8.三角函数的最值
求三角函数最值的四种方法
求三角函数最值的四种方法求解三角函数最值问题的基本途径与其他函数最值问题相同，一方面要利用三角函数的特殊性质，例如有界性，另一方面要将问题转化为我们熟悉的函数的最值问题。
以下介绍几种常见的求解三角函数最值的策略。
1.配方转化策略对于能够化为形如y = a sin x + b sin x + c或y = a cos x +b cos x + c的三角函数最值问题，可以将其看作是sin x或cosx的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决。
例如，对于函数y = 5 sin x + cos 2x的最值问题，可以将其转化为y = -2 sin x + 5 sin x + 1，然后利用sin x的范围[-1.1]求得最小值为-6，最大值为4.2.有界转化策略对于能够通过变形化为形如y = A sin(ωx + φ)等形式的三角函数，可以利用其有界性来求解最值。
这是常用的求解三角函数最值问题的策略之一。
3.单调性转化策略借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略。
对于三角函数来说，常常是先化为y = A sin(ωx + φ) + k的形式，然后利用三角函数的单调性求解。
4.导数法对于一些较为复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解。
通过对函数求导，找到其临界点，然后比较临界点和函数在端点处的取值，即可求得函数的最值。
在求解三角函数最值问题时，需要注意将三角函数准确变形为sin x或cos x的二次函数的形式，正确配方，并把握sinx或cos x的范围，以防止出错。
1，即y=−x+2设点P的坐标为(x,y)，则y−0=y−yPx−2=x−xP解得xP=cosx，yP=sinx代入直线方程得y=−(cosx−2)+2=4−cosx所以y的最小值为3，当x=π/2时取到最小值。
答案]3。
三角函数最值的求法
三角函数最值的求法摘要： 本文主要讨论三角函数的最值的求法，总结归纳出六种常用的方法：上下界法、二次函数法、几何法、不等式法、判别法和用导数法。
关键词：三角函数；最值；求法。
三角函数是当今高考必考的内容之一，而三角函数的最值是函数最值的重要内容，同时也是三角函数的重要分支，故重视和加强这部分内容对于学习三角函数的恒等变换，求解最值，掌握三角函数最值与二次函数、二次方程及不等式性质的关系的应用有着重要的意义。
下面就求三角函数最值问题谈谈我的若干解决方法。
一．上下界法。
根据1sin ≤x 或1cos ≤x 把给定的三角函数或通过适当的恒等变形化成k x A ++)sin(ϕω或k x A ++)cos(ϕω（其中、k 、A 、ϕω均为常数）的形式，然后求出最大值和最小值的方法称为上下界法。
例1：求函数x x y 2sin cos 2-=的最值。
分析：先把原函数变形，然后根据1cos ≤x 直接求出最值。
解：x x y 2sin 22cos 1-+=x x 2sin 2cos 2121-+= 21)2cos(25++=ϕx 帮所求2125max +=y ，2125min +-=y例2：已知函数.,2cos 32sin R x x x y ∈+=求y 的最大值、最小值及相应的x 的集合；解：sin 2sin()2223x x x y π==+ ∴当2232x k πππ+=+，即4,3x k k Z ππ=+∈时，y 取得最大值2，此时x 的取值范围为 |4,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； 当2232πππ-=+k x ，即Z k k x ∈-=,354ππ时，y 取得最小值2－，此时x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,354|ππ。
点评：（1）这种基本题型非常重要，在高考考题中出现的频率较高；（2）当自变量x 的取值范围有限制时，我们在转化时往往要注意变量x 的取值范围，否则容易造成结果错误。
