一般投影线性群PGL(2,q)和4-(q+1,5,λ)设计
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
，
主
， 又
一
般投影线性群 Ｐ Ｌ ２ ｑ Ｇ （ ，）和 ４一（ ｑ＋１５ Ａ ， ， ）设计
表 １
ｇ ｆ ＡＩ Ｉ ・
２ ６ ０
２ ’ Ｉ ２ ２ ０ ｆ ４
Ｉ ５ ｆ ４ ０
Hale Waihona Puke ７ ２ ４ １ ７ ８
由引理 １ １可知 ， ． 只需 考 虑 ｑ∈ ｛７ ２ ｝ １ ， 这两 种 情况 。
刘伟 俊 姚 蹈 陈 静
（ 南大学数 学科 学与计 算技 术 院 ， 沙 ，１０ ５ 中 长 ４０ ７ ）
摘 要 本文主要考虑 了一般 投影线性群 Ｐ Ｌ ２ ｑ Ｇ （ ，）区传 递作 用下的 ４一（ ｇ＋１５， ）设 计的存在 性 问题 。 ，Ａ
４一（ ｑ＋１５ Ａ）设计 ，， 区传递 Ｐ Ｌ ２ ｑ Ｇ （ ，）
ｍｏ ｈｓ ｒ ｐ Ｇ （ ，） ｆ ｒ ｉ ｕｓ ｎ ｔｅｐｓｉｉｔ ｏＡｉ ４ ｒ ｉ ｇｏ ｓ Ｌ ２ ｑ ．Ａｔ ｓ ｓｉ ， ｏｓ ｌｙ ｆ ． ｐ ｍ ｕ Ｐ ｅｄｃ ｏ ｈ ｂ ｉ ｓ Ｋ ｙ ｏｄ ４ 一（ ｅｗ ｒｓ ｑ＋１５ Ａ ｅｉ Ｂｏｋｔ ｎｉｖ Ｐ Ｌ ２ ｑ ， ， ）ｄｓ ｎ ｇ ｌ ａｓ ｅ ｃ ｒ ｔ ｉ Ｇ （ ，）
甘四清 教授推荐 收稿 日期 ：０） ９月 ４日 ２１ ９年
数学理论 与应用
Ａ
㈦ ；（ ） 。ｏ ） ｍ ｏ ｄ
…
证 为Ｇ 传 作 在， ， 区 个 Ｄ＝ 明 因 区 递 用 上所以 组 数｝｛
Ｉ ， 故 Ａ・Ｉ ・ ｑ－２ Ｉ Ｉｌ Ｄ ＝１ １ ． ｃ Ｉ（ Ｇ ）＝ｌ。 ２。
若 Ｃ Ｖ ＝Ｇ Ｗ）则 Ｖ —Ｗ。 （） （ ，
引理 １６ ３ ４ ８ Ｅ 则 ｌ ＝１ ｌ ｌ ．［ ］ － Ｉ ， ｛ 或 为偶数。若是后者 ， Ｘ ｓ Ｇ 则存在某个 ， Ｂ 使得
～
｛ ， ， ， ｝ ０ １ ∞ ， 。
引 １［ 若（ ＝，ｑ２ ｇ） 理．４ 。） ２ （ ： 其 口， Ｏｑ ７］ ｇ Ｎ ＝ ， 等， ， ∈Ｆ） 则 中 ６ （。 ｃ ￣ ｇ ２ ＝０，， ｝ Ｉｌ１ ２ 是 者则 ∈吉 ２ １１ １． ＝ ， ｛ ∞ ，， ＝或 ， 后 ，卢 ｛， １８若 ， 则ｃ １ 卢 若 ，
（ｉ） ｉ Ｂ是 的一组 Ｊ一子集 ； ｝ ｉ
（ｉ 的任意给定的 ｔ ｉ） ｉ 一子集都恰好含于 Ｄ的 Ａ个成员之中。 的元素称为点 ， Ｄ的成员称为区组 ， 区组个数设为 ６若一个 ｔ ｖｋＡ 设计不包含重 。 — ，， ）
国家 自然科学基金资助课题（ Ｏ：０７ ２ ５ Ｎ １８ １０ ）
ＬｕＷｅ ｕ Ｙ ｏＤ ｏ Ｃ ｅ ｉｇ ｉ ｉｎ ｊ ａ ａ ｈ ｎＪ ｎ
