宜兴市洋溪中学九年级数学下册第二单元《相似》测试(有答案解析)

一、选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90⁰
，
3
4 BC
AB
=
，D是AB边上一点，过D作DE⊥AB交AC
于点E，过D作DF∥AC交BC于点F，连接BE交DF于H．若DH=DE，则DEH
FBH
S
S
∆
∆
为（）A．
2
3
B．
3
4
C．
4
9
D．
9
16
2．如图，在ABC中，//
DE BC，6
AD=，3
DB=，4
AE=，则AC的长为（）
A．1 B．2 C．4 D．6
3．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（）
A．∠A=∠D，∠B=∠F B．
BC AC
EF DF
=且∠B=∠D
C．
AB BC AC
DE EF DF
==D．
AB AC
DE DF
=且∠A=∠D
4．如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD＝BD，∠C＝70°，现给出以下四个结论：①∠A＝45°；②AC＝AB；③AE=BE；④2CE•AB＝BC2，其中正．确．结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm，光源到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中的图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为（）
A．21cm B．14cm C．6cm D．24cm
6．如图，地面上点A处有一只兔子，距它10米的B处有一根高1.6米的木桩，大树、木桩和兔子刚好在一条直线上．一只老鹰在9.6米高的树顶上刚好看见兔子，则大树C离木桩B( )米．
A．60 B．50 C．40 D．45
7．△ABC与△DBC如图放置，已知，∠ABC＝∠BDC＝90°，∠A＝60°，BD＝CD＝22，将△ABC沿BC方向平移至△A'B'C'位置，使得A'C边恰好经过点D，则平移的距离是（）
A．1 B．22﹣2 C．23﹣2 D．26﹣4
8．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩
形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么AD
AB
等于（）
A ．2
B ．22
C ．512-
D ．2
9．下列相似图形不是位似图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 10．如图，已知在ABC ∆中，点D 、
E 分别是AB 和AC 的中点，BE 、CD 相交于点O ，若2DOE S ∆=，则BOC S ∆=（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
11．如图，四边形ABCD 是正方形，E 是BC 的中点，连接AE 与对角线BD 相交于点G ，连接CG 并延长，交AB 于点F ，连接DE 交CF 于点H ．以下结论：
①CDE BAE ∠=∠；②CF DE ⊥；③AF BF =；④22CE CH CF =⋅．其中正确结论的个数有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接AE 交BD 于点F ，若1OF =，则BD 的长为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
二、填空题
13．如图，////AB GH CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，2AB =，3CD =，则GH 的长为 ．
14．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，P 是BC 边上一动点（不与B ，C 重合），DE AP ⊥于E ．若PA x =，DE y =，则y 关于x 的函数解析式为_____．
15．贺哲同学的身高1.86米，影子长3米，同一时刻金老师的影子长2.7米，则金老师的身高为________米（结果保留两位小数）。

16．如图，在ABC 中，点D 是线段BC 的黄金分割点（DC BD >），若ABD △的面积是252-，则ABC 的面积是_______．
17．如图，Rt △ABC 中，AC ＝5，BC ＝12，O 为BC 上一点，⊙O 分别与边AB 、AC 切于E 、C ，则⊙O 半径是________．
18．如果23a c b d ==，其中20b d +≠，那么22a c b d +=+________． 19．如图，P 为△ABC 的重心，连结AB 并延长BC 于点D ，过点P 作EF ∥BC 分别交AB ，AB 于点E ，F ．若△ABC 的面积为36，则△AEF 的面积为____．