高中数学如何求解三角函数的极值和最值
高中数学如何求解三角函数的极值和最值一、引言三角函数是高中数学中的重要内容，求解三角函数的极值和最值是数学分析的基本技能之一。
本文将介绍如何通过分析和计算来求解三角函数的极值和最值，以及一些常见的解题技巧。
二、求解三角函数的极值1. 极值的定义在数学中，极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
对于三角函数而言，极值点就是函数图像上的顶点或谷底。
2. 求解极值的方法（1）利用导数法求解对于一元函数，可以通过求导数来确定其极值点。
对于三角函数而言，可以先求出函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点。
例如，考虑函数f(x) = sin(x)，其导数f'(x) = cos(x)。
令f'(x) = 0，解得x = π/2 + kπ，其中k为整数。
因此，函数sin(x)在x = π/2 + kπ处取得极值。
（2）利用周期性求解由于三角函数具有周期性，可以利用周期性来求解极值。
例如，考虑函数f(x)= sin(2x)，它的周期为π。
因此，只需求解f(x)在一个周期内的极值即可。
在区间[0, π]上，函数f(x)在x = π/4处取得最大值1，而在x = 3π/4处取得最小值-1。
三、求解三角函数的最值1. 最值的定义在数学中，最值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
对于三角函数而言，最值点就是函数图像上的最高点或最低点。
2. 求解最值的方法（1）利用周期性求解与求解极值类似，由于三角函数具有周期性，可以利用周期性来求解最值。
例如，考虑函数f(x) = sin(x)，它的周期为2π。
因此，只需求解f(x)在一个周期内的最值即可。
在区间[0, 2π]上，函数f(x)在x = π/2处取得最大值1，而在x = 3π/2处取得最小值-1。
（2）利用函数图像求解通过观察函数的图像，可以直观地确定函数的最值点。
例如，考虑函数f(x) = cos(x)，它的图像是一条波浪线。
从图像上可以看出，函数f(x)在x = 0处取得最大值1，而在x = π处取得最小值-1。
三角函数的最值PPT优秀课件
=
(2+sinx)2-1 2+sinx
=2+sinx-
1 2+sinx
.
令 2+sinx=t,
则
y=f(t)=t-
1 t
(1≤t≤3).
对于任意的 t1, t2[1, 3], 且 t1<t2 有
f(t1)-f(t2)=(t1-
1 t1
)-(t2-
1 t2
)
=(t1-t2)(
1+t1t2 t1t2
) <0.
求 m 的取
解法 2 题中不等式即为 2(1-sin)m>-1-sin2.
∵[0,
2
],
∴0≤sin≤1.
当 sin=1 时, 不等式显然恒成立, 此时 mR;
当 0≤sin<1 时,
m>-
1+sin2 2(1-sin)
恒成立.
令 t=1-sin, 则 t(0, 1], 且
m>-
一、高考要求
1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象 等, 求三角函数的最大值和最小值.
2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和 最小值.
3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来 解决.
二、重点解析
最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一, 需要综 合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函 数基本关系式、三角变换等, 也是函数内容的交汇点, 常见方 法有:
1 2
[(t+a)2+a2-1].
∵a 为常数, ∴只需求 y=(t+a)2 的最值.