（ ｃｏｌ ｆ ｔｅ ａｉ ｆ ｅｔ ｌ ｏ ｔ Ｕ ｉ ｒ ｔ，ｈｎ ｓａ １０ ５ Ｓｈｏ ｏ ｈｍ ｔ ｓ ｎｒ ｕ ｎｖ ｓｙ Ｃ ａｇｈ ， ０７ ） Ｍａ ｃｏＣ ａＳ ｈ ｅｉ
。
一
ｌ
。
— ｌ
。
（：，｛ １是 ｇ作在上轨， ＝ ，。）２ ｂ｛｝ ，， ＜＞用 Ｂ的道 ｇ裴 又（＝ ） ｌ ∞｝ １ ， ０ 则 ｇ ，
则 由引理 １ ７知 ， ＝ ． 卢 同理可 知 ：
，ｖ — Ｉ
。
（ ） ｇ稳定 ｛ ｝则 ｇ不存 在 。 ２若 ∞ ， （ ） ｇ稳定 ｛ ｝则 口 ＝ 。 ３若 １，
第３ ０卷 第 １期 ２１ ０ ０年 ３月
数学理论与应 用
ＭＡ ＨＥＭＡ１ ＣＡＬ ｌ ＇ １ ＴＨＥＯＲＹ ＡＮＤ ＡＰ Ｕ ＣＡ， Ｐ ｎＯＮＳ
Ｖ０． ０ Ｎｏ １ １３ ．
Ｍａ ．２ Ｏ ｒ Ｏ１
一
般 投影 线 性 群 Ｐ Ｌ（ ， ） ４一（ ＋１５ ） 计 Ｇ ２ｇ 和 ，， 设
１ 引言
设 Ｘ ＝ Ｇ （ ）Ｕ ｛ ｝ｑ 一个 素 数 ， Ｘ 。＝ ｛ Ｆｑ ∞ ，是 则
Ｇｌ＝ （ ｑ＋１ ｇ ｑ一１ 。 ）（ ）
Ｉ ｌ ｝设 Ｇ ＝Ｐ Ｌ ２ ｑ ， ｌ ＝ｉ ； Ｇ （ ，）则
定义 １１ 参数为 ｔ 后Ａ ． 一（ ， ， ）的一个设计定义为符合以下条件的一对符号 （ Ｄ ： ， ） （ｉ 是一个 一集合 ； ）
，ｖ
（ ） ｇ稳定 ｛ ， ４若 ｝则 ＝ 。
故 ｌ ， ｛ ， ｝ 卢 ｛， ｝ 若Ｉ ＝Ｂ ０ ∞ ，， ∈吉０ 。 Ｇ ２＝ ， ， 则 １ 卢 ｃ ２ ，
定理 １１ ５ 令群 Ｈ作用在 点集 ｙ ， ・ 是 日作用在 Ｙ 上的一些轨道 ， ．［ ］ 上 Ｄ ・ ０， ０ ， 是作用在 ｙＩ 上的所有轨道， ：… ｔ ｌ 那么 （ ， ｙ，
Ａ ｓ ａｔ ｎｔｉｐ ｐｒ ｗ ｏ ｓ ｅ ｅｅｉ ｅｃ ｆｈ ４一（ ｂｔ ｃ Ｉ ｓ ａｅ ， ｅｃｎｉ ｒｈ ｘｓ ｎ ｅ ｔｅ ｒ ｈ ｄ ｔ ｔ ｏ ｑ＋１５， ｄ ｓ ｎａｍｔｎ ｅｂｏｋｔ ｎｉｖ ｕ － ， Ａ） ｅｉ ｄ ｉｉｇｔ ｌ ａｓｉｅａｔ ｇ ｔ ｈ ｃ ｒ ｔ ｏ
经 讨论 知 Ａ 的 可 能 值 是 ４ 。
关键 词
４一（ ｑ＋１， Ａ）Ｄｅｉｎ ｍｉ ｉｇｔｅＢ ｏ ｋ Ｔ ａ ｓ ｉｅ ５， ｓ ｓＡｄ ｔ ｎ ｈ ｌｃ ｒ ｎｉ ｖ ｇ ｔ ｔ Ａｕｏ ｒ ｈｓ Ｇｒ ｕ ｓＰ Ｌ（ ｑ ｔｍｏｐ ｉ ｍ ｏ ｐ Ｇ ２， ）
１
１一
。
证 明 Ｖｇ ∈ Ｇ， ｇ稳定 Ｂ， ｏ ｇ 若 则 （ ）Ｅ ｛ ， 。 １２｝ 若 ｏｇ ＝２则 ｇ稳定 一个 点 ， （） ， 且有 １ ６个 ２轮 换 ， （ ） ｇ稳 定 ｛ ｝分 两种 情 况讨论 ： １若 ０ ， （ ） ∞ ，｝ ｛ ， ，０｝ ＜ｇ ＞ 作用 在 上 的轨 道 ， ｇ ＝— ，即 卢 ＝ ａ ：｛ １ ， ｝ ｛ 是 则