20．在ABC 中，D 为AB 边上一点，且BCD A ∠=∠.已知22BC =，3AB =，BD =__________．
三、解答题
21．已知，如图1在矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，点E 是线段AB 上的动点，连接CE ，作FC CE ⊥，交AD 的延长线于点F ，连接EF 交CD 于G ，设BE m =． （1）求证：FDC EBC ∽△△．
（2）若EGC 是等腰三角形，求m 的值．
（3）取EF 的中点O ，连接OA ，若//OA CE ，求CEF △的面积．
（4）如图2作AEF 的外接圆，点A 关于EF 的对称点A '落在圆上，当A '恰好落在CEB △内部（不包括边界），直接写出m 的取值范围______．
22．如果一条线段可以将一个三角形分成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个三角形与原三角形相似，我们把这样的三角形叫做完美三角形，这条线段叫做这个完美三角形的完美分割线．
（1）根据完美三角形的定义，老陆、栋栋、勇士分别提出如下命题：
①等腰直角三角形是完美三角形；
②含30°的直角三角形是完美三角形；
③等边三角形不是完美三角形．
在上述三个命题中，是真命题的为______．（填序号）
（2）如图1，在ABC 中，CD 为角平分线，40A ∠=︒，60B ∠=︒．
求证：CD 为ABC 的完美分割线．
（3）如图2，在ABC 中，5AB =，6BC =，4AC =．
求证：ABC 是完美三角形．
23．如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AB 上，且60ADE ∠=︒． 求证：ADC ∽DEB ．
24．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABC 的三个顶点坐标分别为()3,1A -，()1,1B -，()0,3C ．
（1）画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；
（2）画出ABC 以点O 为位似中心的位似图形222A B C △，ABC 与222A B C △的位似比为1:2（画一个即可） ．
25．如图，直线EF 与⊙O 相切于点C ，点A 为⊙O 上异于点C 的一动点，⊙O 的半径为
4，AB ⊥EF 于点B ，设∠ACF ＝α（0°＜α＜180°）．
（1）如图1，若α＝45°，求证：四边形OCBA 为正方形；
（2）当AC ＝4时，求α的度数．
（3）若AC －AB ＝1，求AC 的长．
26．将ABC 绕点A 逆时针方向旋转θ，并使各边长变为原来的n 倍，得到AB C ''△，我们将这种变换记为[],n θ．
（1）问题发现
如图①，对ABC 作变换603⎡⎤︒⎣⎦得AB C ''△，则:AB C ABC S S ''=△△______；直线
BC 与直线B C ''所夹的锐角度数为______．
（2）拓展探究
如图②，ABC 中，35BAC ∠=︒且:2AB AC =，连结BB '，CC '．对ABC 作变换603⎡︒⎣得AB C ''△，求:ABB ACC S S ''△△的值及直线BB '与直线CC '相交所成的较小
角的度数，并就图②的情形说明理由．
（3）问题解决
如图③，ABC 中，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒，对ABC 作变换[],n θ得AB C ''△，使点B 、C 、C '在同一直线上，且四边形ABB C ''为矩形，请直接写出n 的值．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
易证DE ∥BC ，可得
34BC DE AB AD ==，因为DH=DE ，得35DE DH AE AE ==，又因为DF ∥AC ，所以
35BH DH BE AE ==，所以32BH HE =，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得．
【详解】
∵DE ⊥AB ，
∴∠ADE=90°，
∵∠B=90°，
∴∠ADE=∠B ，
∴DE ∥BC ∴
34BC DE AB AD ==，△DEH ∽△FBH ∴35
DE AE = 又∵DH=DE ∴
35
DE DH AE AE == ∵DF ∥AC ∴35
BH DH BE AE == ∴32
BH HE = ∴4=9DEH FBH S S ∆∆ 故选C
【点睛】
本题考查相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
2．D
解析：D
【分析】