∵t[- 2 , 2 ], 且 a≥0,
三角函数求最值五种题型
三角函数求最值五种题型一、最值问题的一般解法：求解三角函数的最值问题可以分为以下五种题型：基本最大、基本最小、最大最小（上下界）、最大、最小。
1.基本最大：即求函数的最大值，通常通过对函数进行求导并令导数为零来求得。
这种情况下，需求导数在给定区间内的零点，并进行极值判断来确定最值。
2.基本最小：与基本最大相反，求函数的最小值，同样需要对函数进行求导并求导数为零，进行极值判断来确定最值。
3.最大最小（上下界）：在给定区间内求函数的最大最小值，需将区间的端点以及函数的驻点和不可导点的值进行比较，以确定最大最小值。
4.最大：在给定区间内寻找函数的最大值。
可以通过对函数进行求导来确定驻点和不可导点，并与区间的端点进行比较，以确定最大值。
5.最小：在给定区间内寻找函数的最小值。
同样可以通过求导来确定驻点和不可导点，并与区间的端点进行比较，以确定最小值。
二、详细解答五种题型：以下是对上述五种题型的详细解答：1.基本最大：Example 1: 求函数f(x) = sin(x)的最大值。
解：首先求得导数f'(x) = cos(x)，令cos(x) = 0，解得x = π/2 + kπ，其中k为整数。
然后对于x = π/2 + kπ，求得对应的函数值f(x) = sin(π/2 +kπ) = (-1)^k，即奇数项取最大值为1，偶数项取最小值为-1所以函数f(x) = sin(x)的最大值为12.基本最小：Example 2: 求函数f(x) = cos(x)的最小值。
解：同样求导得到f'(x) = -sin(x)，令-sin(x) = 0，解得x = kπ，其中k为整数。
然后对于x = kπ，求得对应的函数值f(x) = cos(kπ) = (-1)^k，即奇数项取最小值为-1，偶数项取最大值为1所以函数f(x) = cos(x)的最小值为-13.最大最小（上下界）：Example 3: 在区间[0, 2π]内，求函数f(x) = 2sin(x) + cos(x)的最大最小值。
[方案]三角函数中的最大值与最小值
![[方案]三角函数中的最大值与最小值](https://img.taocdn.com/s3/m/251df01a4b7302768e9951e79b89680202d86b50.png)
三 角 函 数 中 的 最 大 值 与 最 小 值湖南省南县一中 陈敬波(*****************)(413200)三角函数的最值问题是对三角函数的概念、图象与性质以及诱导公式、同角间的基本关系、两角的和与差公式的综合考查,也是函数思想的具体体现．解决三角函数的最值问题可通过适当的三角变换或代数换元,化归为某种三角函数或代数函数,再利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理,通常有以下六种类型．（１） sin y a x b =+（或cos y a x b =+）型的函数此类函数利用sin 1x ≤（或cos 1x ≤）即可求解,max min ||,|a|+b,y a b y =+=-显然这里x R ∈．例1．求sin cos 6y x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最大值与最小值．解：111sin cos sin 2sin sin 2,6266264y x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()max min 1111131,1.244244y y ∴=⨯-==⨯--=-（若不要求记忆和差与积互化公式,则按下列解法）解：21111cos 2cos cos cos cos 22222111111112cos 2sin 2cos 2sin 24442224264x y x x x x x x x x x x x x π⎫+=-=-=-⨯⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--=⨯--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()max min 1111131,1.244244y y ∴=⨯-==⨯--=-（２） sin cos y a x b x =+型的函数()αϕ+其中辅助角ϕ所在的象限由a,b 的符号确定,角ϕ的值由tan ba ϕ=确定．例2．当22x ππ-≤≤时,函数()sin f x x x =的（ ）Ａ． 最大值是１,最小值是－１ Ｂ． 最大值是１,最小值是－12１Ｃ． 最大值是２,最小值是－２ Ｄ． 最大值是２,最小值是－１解析：()sin 2sin .3f x x x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭()()max min 5,,22636,,2,3261,,2 1.3622x x x x f x x x f x πππππππππππ-≤≤∴-≤+≤∴+===⎛⎫+=-=-=⨯-=- ⎪⎝⎭故选（Ｄ）（３） 22sin sin cos cos y a x b x x c x =++型的函数此类函数可先降次,再整理转化为()sin y A x B ωϕ=++的形式来解决．例3．求22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++的最小值,并求y 取最小值时的x 的集合．