1992考研数二真题及解析

1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设3(),(1),
t
x f t y f e π=-⎧⎨=-⎩其中f 可导,且(0)0f '≠,则0t dy
dx ==＿＿＿＿＿＿. (2) 函数2cos y x x =+在[0,
]2
π
上的最大值为＿＿＿＿＿＿.
(3) 0x →=＿＿＿＿＿＿.
(4)
2
1
(1)
dx
x x +∞
=+⎰
＿＿＿＿＿＿. (5) 由曲线x y xe =与直线y ex =所围成的图形的面积S =＿＿＿＿＿＿.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 当0x →时,sin x x -是2
x 的 ( )
(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小
(C) 等价无穷小 (D) 同阶但非等价的无穷小
(2) 设2
2 , 0
(),0
x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩,则 ( )
(A) 22 , 0()(),0x x f x x x x ⎧-≤⎪-=⎨-+>⎪⎩ (B) 2
2
(),0
() , 0x x x f x x x ⎧-+<⎪-=⎨-≥⎪⎩ (C) 22 , 0(),0x x f x x x x ⎧≤⎪-=⎨->⎪⎩ (D) 22
,0
() , 0
x x x f x x x ⎧-<⎪-=⎨≥⎪⎩ (3) 当1x →时,函数
1
2111
x x e x ---的极限 ( ) (A) 等于2 (B) 等于0
(C) 为∞ (D) 不存在但不为∞ (4) 设()f x 连续,2
20
()()x F x f t dt =
⎰
,则()F x '等于 ( )
(A) 4
()f x (B) 2
4
()x f x (C) 4
2()xf x (D) 2
2()xf x
(5) 若()f x 的导函数是sin x ,则()f x 有一个原函数为 ( )
(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -
三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)
(1) 求1
2
3lim(
)6x x x x
-→∞++. (2) 设函数()y y x =由方程1y
y xe -=所确定,求22
x d y
dx
=的值.
(3)
求
3⎰.
(4)
求
π
⎰
.
(5) 求微分方程3()20y x dx xdy --=的通解.
四、(本题满分9分)
设2
1,0
() , 0
x x x f x e x -⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩,求31
(2)f x dx -⎰.
五、(本题满分9分)
求微分方程32x
y y y xe '''-+=的通解.
六、(本题满分9分)
计算曲线2
ln(1)y x =-上相应于1
02
x ≤≤
的一段弧的长度.
七、(本题满分9分)
求曲线y =
l ,使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成的平面图形
面积最小.
八、(本题满分9分)
已知()0,(0)0f x f ''<=,试证：对任意的二正数1x 和2x ,恒有
1212()()()f x x f x f x +<+
成立.
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】3
【解析】由复合函数求导法则可得 33/3(1)
/()
t t dy dy dt e f e dx dx dt f t '-==
',于是03t dy dx ==. 【相关知识点】复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为
()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du
dx du dx
=⋅. (2)
6
π
【解析】令12sin 0y x '=-=,得[0,
]2
π
内驻点6
x π
=
.
因为只有一个驻点,所以此驻点必为极大值点,与端点值进行比较,求出最大值. 又 (0)2y =
,()6
6
y ππ
=,()2
2
y ππ
=
,
可见最大值为()6
6
y ππ
=.
(3)【答案】0
【解析】由等价无穷小,有0x →时
,2211
1()22
x x ---=,故 2001
()
2
lim cos x x x x e x
→→--=-, 上式为“0
”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,由洛必达法则,有 原式0lim 0sin x
x x
e x
→==+. (4)【答案】1
ln 22
【解析】令b →+∞,
原式22
221
11lim
lim (1)(1)b
b b b dx
x x dx x x x x →+∞→+∞+-==++⎰
⎰211lim ()1b b x dx x x →+∞=-+⎰(分项法) 221111
lim ln lim 21b b
b b x dx x →+∞→+∞=-+⎰ (凑微分法) 2111lim ln lim
ln(1)2
b b
b b x x →+∞
→+∞=-+1
lim ln 22
b →+∞
=
1
lim ln 22
b →+∞=1ln1ln 22=+1ln 22=. (5)【答案】
12
e
- 【解析】联立曲线和直线的方程,解得两曲线的交点为(0,0),(1,)e ,则所围图形面积为
1
()x S ex xe dx =-⎰,再利用分部积分法求解,得
1
120
0122x x e e S x xe e dx ⎛⎫
=-+=- ⎪⎝⎭⎰.
注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计
算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.