主
， 又
一
般投影线性群 Ｐ Ｌ ２ ｑ Ｇ （ ，）和 ４一（ ｑ＋１５ Ａ ， ， ）设计
表 １
ｇ ｆ ＡＩ Ｉ ・
２ ６ ０
２ ’ Ｉ ２ ２ ０ ｆ ４
Ｉ ５ ｆ ４ ０
Hale Waihona Puke ７ ２ ４ １ ７ ８
由引理 １ １可知 ， ． 只需 考 虑 ｑ∈ ｛７ ２ ｝ １ ， 这两 种 情况 。
刘伟 俊 姚 蹈 陈 静
（ 南大学数 学科 学与计 算技 术 院 ， 沙 ，１０ ５ 中 长 ４０ ７ ）
摘 要 本文主要考虑 了一般 投影线性群 Ｐ Ｌ ２ ｑ Ｇ （ ，）区传 递作 用下的 ４一（ ｇ＋１５， ）设 计的存在 性 问题 。 ，Ａ
４一（ ｑ＋１５ Ａ）设计 ，， 区传递 Ｐ Ｌ ２ ｑ Ｇ （ ，）
ｍｏ ｈｓ ｒ ｐ Ｇ （ ，） ｆ ｒ ｉ ｕｓ ｎ ｔｅｐｓｉｉｔ ｏＡｉ ４ ｒ ｉ ｇｏ ｓ Ｌ ２ ｑ ．Ａｔ ｓ ｓｉ ， ｏｓ ｌｙ ｆ ． ｐ ｍ ｕ Ｐ ｅｄｃ ｏ ｈ ｂ ｉ ｓ Ｋ ｙ ｏｄ ４ 一（ ｅｗ ｒｓ ｑ＋１５ Ａ ｅｉ Ｂｏｋｔ ｎｉｖ Ｐ Ｌ ２ ｑ ， ， ）ｄｓ ｎ ｇ ｌ ａｓ ｅ ｃ ｒ ｔ ｉ Ｇ （ ，）
甘四清 教授推荐 收稿 日期 ：０） ９月 ４日 ２１ ９年
数学理论 与应用
Ａ
㈦ ；（ ） 。ｏ ） ｍ ｏ ｄ
…
证 为Ｇ 传 作 在， ， 区 个 Ｄ＝ 明 因 区 递 用 上所以 组 数｝｛
Ｉ ， 故 Ａ・Ｉ ・ ｑ－２ Ｉ Ｉｌ Ｄ ＝１ １ ． ｃ Ｉ（ Ｇ ）＝ｌ。 ２。
若 Ｃ Ｖ ＝Ｇ Ｗ）则 Ｖ —Ｗ。 （） （ ，
引理 １６ ３ ４ ８ Ｅ 则 ｌ ＝１ ｌ ｌ ．［ ］ － Ｉ ， ｛ 或 为偶数。若是后者 ， Ｘ ｓ Ｇ 则存在某个 ， Ｂ 使得
～
｛ ， ， ， ｝ ０ １ ∞ ， 。
引 １［ 若（ ＝，ｑ２ ｇ） 理．４ 。） ２ （ ： 其 口， Ｏｑ ７］ ｇ Ｎ ＝ ， 等， ， ∈Ｆ） 则 中 ６ （。 ｃ ￣ ｇ ２ ＝０，， ｝ Ｉｌ１ ２ 是 者则 ∈吉 ２ １１ １． ＝ ， ｛ ∞ ，， ＝或 ， 后 ，卢 ｛， １８若 ， 则ｃ １ 卢 若 ，
（ｉ） ｉ Ｂ是 的一组 Ｊ一子集 ； ｝ ｉ
（ｉ 的任意给定的 ｔ ｉ） ｉ 一子集都恰好含于 Ｄ的 Ａ个成员之中。 的元素称为点 ， Ｄ的成员称为区组 ， 区组个数设为 ６若一个 ｔ ｖｋＡ 设计不包含重 。 — ，， ）
国家 自然科学基金资助课题（ Ｏ：０７ ２ ５ Ｎ １８ １０ ）
ＬｕＷｅ ｕ Ｙ ｏＤ ｏ Ｃ ｅ ｉｇ ｉ ｉｎ ｊ ａ ａ ｈ ｎＪ ｎ
