上海名校市北数学-.2 分式方程的解的讨论+郑宇

22.2 分式方程的解的讨论
我们知道，在解分式方程的过程中，有可能产生增根.正因为如此，分式方程的根的情况与一元二次方程的根的情况有所不同.
例1 已知关于x 的方程
2
122
1232
a a x x x x ++=---+有增根，求a . 分析 若原方程有增根，那么这个增根一定是x =1或x =2.同时我们知道增根是原方程去分母后化为的整式
方程的根，而不是原分式方程的根，因此我们应该将增根代入原方程去分母后化为的整式方程，求出a 的值.
解 原方程去分母，得
()()2122x a x a -+-=+ ① 因为关于x 的方程
2
122
1232
a a x x x x ++=---+有增根， 所以，这个增根一定是x =1或x =2.
（1）若原方程有增根为x =1，则将x =1代入方程①，得()()121122a a -+-=+.解得32
a =-
. （2）若原方程有增根为x =2，则将x =2代入方程①，得()()222122a a -+-=+.解得2a =-.
所以，当32a =-
或2a =-时，关于x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根. 例2 若关于x 的方程221
11
x m x x x x --=+
--无实数根，求m 的取值. 分析 原方程无实数根，说明原分式方程去分母后化为的一元二次方程的实数根有两种情况.（1）这个一
元二次方程无实数根；（2）这个一元二次方程有实数根，但这些实数根都是原分式方程的增根.
解 原方程去分母后，整理得
220x x m -+-= ①
若原方程无实数根，则方程①无实数根；或者方程①有实数根，但方程①的实数根是原分式方程的增根.
（1）方程①无实数根，这种方程①的判别式的值小于零，即()=1420m ∆--<. 解得74
m <
. （2）方程①的实数根都是原方程的增根.
若原方程产生增根0x =，代入方程①，得20020m -+-=.解得2m =. 若原方程产生增根1x =，代入方程①，得21120m -+-=.解得2m =. 所以，当2m =时，方程①的根10x =，21x =都是增根，此时原方程无解.
综上所诉，当74m <
或2m =时，于x 的方程22111
x m x x x x --=+--无实数根. 例3 当a 取什么整数时，关于x 的方程()
2202
2x x x a x x
x x -+++=--只有一个实数根，并求此实数根. 分析 原分式方程只有一个实数根，说明原分式方程去分母后化为的一元二次方程的实数根有两种情况.
（1）这个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中有一个是原分式方程的增根；（2）这个一元二次方程有两个相等的实数根，且都不是原分式方程的增根.
解 原方程去分母后，整理得
22240x x a -++= ①
因为原方程恰有一个实数，所以，方程①有两个不相等的实数根，且其中有一个是原分式方程的增根；或者方程①有两个相等的实数根，且都不是原分式方程的增根. （1）方程①有两个不相等的实数根，且其中有一个是原分式方程的增根 若原方程产生增根0x =，代入方程①，得2202040a ⨯-⨯++=，解得4a =-. 把4a =-代入方程①，整理得20x x -=. 解得10x =，21x =.
经检验，0x =是增根，1x =是原方程的根. 所以当4a =-时，方程
()
22022x x x a
x x x x -+++=--只有一个实数根. 若原方程产生增根2x =，代入方程①，得2222240a ⨯-⨯++=，解得8a =-. 把8a =-代入方程①，整理得220x x --=.
解得12x =，21x =-. 经检验，2x =是增根，1x =-是原方程的根.
所以当8a =-时，方程
()
22022x x x a
x x x x -+++=--只有一个实数根. （2）方程①有两个相等的实数根，且都不是原分式方程的增根，则方程①的=0∆. 即()=44242880a a ∆-⨯⨯+=--=.解得7
2
a =-. 因为a 为整数，所以7
2
a =-
不合题意，舍去. 综上所诉，当4a =-时，原方程只有一个实数根，且这个实数根是1x =； 当8a =-时，原方程只有一个实数根，且这个实数根是1x =-；
由此，我们可以看出，对于分式方程的解的讨论，不仅要考虑分式方程去分母后的整式方程的根的情况，也要考虑原分式方程是否有增根的情况.
练习22.2
1. 当m 是什么数值时，分式方程()
3601
1x m x
x x x ++-=--有实数根？
2. 当a 取何值时，方程2
122212
x x x a
x x x x --++=-+--的解是负数？
3. 若关于x 的方程21
1422
k k x x x +=-
--+只有一个实数根，求k 的取值范围.
4. 已知关于x 的方程2225328312
x x a b
x a b x +++--=-+有一个增根，且a 、b 互为相反数，求a 、b 的值.
练习22.2答案 1. 3m ≠-且5m ≠
2. 5a <-且7a ≠-. 提示：去分母后解得52a x +=
，则502a x +=<，且522a x +=≠，5
12
a x +=≠- 3. 3k =、0、4. 提示：原方程去分母后，整理得
()2120x k x k +-+-= ①
（1）=0∆得()2
30k -=，解得3k =，此时方程①有根1x =-，且不是增根.
（2）当产生增根2x =时，代入方程①得0k =，此时另一个根为1x =-不是增根；当产生增根2x =-时，
代入方程①得4k =，此时一个根为1x =-不是增根.因此，3k =、0、4 4. 1a =-，1b =. 提示：原方程化为整式方程为
()()
()2
22
25328312x x a b x a b x +++-+=-+ ①
由于原方程有一增根，因此增根必为2x =-.把增根2x =-代入方程①得
81030a b -++=，即32a b +=.