根据平行线分线段成比例求出EC ，即可解答．
【详解】
解：∵DE ∥BC ， ∴AD AE DB EC =，即643EC
=，
解得：EC=2，
∴AC=AE+EC=4+2=6；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理． 3．B
解析：B
【分析】
直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．
【详解】
解：A 、A D ∠=∠，B F ∠=∠，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出ABC DFE ∽△△，故此选项不合题意；
B 、B
C AC EF DF
=，且B D ∠=∠，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意； C 、AB BC AC DE EF DF
==，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出ABC DEF ∽△△，故此选项不合题意；
D 、AB AC D
E DF
=且A D ∠=∠，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可以得出ABC DEF ∽△△，故此选项不合题意；
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 4．B
解析：B
【分析】
连结AD 、BE ，DE ，如图，根据圆周角定理得∠ADB=90°，则AD ⊥BC ，加上CD=BD ，根据等腰三角形的判定即可得到AC ＝AB ；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠BAC=40°；由AB 为直径得到∠AEB=90°，则∠ABE=50°，根据圆周角定理可判断AE BE ≠；接着证明△CED ∽△CBA ，利用相似比得到
CD CE AC BC
=，然后利用等线段代换即可判断④．
【详解】
解：连接AD ，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵CD=BD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AC=AB，故②正确；
∵AC=AB，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠BAC=40°，故①错误；
连接BE，DE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠BAC=40°，
∴∠ABE=50°，
∴∠BAC≠∠ABE，
∴AE≠BE，
∴AE BE
≠，故③错误；
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠CDE=∠CAB，
∴△CDE∽△CAB，
∴CD CE
=，
AC BC
∴CE•AC=CD·BC，
∴CE•AB=1
BC·BC，
2
∴2CE•AB＝BC2，故④正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．
5．A
解析：A
【分析】
根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答即可．
【详解】
解：如图所示，∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴AE DE
AC BC
=，
设屏幕上的图形高是x cm，则307 90x
=，
解得：x=21．
答：屏幕上图形的高度为21cm，
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
6．B
解析：B
【分析】
如图，证明△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质列式求解即可．
【详解】
解：如图，
根据题意得，△ABE∽△ACD，
∴AB BE
AC CD
=
∵AB=10m，BE=1.6m，CD=9.6m
∴10 1.6
=
9.6
AC
∴AC=60m
∴BC=AC-AB=60-10=50m
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 7．C
解析：C
【分析】
过点D 作DJ ⊥BC 于J ，根据勾股定理求出BC ，利用等腰直角三角形的性质求出DJ 、BJ 、JC ，利用平行线分线段成比例定理求出JC′即可解决问题．
【详解】
解：过点D 作DJ ⊥BC 于J ．
∵DB ＝DC ＝2，∠BDC ＝90°，
∴BC ()()222222+4，DJ ＝BJ ＝JC ＝2，
