a〕2+a2＝4c2，
∴e＝＝，
应选：A．
【点睛】此题主要考察双曲线的HY方程，以及双曲线的简单性质的应用，考察双曲线的定义，考察运算求解才能，考察数形结合思想、化归与转化思想.
第二卷〔一共90分〕
二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕
的终边过点，那么的值是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得x＝4，y＝﹣3，r＝5，再由任意角的三角函数的定义可得，由诱导公式化简，代入即可求解．
【详解】解：∵角α的终边过点P〔4，﹣3〕，那么x＝4，y＝﹣3，r＝5，，。

【点睛】此题主要考察任意角的三角函数的定义，两点间的间隔公式的应用，属于根底题．的顶点为，那么函数的单调递减区间为
________________.
【答案】
【解析】
【分析】
由二次函数顶点式可得a,b的值，代入g(x)，转化为求复合函数的单调区间的问题，注意需保证真数大于零。

【详解】解：，二次函数顶点坐标〔2，-3〕，所以a=2,b=-3.
那么，
因为在单调递增，复合函数单调递减，只需求的减区间，结合一元二次函数图象可得，为。

【点睛】此题考察对数函数与二次函数的复合函数的单调性问题，需要注意保证真数为正。

中，角的对边分别为，假设，，那么的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先由正弦定理化简可得 ,再由和正弦定理把边化角，利用化一公式即可求出的取值范围。

【详解】解：在中，由正弦定理可得:
又
又因为为锐角三角形，
,
【点睛】此题考察正弦定理，锐角三角形求角的范围，以及化一公式的应用。

16.是两个平面，是两条直线，有以下四个命题：
(1)假如，那么.
(2)假如，那么.
(3)假如，那么.
(4)假如，那么与所成的角和与所成的角相等．
其中正确的命题有________．(填写上所有正确命题的编号)
【答案】(2)(4)
【解析】
对于〔1〕假如，可能，故〔1〕错误；对于〔2〕假如，那么存在直线，使，由，可得，那么，故正确；对于〔3〕与无任何关系，故〔3〕错误；对于〔4〕假如，根据线面角的定义可得，与所成的角和，
与所成的角均相等，故〔4〕正确；故答案为(2)(4).
三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤
的前项和记为，且
〔Ⅰ〕求通项；
〔Ⅱ〕假设，求.
【答案】〔Ⅰ〕
〔Ⅱ〕
【解析】
本试题主要是考出了等差数列的前n项和的运用，以及通项公式的求解。

〔1〕先分析用根本首项和公差表示，联立方程组得到结论。

〔2〕根据前n项和公式和通项公式得到n的值。

18.对一的高二年级学生参加社区效劳次数进展统计,随机抽取名学生作为样本,得到这
名学生参加社区效劳的次数；据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下: 分组频数频率
10
24
2
合计 1
(Ⅰ) 求出表中及图中的值;
(Ⅱ) 假设该校高二学生有240人,试估计该校高二学生参加社区效劳的次数在区间
内的人数;
(Ⅲ) 在所取样本中,从参加社区效劳的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区效劳次数在区间内的概率.
【答案】〔1〕；〔2〕60；〔3〕
【解析】
【分析】
〔1〕根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值；〔2〕根据该校高三学生有240人，分组[10，15〕内的频率是，估计该校高三学生参加社区效劳的次数在此区间内的人数为60人；〔3〕这个样本参加社区效劳的次数不少于20次的学生一共有m+2＝6人，设出在区间[20，25〕内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30〕内的人为b1，b2，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率．
【详解】〔1〕由分组[10，15〕内的频数是10，频率是知，，
∴M＝40．
∵频数之和为40，
∴10+24+m+2＝40，m＝4.．
∵a是对应分组[15，20〕的频率与组距的商，
∴
〔2〕因为该校高三学生有240人，分组[10，15〕内的频率是0.25，
∴估计该校高三学生参加社区效劳的次数在此区间内的人数为60人．
〔3〕这个样本参加社区效劳的次数不少于20次的学生一共有m+2＝6人，
设在区间[20，25〕内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30〕内的人为b1，b2．
那么任选2人一共有〔a1，a2〕，〔a1，a3〕，〔a1，a4〕，〔a1，b1〕，〔a1，b2〕，〔a2，a3〕，〔a2，a4〕，〔a2，b1〕，〔a2，b2〕，〔a3，a4〕，〔a3，b1〕，〔a3，b2〕，〔a4，b1〕，〔a4，b2〕，〔b1，b2〕15种情况，
而两人都在[25，30〕内只能是〔b1，b2〕一种，
∴所求概率为．
【点睛】此题考察频率分步直方图，考察用样本估计总体，考察等可能事件的概率，考察频率，频数和样本容量之间的关系，考察了古典概型，此题是一个根底题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.
19.如图，在四棱锥中，,，为棱的中点，.
〔1〕证明：平面；
〔2〕假设二面角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】〔1〕见解析〔2〕
【解析】
试题分析：〔1〕由条件得，，再根据线面垂直断定定理得平面；〔2〕利用空间向量研究线面角,先根据条件建立空间直角坐标系,设列各点坐标,利用方程组求平面一个法向量,再利用向量数量积求直线方向向量与法向量夹角余弦值,最后根据线面角与向量夹角互余关系确定直线与平面所成角的正弦值.
试题解析：〔1〕证明：由，，
又，即，
且，
∴平面.
〔2〕∵平面，∴为二面角的平面角，从而.
如下图，在平面内，作，以为原点，分别以所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系，
设，那么，
∴.
设平面的法向量，
那么，取，那么.
设直线与平面所成角为,
那么 .
∴直线与平面所成角的正弦值为.
的椭圆的一个焦点为，．
〔Ⅰ〕求椭圆的方程；
〔Ⅱ〕设过原点且与坐标轴不垂直的直线与曲线交于两点，且点，求面积的最大值．
【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕根据即可求出椭圆方程。