【相关知识点】分部积分公式：假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则
,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或者 .udv uv vdu =-⎰⎰
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(B)
【解析】20sin lim
x x x x →-为“0
”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有 2000sin 1cos sin lim lim lim 022
x x x x x x x
x x →→→--===,故选(B). 【相关知识点】无穷小的比较：
设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()
lim ()
x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()
()x x αβ；
(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=. 若()
lim
()
x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (2)【答案】(D)
【解析】直接按复合函数的定义计算.
22
(), 0()()(), 0x x f x x x x ⎧--≤⎪-=⎨-+-->⎪⎩2
2,0,
, 0.
x x x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩ 所以应选(D).
(3)【答案】(D)
【解析】对于函数在给定点0x 的极限是否存在,需要判定左极限0x x -
→和右极限 0
x x +
→是否存在且相等,若相等,则函数在点0x 的极限是存在的. 11
211111lim lim(1)01x x x x x e x e x ----→→-=+=-, 1
1
211
111lim lim(1)1x x x x x e x e x ++
--→→-=+=∞-. 0≠∞,故当1x →时函数没有极限,也不是∞.故应选(D).
(4)【答案】(C)
【解析】 2
222240
()[()][()]()2()x F x f t dt f x x xf x '''==⋅=⎰
,
故选(C).
【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：
若()
()
()()t t F t f x dx βα
=
⎰,()t α,()t β均一阶可导,则
[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.
(5)【答案】(B)
【解析】由()f x 的导函数是sin x ,即()sin f x x '=,得
()()sin cos f x f x dx xdx x C '===-+⎰⎰, 其中C 为任意常数.
所以()f x 的原函数
12()()(cos )sin F x f x dx x C dx x C x C ==-+=-++⎰⎰,其中12,C C 为任意常数.
令10C =,21C =得()1sin F x x =-.故选(B). 三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.) (1)【答案】3
2
e
-
【解析】此题考查重要极限：1lim(1).x
x e x
→∞
+= 将函数式变形,有
6311
362233lim()lim(1)66x x x x x x x x x
+---⋅⋅-
+→∞→∞+=-++ 31
31lim
62
62lim x x x x x x e
e →∞----⋅⋅
++→∞
==32
e -
=.
(2)【答案】2
2e
【解析】函数()y y x =是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方法1：在方程两边对x 求导,将y 看做x 的函数,得
0y
y
y e xe y ''--⋅=,即 1y
y
e y xe
'=-, 把0,1x y ==代入可得(0)y e '=.
两边再次求导,得
2
(1)()
(1)
y y y y y y e y xe e e xe y y xe ''-++''=-, 把0,1x y ==,(0)y e '=代入得(0)y ''=
222
2x d y
e dx ==.
方法2：方程两边对x 求导,得0y y y e xe y ''--=； 再次求导可得2()0y y y y y e y e y xe y xe y '''''''--++=,
把0,1x y ==代入上面两式,解得(0)y e '=,(0)y ''=
222
2x d y
e dx ==.
【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为
()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx
=⋅, 2.两函数乘积的求导公式：
[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅.
3.分式求导公式： 2
u u v uv v v '''
-⎛⎫= ⎪⎝⎭
. (3)
【答案】3
22
(1)x C + 其中C 为任意常数. 【解析】方法1：积分的凑分法结合分项法,有
3
222
211(1)(1)22d x x =+=+
21(1)2d x =
+⎰
22
11(1)(1)22x x =
+-+
3
22
1(1)3
x C =+ 其中C 为任意常数. 方法2：令tan x t =,则2
sec dx tdt =
,
3322tan sec tan (sec )(sec 1)(sec )t tdt td t t d t ===-⎰⎰⎰
3
322
11sec sec (1)33
t t C x C =-+=+-,其中C 为任意常数. 方法3：令2
t x =,
则x dx ==
,
312=
此后方法同方法1,积分的凑分法结合分项法
3
2211(1)23dt x C ==+⎰,其中C 为任意常数. (4)
【答案】1)
()(),f x f x =≠不要轻易丢掉绝对值符号；绝对值函数的积分实
际上是分段函数的积分.
由二倍角公式 sin 2sin
cos
2
2
α
α
α=⋅,则有
2
221sin sin cos 2sin cos sin cos 222222α
α
αα
ααα⎛⎫-=+-⋅=- ⎪⎝⎭
.