∵∠ABC ＝90°，∠A ＝60°，
∴∠ACB ＝30°，
∴AC=2AB ，
∵AB 2+42=(2AB)2，
∴A′B′=AB ＝433， ∵DJ//A′B′，
∴DJ A B ''＝C J C B
'''， ∴434C J '， ∴C′J ＝3
∴JB′＝4﹣3
∴BB′＝2﹣(4﹣3＝3﹣2.
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平移的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及平行线分线段成比例定理． 8．A
解析：A
【分析】
首先根据相似的性质，可得对应边成比例，即为AD AB AB BF =，又根据12
BF AD =，可得出
2212
AD AB =，据此进行求解即可． 【详解】
∵各种开本的矩形都相似，
∴矩形ABCD 与矩形BFEA 相似， ∴AD AB AB BF
=， ∴AD•BF=AB•AB ，
又∵12BF AD =
， ∴
2212AD AB =，
∴AD AB
=， 故选A ．
【点睛】
本题考查了相似多边形的的性质，相似多边形对应边之比等于相似比，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
根据位似变换的概念判断即可．
【详解】
解：D 中两个图形，对应边不互相平行，不是位似图形，
A 、
B 、
C 中的图形符合位似变换的定义，是位似图形，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
10．C
解析：C
【分析】
根据三角形中位线定理得到DE=
12
BC ，DE ∥BC ，得到△DOE ∽△COB ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】 ∵D 、E 分别是AB 和AC 的中点，
∴12
DE BC =
，//DE BC ， ∴DOE COB ∆∆∽， ∴2DOE COB S DE S BC ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即BOC
214S ∆=， 解得，8BOC S ∆=，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
11．D
解析：D
【分析】
证明△ABE ≌△DCE ，可得结论①正确；由正方形的性质可得AB=AD=BC=CD ，BE=CE ，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，可证△ABE ≌△DCE ，△ABG ≌△CBG ，可得∠BCF=∠CDE ，由余角的性质可得结论②；证明△DCE ≌△CBF 可得结论③，证明△CHF ∽△CBF 即可得结论④正确．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 的中点，
∴AB=AD=BC=CD ，BE=CE ，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
∴△ABE ≌△DCE （SAS ）
∴∠DEC=∠AEB ，∠BAE=∠CDE ，DE=AE ，故①正确，
∵AB=BC ，∠ABG=∠CBG ，BG=BG ，
∴△ABG ≌△CBG （SAS ）
∴∠BAE=∠BCF ，
∴∠BCF=∠CDE ，且∠CDE+∠CED=90°，
∴∠BCF+∠CED=90°，
∴∠CHE=90°，
∴CF ⊥DE ，故②正确，
∵∠CDE=∠BCF ，DC=BC ，∠DCE=∠CBF=90°，
∴△DCE ≌△CBF （ASA ），
∴CE=BF ，
∵CE=
12BC=12AB ， ∴BF=12
AB ， ∴AF=BF ，故③正确，
∵∠BCF+∠BFC=90°，∠DEC=∠BFC
∴∠BCF+∠DECC=90°，
∴∠CHE=90°
∴∠CHE=∠FBC
又∠DEC=∠BFC
∴△CHF ∽△CBF ∴
CH CE BC CF
= ∵BC=2CE ， ∴2BC CE CE CE CH CF CF
== ∴22CE CH CF =⋅
故选：D ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
根据平行四边形的性质知AD=2BE ，BC ∥AD ，BO=OD ，设BF=a ，得DF=a+2，由BC ∥AD 知△BEF ∽△DAF ，据此得
=BF DF 12
=BE DA ,得出BF 的长，从而得出BD 的长． 【详解】
解：∵点E 是BC 中点，
∴BC=2BE ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC=AD ，BC ∥AD ，BO=OD ，
∴AD=2BE ，
设BF=a ，
∵OF=1，
∴BO=DO=a+1，