又a 、b 互为相反数，则0a b +=. 解得1a =-，1b =
22.2 分式方程的解的讨论练习
练习22.2
1. 设关于x 的方程2
1212
x x a
x x x x +-=+-+-的根为正数，求a 的值.
2. 已知：关于x 的方程2
2
772120a a x x a x x ⎛⎫
+--++= ⎪⎝⎭
只有一个实数根，求a .
3. 已知方程(
)
()
2
2
2
22
1210x ax a a x a +-++-=+有实数根，求实数a 的取值范围.
4. 已知关于x 的方程()()()()
111122
2
a b a b ab
x x x ++--+
=
+-无解，实数a 、b 满足a b ≠，0ab ≠，求b a a b
+的值.
5. 已知关于x 的方程为()()2
2
1271011x x a a x x ⎛⎫--++= ⎪--⎝⎭
. （1）求a 得取值范围，使得方程有实数根；
（2）求a 得取值范围，使得方程恰有一个实数根； （3）若原方程的两个相异实根为1x ，2x ，且12123
1111
x x x x +=--，求a 的值.
练习22.2答案
1. 1a <-且3a ≠-. 提示：原方程去分母后整理得，21x a -=+，解得1
2
a x +=-
. 因为要使原方程有解，所以2x ≠-且1x ≠，因此122a +-≠-且1
12
a +-≠.解得3a ≠且3a ≠- 因为原方程的根为正数，所以1
02
a +-
>，因此1a <-. 所以，当1a <-且3a ≠-时，原方程的根为正数.
2. 4a =. 提示：原方程可化为430a a x x x
x
⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭
. 所以4a x x +
=或3a
x x
+=. 因为原方程只有一个根，所以12=00∆⎧⎨∆<⎩或12<0
∆⎧⎨∆=⎩.
解得4a =或无解.
当产生增根0x =时，此时0a =，此时120,0∆>∆>，不合题意. 当4a =时，方程的根只有2x =.
所以，当4a =时，关于x 的方程2
2
772120a a x x a x x ⎛⎫
+--
++= ⎪⎝⎭
只有一个实数根. 3. 1122a -≤≤且0a ≠. 提示：原方程可化为()()
222
2
2+0x a x a ax x a +-=+， 即()2
0x a a x x a ⎡
⎤+-=⎢⎥+⎣⎦
，因此()=0x a a x x a +-+.去分母，整理得
()223210ax a x a +-+= ①
（1）当0a =时，代入方程①，解得0x =，此时0x =为增根，原方程无解，因此0a ≠. （2）当0a ≠时，若产生增根x a =-，代入方程①，解得0a =，即0x =，原方程无解， 因此0a ≠时， 不可能产生增根.所以方程①的0∆≥，即()2
242140a a --≥，整理得
241a ≤，解得11
22
a -≤≤
所以，当11
22
a -≤≤且0a ≠时，原方程有实数根.
4.
2b a
a b
+=-. 提示：原方程可化为 ()2240x a b x ab -++= ①
因为0ab ≠，所以0x =不是方程①的根.
因为()2
4a b ∆=-且a b ≠，所以0∆>.所以方程①必有两个不相等的实根.
因为原方程无解，所以方程①的两根必为原分式方程的增根，即方程①的两根必为2x =±. 将2x =±分别代入方程①，得
()4440a b ab -++= ② ()4440a b ab +++= ③ ③﹣②得0a b +=，即a b =-. 所以
2b a
a b
+=- 5. （1）5328
a ≥-
. 提示：设1x t x =-，且1111t x =+≠-，则原方程可化为
()
()2212710a t a t --++= ①
I . 当210a -=，即1a =±时，方程①可化为910t -+=或510t -+=. 解得19t =或1
5
t =. 所以
1=19x x -或1=15
x x -，解得18x =-或14x =-
因此当1a =时，原方程有唯一根18x =-；当1a =-时，原方程有唯一根1
4
x =-
II . 当1a ≠±时，由0∆≥得5328
a ≥-
当1t =时，得()
()212710a a --++=，解得53128
a =±>-
.
所以当1a =±11t =，
但另一个根(
)(22111
28
1t t a =
=-，符合要求.
所以，53
28
a ≥-
且1a ≠±. 综上所诉，当53
28
a ≥-
时，原方程有实数根. （2）1a =±
、1±53
28
-
. 提示：由（1）可知，当1a =±时原方程有唯一解.
当1a =+
(11
28
t =
，所以
1x x -
x =
当1a =-
(21
28
t =
，所以
2=18x x -
，解得717x --=. 当53
28a =-
时，方程①有两个相等的实数根()1222728=45
21a t t a +==-，
所以
28=145x x -，解得2817
x =-. 综上所诉，当1a =±
、1±53
28
-时，原方程有唯一的实数根
（3）10a =. 提示：依题设知111x x -和221
x
x -是方程()
()2212710a t a t --++=的两实数根. 因为
121231111x x x x +=--，所以2273
111
a a +=-. 去分母，整理得2322800a a --=.解得110a =，28
3
a =-.
由（1）知方程有两个实根的条件为53
28
a ≥-
且1a ≠±1a ≠±， 因为853
328
a =-<-，所以10a =.
因此，当10a =时，原方程的两个相异实根为1x ，2x ，且12123
1111
x x x x +=--.。