华师版九年级下册数学第26章 二次函数 全章高频考点专训

4 【中考·乐山】已知关于x的一元二次方程mx2＋(1 －5m)x－5＝0(m≠0).
(1)求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个 实数根；
证明：∵Δ＝(1－5m)2－4m×(－5) ＝1＋25m2－10m＋20m ＝25m2＋10m＋1＝(5m＋1)2≥0， ∴无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根．
10 【2020·菏泽】一次函数y＝acx＋b与二次函数y＝ax2＋ bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) B
11 【2020·南充】关于二次函数 y＝ax2－4ax－5(a≠0)的三 个结论：①对任意实数 m，都有 x1＝2＋m 与 x2＝2－m 对应的函数值相等；②若 3≤x≤4，对应的 y 的整数值有 4 个，则－43＜a≤－1 或 1≤a＜43；③若抛物线与 x 轴交 于不同两点 A，B，且 AB≤6，则 a＜－54或 a≥1.其中正 确的结论是( D ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
解：由题意知周销售利润W＝(－3x＋300)(x－a)，把x ＝40，W＝3600代入可得3600＝(－3×40＋300)(40 －a)，解得a＝20.∴W＝(－3x＋300)(x－20)＝－3x2 ＋360x－6000＝－3(x－60)2＋4800.∴x＝60时，周 销售利润W最大，最大周销售利润为4800元．
(2)若抛物线y＝mx2＋(1－5m)x－5与x轴交于A(x1，0)， B(x2，0)两点，且|x1－x2|＝6，求m的值；
解：解方程 mx2＋(1－5m)x－5＝0， 得 x＝－m1 或 x＝5， 由|x1－x2|＝6，得－m1 －5＝6， 解得 m＝1 或 m＝－111.
(3)若m＞0，点P(a，b)与Q(a＋n，b)在(2)中的抛物线上 (点P，Q不重合)，求代数式4a2－n2＋8n的值.
0 0
销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数．其售价、周
销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表：
售价x(元/件) 50 60 80 注：周销周售销利售润＝量周y销( 售1量0×0 (售8价0－进4价0).
件) 周销售利润 1 1 1
w(元) 000 600 600
(1)①求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值 范围)；
解：如图，过点A作x轴的垂 线，垂足为D(2，0)，连结CD， 过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴， 垂足分别为点E、F.
S△OAD＝12OD·AD＝12×2×4＝4； S△ACD＝12AD·CE＝12×4×(x－2)＝2x－4； S△BCD＝12BD·CF＝12×4×－12x2＋3x＝－x2＋6x.
【点拨】 由图象知，抛物线与 x 轴有两个不同的交点， ∴b2－4ac＞0，故①正确． 由图象知，抛物线开口方向向下，对称轴为直线 x
＝2，∴a＜0，－2ba＝2， ∴b＞0，而抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， ∴c＞0，∴abc＜0，故②正确．
∵－2ba＝2， ∴b＝－4a，4a＋b＝0，故③正确． 由图象知，当 x＝－2 时，y＜0， ∴4a－2b＋c＜0，故④错误． 故正确的结论有 3 个． 故选 B.
则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋2x－4－x2＋6x＝ －x2＋8x， ∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2＜x＜6)． ∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16， ∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最 大值为16.
12 【中考·安徽】如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过 点A(2，4)与B(6，0).
(1)求a、b的值；
解：将点 A(2，4)与 B(6，0)的坐标分别代入 y＝
ax2＋bx 中，得43a6＋a＋2b6＝b＝4，0.
解得a＝－12， b＝3.
(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横 坐标为x(2＜x＜6)，写出四边形OACB的面积S关于点 C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值.
2 【2020·德州】二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如 图所示，则下列选项错误的是( ) D A.若(－2，y1)，(5，y2)是函数图象上的两点，则y1＞y2 B.3a＋c＝0 C.方程ax2＋bx＋c＝－2有两个 不相等的实数根
D.当x≥0时，y随x的增大而减小
3 【2020·常德】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如 图所示，下列结论： ①b2－4ac＞0；②abc＜0； ③4a＋b＝0；④4a－2b＋c＞0. 其中正确结论的个数是( ) A．4B．3C．2D．1 B
(2)如果小华站在点O，D之间，且离点O的距离为3m， 当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小 华的身高；
解：把x＝3代入y＝－0.1x2＋0.6x＋0.9， 得y＝－0.1×32＋0.6×3＋0.9＝1.8. 即小华的身高是1.8m.
(3)如果身高为1.4m的小丽站在点O，D之间，且离点O的 距离为tm，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合 图象，直接写出t的取值范围.
(2)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(m＞0)，物 价部门规定该商品售价不得超过65元/件．该商店在今 后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关 系．若周销售利润最大是1400元，求m的值.
解：依题意有 w＝(－2x＋200)(x－40－m) ＝－2x2＋(2m＋280)x－8 000－200m ＝－2x－m＋21402＋12m2－60m＋1 800. ∵m＞0，且对称轴为直线 x＝m＋2140，∴m＋2140＞70. ∵－2＜0，∴抛物线开口向下． ∵x≤65，∴w 随 x 的增大而增大． ∴当 x＝65 时，w 有最大值(－2×65＋200)(65－40－m)， ∴(－2×65＋200)(65－40－m)＝1 400，∴m＝5.
解：由(2)得，当 m＞0 时，m＝1， 此时抛物线的表达式为 y＝x2－4x－5，其对称轴为直 线 x＝2，由题易知，点 P、Q 关于直线 x＝2 对称， ∴a＋a2＋n＝2，即 2a＝4－n， ∴4a2－n2＋8n＝(4－n)2－n2＋8n＝16.