（ ｃｏｌ ｆ ｔｅ ａｉ ｆ ｅｔ ｌ ｏ ｔ Ｕ ｉ ｒ ｔ，ｈｎ ｓａ １０ ５ Ｓｈｏ ｏ ｈｍ ｔ ｓ ｎｒ ｕ ｎｖ ｓｙ Ｃ ａｇｈ ， ０７ ） Ｍａ ｃｏＣ ａＳ ｈ ｅｉ
。
一
ｌ
。
— ｌ
。
（：，｛ １是 ｇ作在上轨， ＝ ，。）２ ｂ｛｝ ，， ＜＞用 Ｂ的道 ｇ裴 又（＝ ） ｌ ∞｝ １ ， ０ 则 ｇ ，
则 由引理 １ ７知 ， ＝ ． 卢 同理可 知 ：
，ｖ — Ｉ
。
（ ） ｇ稳定 ｛ ｝则 ｇ不存 在 。 ２若 ∞ ， （ ） ｇ稳定 ｛ ｝则 口 ＝ 。 ３若 １，
第３ ０卷 第 １期 ２１ ０ ０年 ３月
数学理论与应 用
ＭＡ ＨＥＭＡ１ ＣＡＬ ｌ ＇ １ ＴＨＥＯＲＹ ＡＮＤ ＡＰ Ｕ ＣＡ， Ｐ ｎＯＮＳ
Ｖ０． ０ Ｎｏ １ １３ ．
Ｍａ ．２ Ｏ ｒ Ｏ１
一
般 投影 线 性 群 Ｐ Ｌ（ ， ） ４一（ ＋１５ ） 计 Ｇ ２ｇ 和 ，， 设
１ 引言
设 Ｘ ＝ Ｇ （ ）Ｕ ｛ ｝ｑ 一个 素 数 ， Ｘ 。＝ ｛ Ｆｑ ∞ ，是 则
Ｇｌ＝ （ ｑ＋１ ｇ ｑ一１ 。 ）（ ）
Ｉ ｌ ｝设 Ｇ ＝Ｐ Ｌ ２ ｑ ， ｌ ＝ｉ ； Ｇ （ ，）则
定义 １１ 参数为 ｔ 后Ａ ． 一（ ， ， ）的一个设计定义为符合以下条件的一对符号 （ Ｄ ： ， ） （ｉ 是一个 一集合 ； ）
，ｖ
（ ） ｇ稳定 ｛ ， ４若 ｝则 ＝ 。
故 ｌ ， ｛ ， ｝ 卢 ｛， ｝ 若Ｉ ＝Ｂ ０ ∞ ，， ∈吉０ 。 Ｇ ２＝ ， ， 则 １ 卢 ｃ ２ ，
定理 １１ ５ 令群 Ｈ作用在 点集 ｙ ， ・ 是 日作用在 Ｙ 上的一些轨道 ， ．［ ］ 上 Ｄ ・ ０， ０ ， 是作用在 ｙＩ 上的所有轨道， ：… ｔ ｌ 那么 （ ， ｙ，
Ａ ｓ ａｔ ｎｔｉｐ ｐｒ ｗ ｏ ｓ ｅ ｅｅｉ ｅｃ ｆｈ ４一（ ｂｔ ｃ Ｉ ｓ ａｅ ， ｅｃｎｉ ｒｈ ｘｓ ｎ ｅ ｔｅ ｒ ｈ ｄ ｔ ｔ ｏ ｑ＋１５， ｄ ｓ ｎａｍｔｎ ｅｂｏｋｔ ｎｉｖ ｕ － ， Ａ） ｅｉ ｄ ｉｉｇｔ ｌ ａｓｉｅａｔ ｇ ｔ ｈ ｃ ｒ ｔ ｏ
经 讨论 知 Ａ 的 可 能 值 是 ４ 。
关键 词
４一（ ｑ＋１， Ａ）Ｄｅｉｎ ｍｉ ｉｇｔｅＢ ｏ ｋ Ｔ ａ ｓ ｉｅ ５， ｓ ｓＡｄ ｔ ｎ ｈ ｌｃ ｒ ｎｉ ｖ ｇ ｔ ｔ Ａｕｏ ｒ ｈｓ Ｇｒ ｕ ｓＰ Ｌ（ ｑ ｔｍｏｐ ｉ ｍ ｏ ｐ Ｇ ２， ）
１
１一
。
证 明 Ｖｇ ∈ Ｇ， ｇ稳定 Ｂ， ｏ ｇ 若 则 （ ）Ｅ ｛ ， 。 １２｝ 若 ｏｇ ＝２则 ｇ稳定 一个 点 ， （） ， 且有 １ ６个 ２轮 换 ， （ ） ｇ稳 定 ｛ ｝分 两种 情 况讨论 ： １若 ０ ， （ ） ∞ ，｝ ｛ ， ，０｝ ＜ｇ ＞ 作用 在 上 的轨 道 ， ｇ ＝— ，即 卢 ＝ ａ ：｛ １ ， ｝ ｛ 是 则