〔Ⅱ〕由题意知，直线斜率存在，设出直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理和弦长公式，求出的值，再利用点到直线间隔，求出三角形的高，即可写出面积的表达式，对参数k讨论求出面积最大值。

【详解】〔Ⅰ〕根据题意得，∴.
∴. 故椭圆的方程为.
〔Ⅱ〕根据题意：设直线的方程为，
由得。

设
∴，，
∴
.
又∵点到直线的间隔，
∴，
，
①当时，；
②当时，
……11分综上所述，的面积的最大值为．
【点睛】此题主要考察直线与椭圆的位置关系，考察数形结合的思想，运算求解的才能。

的图像在处的切线方程为．
〔Ⅰ〕求的单调区间；
〔Ⅱ〕当时,恒成立,务实数的取值范围.
【答案】〔Ⅰ〕在上为减函数，在上为增函数；〔Ⅱ〕.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕对f(x)求导，利用切线斜率以及切点坐标建立方程组求出a、b,代入导数式对其正负进展讨论即可求出单调区间。

〔Ⅱ〕恒成立，即对恒成立，构造函数，确定函数单调性，求出最小值，即可确定m的值。

【详解】〔Ⅰ〕∵的定义域为，∴,
∵在处的切线方程为，
∴
∴,∴
当时，，当时，，
∴在上为减函数，在上为增函数，
〔Ⅱ〕∵当时,恒成立，
∴对恒成立
即对恒成立
设，∴即可
∴
∴当时，，当时，，
∴在上单调递减, 在上单调递增,
∴，∴
∴的取值范围是.
【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性，导数的几何意义，切线的方程等，侧重考察运算才能。

中，直线过点，且倾斜角为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆的圆心的极坐标为。

〔Ⅰ〕写出直线的参数方程和圆的极坐标方程；
〔Ⅱ〕试断定直线和圆的位置关系.
【答案】〔Ⅰ〕 (t为参数) ，；〔Ⅱ〕直线和圆相离.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕利用直线l过点P〔1，﹣5〕，且倾斜角为，即可写出直线l的参数方程；求得圆心坐标，可得圆的直角坐标方程，利用，可得圆的极坐标方程为ρ＝8sinθ；〔Ⅱ〕求出直线l的普通方程，可得圆心到直线的间隔，与半径比拟，可得结论．
【详解】〔Ⅰ〕根据题意：直线的参数方程是，〔为参数〕, ∵半径为4的圆的圆心的极坐标为，
∴圆心直角坐标为, ∴圆的直角坐标方程为,
由得圆的极坐标方程是.
〔Ⅱ〕∵圆心的直角坐标是，直线的普通方程是，∴ 圆心到直线的间隔，
∴直线和圆相离.
【点睛】此题考察直线的参数方程，考察圆的极坐标方程，考察直线与圆的位置关系，考察学生的计算才能.
创作人：历恰面日期：2020年1月1日。