则DF=a+2，
∵BC ∥AD
∴△BEF ∽△DAF ， 12∴
==BF BE DF DA ∴1,22
=+a a 解得a=2，
经检验a=2是原方程的解
∴BF=2，
∴BO=DO=3，
∴BD=6
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质．
二、填空题
13．【分析】根据平行线分线段成比例定理由AB ∥GH 得出由GH ∥CD 得出将两个式子相加即可求出GH 的长【详解】解：即①即②①②得解得故答案为：【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理熟练运用等式的性质进行 解析：65
【分析】
根据平行线分线段成比例定理，由AB ∥GH ，得出GH CH AB BC
=，由GH ∥CD ，得出3GH BH BC
=，将两个式子相加，即可求出GH 的长． 【详解】
解：//AB GH ，
GH CH AB BC
∴=， 即2GH CH BC
=①， //GH CD ，
GH BH CD BC
∴=， 即3GH BH BC
=②， ①+②， 得23GH GH CH BH BC BC
+=+， CH BH BC +=，
123
GH GH ∴
+=， 解得65
GH =． 故答案为：65
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．本题难度适中． 14．【分析】根据正方形的性质以及DE ⊥AP 即可判定△ADE ∽△PAB 根据相似三角形的性质即可列出y 与x 之间的关系式需要注意的是x 的范围【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形∴∠BAD ＝∠ABC ＝90°∴∠
解析：(164y x x =
<< 【分析】
根据正方形的性质以及DE ⊥AP 即可判定△ADE ∽△PAB ，根据相似三角形的性质即可列出y 与x 之间的关系式，需要注意的是x 的范围．
【详解】
解：∵四边形ABCD 为正方形，
∴∠BAD ＝∠ABC ＝90°，
∴∠EAD +∠BAP ＝90°，
∠BAP +∠APB ＝90°，
∴∠EAD ＝∠APB ，
又∵DE ⊥AP ，∠AED ＝∠B ＝90°，
∴△ADE ∽△PAB ． ∴=AD DE AP AB ，即4=4
y x
∴(164y x x
=<<．
故答案为：(164y x x =
<< 【点睛】 本题考查相似三角形，解题关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于中等题型．
15．167【分析】在同一时刻物高和影长成正比即在同一时刻的两个物体影子经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似【详解】解：根据相同时刻的物高与影长成比例设金老师的高度为xm 则解得x=167故答
解析：1.67
【分析】
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】
解：根据相同时刻的物高与影长成比例，设金老师的高度为xm ，
则
1.863
2.7
x =， 解得x=1.67． 故答案为：1.67．
【点睛】
本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力．
16．【分析】根据黄金分割的定义以及等高的两个三角形面积之比等于底之比即可求出的面积【详解】解：∵在中点是线段的黄金分割点（）∴∵的面积是∴的面积故答案为：【点睛】本题考查了黄金分割的概念也考查了三角形的
解析：2
【分析】
根据黄金分割的定义，以及等高的两个三角形面积之比等于底之比，即可求出ABC 的面积．
【详解】
解：∵在ABC 中，点D 是线段BC 的黄金分割点（DC BD >），
∴BD BC 1==： ∵ABD △的面积是2
∴ABC 的面积()
22==
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了黄金分割的概念，也考查了三角形的面积公式，解题的关键是正确理解黄金分割的概念．
17．【分析】连接EO 根据切线性质定理得OE ⊥AB 可得到△BEO ∽△BCA 根据相似三角形的性质可求出圆半径的长【详解】解：∵⊙O 分别与边ABAC 切于EC 连接OE 则OE ⊥ABBC ⊥AC ∴∠BEO=∠BCA 又 解析：103
【分析】
连接EO ，根据切线性质定理得OE ⊥AB ，可得到△BEO ∽△BCA ，根据相似三角形的性质，可求出圆半径的长．
【详解】
解：∵⊙O 分别与边AB 、AC 切于E 、C ，
连接OE ，则OE ⊥AB ，BC ⊥AC
∴∠BEO=∠BCA ，又∠B=∠B
∴△BEO ∽△BCA ∴=BO OE AB AC 又AC=5，BC=12，