所以
0sin cos 22x x dx π
π
π==-⎰
⎰
⎰ 202cos sin sin cos 2222x x x x dx dx π
ππ⎛
⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎰⎰ 202
2sin cos 2cos sin 2222x x x x π
π
π⎛⎫⎛
⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
1)=.
(5)
【答案】31
5
y x =,其中C 为任意常数
【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为 211
22
y y x x '-=-. 由一阶线性微分方程的通解公式,得
11
22212dx dx
x x y e x e
dx C -⎛⎫⎰⎰=-+ ⎪⎝⎭
⎰
31
5
x = 其中C 为任意常数.
【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()y P x y Q x '+=的通解为
()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪
⎝⎭
⎰,其中C 为任意常数.
四、(本题满分9分)
【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.
令2x t -=,则.dx dt =当1x =时,1t =-；当3x =时,1t =,于是
()3
101
21
1
1
(2)()1t f x dx f t dt t dt e dt ----=++⎰
⎰⎰⎰分段
1301
171.33t t t e e --⎛⎫
=+-=- ⎪⎝⎭
五、(本题满分9分)
【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程
2320r r -+=有两个根为121,2r r ==,而非齐次项1,1x xe r αα==为单特征根,因而非齐
次方程有如下形式的特解()x
Y x ax b e =+, 代入方程可得1,12
a b =-=-,所求解为
212(2)2
x x x x
y C e C e x e =+-+,其中12,C C 为任意常数.
【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*
()y x 是二阶线性非齐次方程
()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.
2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程
变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：
(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1
212;rx r x y C e
C e =+
(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()1
12;rx
y C C x e =+
(3) 一对共轭复根1,2
r i αβ=±,则通解为()12cos sin .x y e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.
3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：
如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k x m y x x Q x e λ=
的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按
λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
如果()[()cos ()sin ]x l n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程
()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为
*(1)(2)
[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,
其中(1)()m R x 与(2)
()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征
方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.
六、(本题满分9分) 【解析】由于2
ln(1)y x =-,
222
222
2(1),1,1(1)
x x y y x x -+''=+=-
-2211,(0)12x ds dx x x +==≤≤-, 所以 2
2
1/2
1/222
012(1)11x x s dx dx x x +--=
=--⎰
⎰
1/2
1/21/220
00211111112dx dx dx x x x ⎛⎫
=-=+- ⎪--+⎝⎭
⎰
⎰⎰ 1/2
111ln ln 3122x x +⎛⎫
=-=- ⎪
-⎝⎭. 【相关知识点】平面曲线弧长计算：已知平面曲线AB 的显式表示为()y f x =()a x b ≤≤,
则弧微分为
ds =,
弧长a
s =⎰
,其中()f x 在[],a b 有连续的
导数.
七、(本题满分9分)
【解析】过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,其中当0()y x '存在时,0()k y x '=.
如图所示,
设曲线上一点(t 处的切线方程为
)y x t =
-,
化简即得
y =
面积
2
()S t dx ⎡⎛=
-=⎢⎢⎭⎣⎦
⎰
其一阶导数
3/2
1/21
1()22S t t
t --'=-+=. 令()0S t '=解得唯一驻点1t =,而且S '在此由负变正,即()S t 在(,1]-∞单调递减,在
[1,)+∞单调递增,在此过程中()S t 在1t =时取极小值也是最小值,所以将1t =代入先前所
设的切线方程中,得所求切线方程为122
x y =+.
八、(本题满分9分)
【解析】证法一：用拉格朗日中值定理证明.不妨设210x x >>,要证的不等式是
1221()()()(0)f x x f x f x f +-<-.
在1[0,]x 上用中值定理,有 11()(0)(),f x f f x ξ'-=10x ξ<<,
在212[,]x x x +上用中值定理,又有 1221212()()(),f x x f x f x x x x ηη'+-=<<+,
由()0,f x ''<所以()f x '单调减,而12x x ξη<<<,有()()f f ξη''>,所以
12211()()()(0)()f x x f x f x f f x +-<-=,
即 1212()()()f x x f x f x +<+.
11 / 11 证法二：用函数不等式来证明.
要证 11()()(),0f x x f x f x x +<+>.
令辅助函数11()()()()x f x f x f x x ϕ=+-+,则1()()()x f x f x x ϕ'''=-+. 由()0,()f x f x '''<单调减,1()(),()0f x f x x x ϕ'''>+>,由此,
11()(0)()(0)()0(0)x f x f f x x ϕϕ>=+-=>.
改x 为2x 即得证.
【相关知识点】拉格朗日中值定理：
如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.。