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6 某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周
(1)求该抛物线对应的函数表达式(不考虑自变量的取值范 围)；
解：由题意得点 E(1，1.4)，B(6，0.9)均在抛物线上， 将它们的坐标分别代入 y＝ax2＋bx＋0.9， 得a36＋a＋b＋6b0＋.9＝0.91＝.4，0.9.解得ab＝＝－0.60..1， ∴所求的抛物线对应的函数表达式是 y＝－0.1x2＋0.6x＋0.9.
解：设3年内每年的平均收益为z万元，根据题意，得 z ＝ 7.5x － (0.9x ＋ 0.3x2 ＋ 0.3x) ＝ － 0.3x2 ＋ 6.3x ＝ － 0.3(x－10.5)2＋33.075. ∴并不是修建大棚面积越大收益就越大，当修建面积 为10.5公顷时可以获得最大收益．
建议：(答案不唯一)当大棚面积超过10.5公顷时，扩 大面积会使收益下降，修建面积不宜盲目扩大．
解：设 y 关于 x 的函数关系式为 y＝kx＋b， 依题意有5600kk＋＋bb＝＝18000，，解得kb＝＝－2020，， ∴y 关于 x 的函数关系式为 y＝－2x＋200.
②该商品进价是____4_0___元/件；当售价是____7_0___元 /件时，周销售利润最大，最大利润是__1_8_0_0___元.
6 跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩 绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距(A与B间的水平 距离)为6m，到地面的距离AO和BD均为0.9m，身 高为1.4m的小丽站在距点O的水平距离为1m的点F 处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点 O为原点建立如图所示的平 面直角坐标系，设此抛物线 对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋0.9.
华师版九年级
第26章二次函数
全章高频考点专训
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答案呈现
1 已知函数y＝(m＋3)xm2＋4m－3＋5是关于x的二次函数. (1)求m的值；
解：根据题意，得 mm2＋＋34≠m0.－3＝2，解得mm＝≠－－35. 或1， ∴m＝－5 或 m＝1.
解：1＜t＜5.
2 1 【2021·荆门】某公司电商平台，在2021年五一长假期 0 0 间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某
种商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函
数，下表仅列出了该商品的售价x、周销售量y、周销
售利润W(元)的三组对应值数据.
x 40 70 90
y 180 90 30
(1)某基地的菜农共修建大棚x公顷，当年收益(扣除修建 和种植成本后)为y万元，写出y关于x的函数表达式.
解：y＝7.5x－(2.7x＋0.9x2＋0.3x)＝ －0.9x2＋4.5x.
(2)除种子、化肥、农药投资只能当年使用外，其他设施3 年内不需要增加投资仍可继续使用．如果按3年计算收益？请帮助工作组为 基地修建大棚提一条合理化的建议.
(3)因疫情期间，该商品进价提高了m(元/件)(m＞0)，公 司为回馈消费者，规定该商品售价不得超过55元/件， 且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足 (1)中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求 m的值.
解：由题意得 W＝－3(x－100)(x－20－m)(20＋ m≤x≤55)，其图象的对称轴为直线 x＝60＋m2 ＞60. ∵－3＜0， ∴20＋m≤x≤55 时，W 的值随 x 的增大而增大． ∴当 x＝55 时，周销售利润最大． ∴4 050＝－3×(55－100)×(55－20－m)， 解得 m＝5.
∴直线 AD 的表达式为 y＝12x＋1. ∵抛物线对称轴为直线 x＝－2ba＝12， 将 x＝12代入 y＝12x＋1，得 y＝54， ∴点 P 的坐标为12，54.
9 【2021•北京二中期中】某市“建立社会主义新农村” 工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种 植蔬菜．通过调查得知平均修建每公顷大棚要用支架、 农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备的费用(万元)与 大棚面积(公顷)的平方成正比，比例系数为0.9；另外 种 植 每 公 顷 蔬 菜 需 种 子 、 化 肥 、 农 药 等 开 支 0.3 万 元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元.
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W
4 500 2 100
(1)求y关于x的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围).
解：设 y＝kx＋b，由题意得4700kk＋＋bb＝＝19800，， 解得kb＝＝－3003.， ∴y 关于 x 的函数表达式为 y＝－3x＋300.
(2)若该商品进价为a(元/件)，售价x为多少时，周销售利 润W最大？并求出此时的最大周销售利润.
(2)当m为何值时，该函数图象的开口向上？
解：∵该函数图象的开口向上， ∴m＋3>0.∴m>－3. ∴m＝1. ∴当m＝1时，该函数图象的开口向上．
(3)当m为何值时，该函数有最大值？
解 ： ∵ 该 函 数 有 最 大 值 ， ∴ m ＋ 3<0 ， ∴m<－3.∴m＝－5. ∴当m＝－5时，该函数有最大值．
8 如图，抛物线 y＝－12x2＋12x＋3 与 x 轴交于 A，B 两点， 与 y 轴交于点 C，点 D(2，2)是抛物线上一点，那么在 抛物线的对称轴上，是否存在一点 P， 使得△BDP 的周长最小？若存在，请求 出点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由.
解：存在．求解如下． 令 y＝－12x2＋12x＋3＝0，解得 x1＝3，x2＝－2.∴A 点 坐标为(－2，0)．连结 AD，交对称轴于点 P，则 P 为 所求的点．设直线 AD 的表达式为 y＝kx＋t，将点 A， D 坐标代入，得－2k＋2k＋t＝t＝2. 0，解得kt＝＝112.，