∴AB=22AC BC +=13， 设圆的半径为r ，
∴12r r =135
－ ∴r=103
∴圆的半径是103
， 故答案为：103
．
【点睛】
此题考查了切线的性质及相似三角形的判定与性质，解题关键在于熟练掌握切线性质定理及相似三角形的性质与判定定理．
18．【分析】根据已知条件得出再根据b+2d≠0即可得出答案【详解】解：∵∴∵b+2d≠0∴；故答案为：【点睛】本题考查了比例的性质熟练掌握比例的性质是解题的关键
解析：23
【分析】
根据已知条件得出
2223a c b d ==，再根据b+2d≠0，即可得出答案． 【详解】
解：∵
23a c b d ==， ∴2223
a c
b d ==，
∵b+2d≠0， ∴2223
a c
b d +=+； 故答案为：
23． 【点睛】
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
19．16【分析】先根据重心性质得再证明最后根据相似三角形的性质求解即可
【详解】解：∵P 为△ABC 重心∴∵∴∴∴故答案为16【点睛】本题考查了三角形的重心的性质和相似三角形的判定与性质重心到顶点的距离与重 解析：16
【分析】 先根据重心性质得
223
AP AP PD AD ==，，再证明AEF ABC ∽，最后根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】
解：∵P 为△ABC 重心， ∴
223
AP AP PD AD ==， ∵//EF BC
∴AEF ABC ∽ ∴23
AE AF AB AC == ∴22()163
AEF ABC S S ==△△ 故答案为16．
【点睛】 本题考查了三角形的重心的性质和相似三角形的判定与性质，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答本题的关键．
20．【分析】证明得到对应线段成比例由此即可解决问题【详解】∵且∴∴又∵∴故填：【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法利用相似三角形的性质解决问题属于中考常考题型 解析：83
【分析】
证明C ABC BD ∽△△，得到对应线段成比例，由此即可解决问题．
【详解】
∵BCD A ∠=∠，且ABC CBD ∠=∠，
∴C ABC BD ∽△△， ∴
BC AB BD CB ==，
又∵BC = ∴83BD =
， 故填：83
． 【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）3m =；（3）30；（4）
744m << 【分析】
（1）由四边形ABCD 为矩形，易知FDC EBC ，△△为Rt △，由FC CE ⊥，得出∠FCD+∠DCD=90°，从而得出∠FCD=ECB ，有两个角相等证明相似．
（2）过点E 作EH ⊥CD ，由等腰三角形EGC 易知CH=BE=m ，AE=8-m ，由（1）得FDC EBC ∽△△，求出43
FD m =
．再由FAE EHG ∽△△找到对应边的比值列出等量关系，求出m 即可． （3）由平行边形的判定得出四边AOCE 为平行四边形，得出OA=CE ，在Rt △△AEF 中，由斜边的中线等于斜边的一半得出12OA EF OE =
=，由（2）中得出m=3，分别求出CE 、CF 的值即可求出CEF △的面积．
（4）有A 关于EF 对称点为A '，得出8AE EA m '==-，因为∠FAE=∠FCE=90°，所有由直径所对的圆周角为90°得出EF 为圆的直径，要使A '恰好落在CEB △内部得出EB EA EC '<<，解除关于m 的不等式即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=90°，
∵FC CE ⊥
∴∠FCD+∠DCD=90°
∴∠FCD=ECB
又∵∠FDC=∠B=90°
∴FDC EBC ∽△△
（2）过点E 作EH ⊥CD 交CD 于点H ，如图
∵EGC 是等腰三角形，
∴GH=HC
∵GE=m
∴HC=HG=m ，AE=8-m
∠AFE=∠GEH
∠A=∠DHE
∴FAE EHG ∽△△
∵FDC EBC ∽△△ ∴68BE m FD FD == ∴43
FD m = ∴FAE EHG ∽△△
∴GH HE AE AF
= ∴64863m m m =-+ 整理的()()1230m m +-=
112m =-（舍去），23m =
∴m 的值为3．
（3）
∵OA//CE ，OC//AE
∴四边AOCE 为平行四边形，OA=CE
∵O 为EF 的中点，△AEF 为直角三角形
∴12
OA EF OE ==
∴OE=CE ，△OEC 为等腰三角形
由（2）问可知，m=3
∴FD=4，22166445CF FD CD =+=+=
2293635CE BE CB =+=+=
∴13545302
CEF S ∆=⨯⨯= （4）
连接EA '
∵A 关于EF 对称点为A '，
∴8AE EA m '==-
∵∠FAE=∠FCE=90°
∴FE 为圆的直径
∴C 始终在圆上，要使A '落在CEB △内部
∴EB EA EC '<<
即2286m m m <-<+
解得：
744
m << 故答案为：744
m << 【点睛】 本题考查了相似三角形性质和判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理以及圆的相关知识，熟悉相关知识并能灵活运用是解题关键．
22．（1）①②③
（2）证明见解析．
（3）证明见解析．
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质和完美三角形判定即可求证①；根据含30°的直角三角形的性质、角平分线的性质、完美三角形判定即可求证②；根据等边三角形的性质和完美三角形判定即可求证③；
（2）由40A ∠=︒，60B ∠=︒．可得∠ACB ＝80°，继而判定△ABC 不是等腰三角形，△ACD 是等腰三角形，再由△BCD ∽△BAC 即可证明结论；
（3）作CAD B ∠=∠，易知△CAD ∽△CBA ，继而根据相似三角形的性质可得CD 、AD 的
长，继而判定△ABD 是等腰三角形，继而求证△ABC 是完美三角形．
【详解】
解：（1）①等腰直角三角形底边的中线将原三角形，分成两个等腰直角三角形，
CD ∴为等腰直角ACB △的完美分割线，
等腰直角ACB △是完美三角形，故①正确；
②在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，60CAB ∠=︒，
当AD 平分CAB ∠时，30CAD DAB B ∠=∠=∠=︒，
ACD BCA ∴∽，ADB △是等腰三角形，
AD ∴是直角ACB △的完美分割线，
∴含30°角的直角三角形是完美三角形，故②正确；
③一条线段不可能将等边三角形分成一个等边三角形和一个等腰三角形，
故等边三角形不可能是完美三角形，
故③正确，
∴真命题有①②③．
（2）
40A ∠=︒，60B ∠=︒，
80ACB ∴∠=︒
∴△ABC 不是等腰三角形，
∵CD 平分∠ACB ， 1402
ACD BCD ACB ∴∠=∠=∠=︒， 40ACD A ∴∠=∠=︒，
∴△ACD 为等腰三角形，
40DCB A ∠=∠=︒，CBD ABC ∠=∠，
∴△BCD ∽△BAC ，
CD ∴是△ABC 的完美分割线．
（3）作CAD B ∠=∠，
CAD B ∠=∠，C C ∠=∠，CAD CBA ∴
∽△△， CA CD AD CB CA AB
∴==， 4CA =，6CB =，5AB = 4645CD AD ==，83CD ∴=，103
AD =， 810633BD BC CD =-=-=， BD AD ∴=，
ABD ∴是等腰三角形，
AD ∴是ABC 的完美分割线，
ABC ∴是完美三角形．
【点睛】
本题考查新定义的理解，各类三角形的判断及性质，相似三角形的判定及其性质的应用，解题的关键是熟练运用所学知识点． 23．见解析
【分析】
根据ABC 是等边三角形，即可得到60B C ∠=∠=︒，再根据 CAD BDE ∠=∠，即可判定~ADC DEB △△．
【详解】
证明：∵
ABC 是等边三角形， ∴
60B C ∠=∠=︒， ∴
60ADB CAD C CAD ∠=∠+∠=∠+︒， ∵
60ADE ∠=︒， ∴60ADB BDE ∠=∠+︒，
∴CAD BDE ∠=∠，
∴ADC
DEB △△．
【点睛】
本题考察了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握三角形相似的判定条件． 24．（1）图见解析；（2）图见解析．
【分析】
（1）先画出点,,A B C 关于y 轴的对称点111,,A B C ，再顺次连接即可得；
（2）先根据位似中心、位似比得出点222,,A B C 的坐标，再画出点222,,A B C ，然后顺次
连接即可得．
【详解】
（1）先画出点,,A B C 关于y 轴的对称点111,,A B C ，再顺次连接即可得111A B C △，如图所示：
（2）()3,1A -，()1,1B -，()0,3C ，且位似比为1:2，
()()()22232,12,12,12,20,3A B C ∴⨯-⨯⨯--⨯⨯，
即()()()2226,2,2,0,62,C A B ---，
先画出点222,,A B C ，再顺次连接即可得222A B C △，如图所示：
【点睛】
本题考查了画轴对称图形和位似图形，熟练掌握轴对称图形和位似图形的画法是解题关键．
25．（1）见解析；（2）α的度数为30°或150°；（3）422AC =+或422-【分析】
（1）连接OA ，OC ，先证明△ABC 是等腰直角三角形，然后证明△OAC 是等腰直角三角形，可得四边形OCBA 是矩形，再根据OA ＝OC ，即可证明结论；
（2）连接OA ，OA ꞌ，可证明△A ꞌCO 与△ACO 是等边三角形，可得∠A ꞌCO ＝∠ACO ＝60°，根据在Rt △ACB 中，AC ＝4，AB ＝2，即可得出答案；
（3）连接CO 并延长，交⊙O 于D ，连接AD ，先证明△DCA ∽△CAB ，可得
DC AC AC AB
=，设AC ＝a ，则AB ＝a −1，根据⊙O 的半径为4，CD ＝8，可得出结论．
【详解】
（1）如图，连接OA ，OC ，
∵∠ACF＝α＝45°，AB⊥EF
∴△ABC是等腰直角三角形
∵EF与⊙O相切于C
∴∠OCB＝90°
∴∠OCA＝45°
∵OA＝OC
∴△OAC是等腰直角三角形
∴∠OCB＝∠CBA＝∠COA＝90°
∴四边形OCBA是矩形
∵OA＝OC
∴矩形OCBA是正方形；
（2）如图，当AC＝AꞌC＝4时，AB＝2，连接OA，OAꞌ，
则△AꞌCO与△ACO是等边三角形
∴∠AꞌCO＝∠ACO＝60°
在Rt△ACB中，AC＝4，AB＝2
∴∠ACB＝30°
∴∠AꞌCB＝150°
∴α的度数为30°或150°；
（3）如图2，连接CO并延长，交⊙O于D，连接AD
∵CD为⊙O的直径
∴∠DAC＝90°
∴∠D+∠DCA＝90°
∵∠DCA +∠ACB ＝90°
∴∠D ＝∠ACB
又∵∠DAC ＝∠ABC ＝90°
∴△DCA ∽△CAB ∴DC AC AC AB
= 设AC ＝a ，则AB ＝a −1
∵⊙O 的半径为4
∴CD ＝8 ∴81
a a a =-
解得：14a =+24a =- ∴
4AC =+或4-
【点睛】
本题考查了切线的性质定理，相似三角形的性质，正方形的判定，等边三角形的判定和性质等，掌握这些知识点是解题关键．
26．（1）3:1，60；（2）35︒，理由见解析；（3）2n =．
【分析】
（1）利用新定义得出[],n θ的意义，利用旋转的性质得到AB C ''△∽ABC ，且相似比
，60BAB '∠=︒，进而求出面积比，通过外角的性质得到DEB '∠即可求出直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数；
（2）利用新定义得出[],n θ的意义，得到::AB AB AC AC ''==35BAC B AC ''∠=∠=︒，进而可以得到BAB CAC ''∠=∠，下证BAB '△∽CAC '△，通过题中给的相似比即可求出面积之比，延长CC '交BB '于D ，通过DEB AEC ''∠=∠，BB A CC A ''∠=∠，可以证得DEB '△∽AEC '，从而得到C DB ''∠的度数，即可得直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数；
（3）由四边形ABB C ''为矩形，得到90BAC '∠=︒，进而求出CAC '∠的度数，利用含30角的直角三角形的性质即可得到AC AC
'的值，进而求出n 的值． 【详解】
解：（1）由题意可知：对ABC 作变换60⎡︒⎣得AB C ''△，
∴AB C ''△∽ABC ，60BAB '∠=︒，
∴B B '∠=∠，
∴()2
:3:1AB C ABC S S ''==， ADE B BAB '∠=∠+∠，ADE B DEB ''∠=∠+∠，
∴60DEB BAB ''∠=∠=︒，
即直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数为：60︒．
故答案为：3:1，60．
（2）根据题意得：::1:3AB AB AC AC ''==，35BAC B AC ''∠=∠=︒， ∴BAC B AC B AC B AC ''''∠+∠=∠+∠， ∴BAB CAC ''∠=∠，
∴BAB '△∽CAC '△，
∴相似比AB k AC
=，BB A CC A ''∠=∠， :2AB AC =，
∴()2:22ABB ACC S S ''==，
延长CC '交BB '于D ，如图，
设CC '交AB '于E ．
DEB AEC ''∠=∠，BB A CC A ''∠=∠，
∴DEB '△∽AEC '，
∴35C DB B AC ''''∠=∠=︒，
∴:2ABB ACC S S ''=△△，直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数为35︒． （3）四边形ABB C ''为矩形，
∴90BAC '∠=︒，
30BAC ∠=︒，
∴60CAC BAC BAC ''∠=∠-∠=︒，
90ACB ∠=︒，
∴90ACC '∠=︒，
在Rt ACC '△中，12
AC AC '=， ∴21
AC AC '=， ∴2AC n AC
'==， 即n 的值为2．
【点睛】
本题考查了图形的旋转，相似三角形的判定和性质，新定义运算，三角形的外角性质以及
θ的意义．含30角的直角三角形的性质，解题的关键是根据题意得出[],n。