解：()22222sin 2sin cos 3cos sin cos 2sin cos 2cos y x x x x x x x x x=++=+++()1sin 21cos 2sin 2cos 2224x x x x x π⎛⎫=+++=++=++ ⎪⎝⎭,∴当sin 214x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭即()322,428x k x k k Z πππππ+=-+=-∈时,y 取最小值2,使y 取最小值的x 的集合为3|,.8x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭（４） 2sin cos y a x b x c =++型的函数此类函数可转化为形如()211y At Bt C t =++-≤≤的二次函数,从而讨论其最值．例4.求函数2cos 2sin y x a x a =--(a 为定值)的最大值M.解: ()()2222cos 2sin 1sin 2sin sin 1.y x a x a x a x a x a a a =--=---=-++-+令sin x t =,则()()221||1.y t a a a t =-++-+≤如下图(1)若-a<-1,即a>1,则当t=-1时,有最大值M=-(-1+a)2+a 2-a+1=a;(2)若-1≤-a ≤1,即-1≤a ≤1,则当t=-a 时,有最大值M=a 2-a+1;(3)若-a>1,即a<-1,则当t=1时,有最大值M=-3a.注:本例借助函数思想,把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题.（５） sin cos a x cy b x d+=+型的函数此类函数可转化为()()sin x g y ϕ+=去处理,或利用万能公式换元后用判别去处理.例5.求下列函数的最大值与最小值.()()()3cos 2cos 1;2.2sin 2cos x xy y x R x x-+==∈+-解：（1）原函数可变形为sin cos 32,y x x y +=-即()sin x ϕ+=又()|sin |1x ϕ+≤()22213213128022y y y y y ≤⇔-≤+⇔-+≤⇔≤≤故所求最小值与最大值分别为：2（2）原函数可转化为()21cos ,1y x y -=+则()221131030,1y y y y -≤⇒-+≤+解得min max 113,, 3.33y y y ≤≤∴==（６） 巧用换元法转化为代数函数的最值问题① 对于含有s i n c o s ,s i n c o x x x x ±的函数的最值问题，常用的解决方法是令sin cos ,x x t ±=||t ,将sin cos x x 转化为t 的关系式，最终化归为二次函数或其他函数的最值问题.例6.已知0a <≤求函数()()sin cos y x a x a =++的最值解: ()()()2sin cos sin cos sin cos y x a x a x x a x x a=++=+++设sin cos x x t +=,则21||cos ,2t t x x -≤=()222211122t y at a t a a -⎡⎤∴=++=++-⎣⎦.当t a =-时,2min 12a y -=;当t =, 2max 1.2y a =++例7.求函数sin 21sin cos xy x x =+-的最大值与最小值.解: sin 22sin cos 1sin cos 1sin cos x x xy x x x x==+-+-令:sin cos ,x x t -=则||t ≤且1t ≠-原函数变为:211.1t y t t-==+-则[11)(1,1y ∈--min max 11y y ==② 首先利用换元法转化为代数函数by ax x=+,再利用函数的单调性求最值.例8.已知1sin cos ,0,sin cos 2y x x x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭,求y 的最小值.解析:令11sin cos sin 2,0,,(0,]222u x x x x u π⎛⎫==∈∈ ⎪⎝⎭则11,(0,].2y u u u =+∈由函数的单调性的定义易证1y u u =+在1(0,]2u ∈上是减函数,min 152.22y ∴=+=。
三角函数的极值
三角函数的极值三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
这些函数在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
其中一个重要的概念是极值，即函数的最大值和最小值。
在本文中，将探讨三角函数的极值特性以及如何求解。
一、正弦函数的极值正弦函数是最基本的三角函数之一，表示为sin(x)，其中x为自变量。
正弦函数的定义域是所有实数，值域在[-1, 1]之间。
正弦函数的图像是一条连续的波形，具有无限多个极大值和极小值。
我们可以观察正弦函数的图像，发现它在自变量增大到π/2和3π/2的倍数时，取得极大值1；在自变量增大到π的倍数时，取得极小值-1。
由此可知，正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
除此之外，正弦函数在其他点上的取值介于-1和1之间。
二、余弦函数的极值余弦函数是另一种常见的三角函数，表示为cos(x)。
余弦函数的定义域也是所有实数，值域同样在[-1, 1]之间。
余弦函数的图像形状与正弦函数相似，但相位不同。
与正弦函数类似，余弦函数也有无限多个极大值和极小值。
观察余弦函数的图像，可以发现它在自变量增大到2π的倍数时，取得极大值1；在自变量增大到π/2和3π/2的倍数时，取得极小值-1。
其他点上余弦函数的取值也落在-1和1之间。
三、正切函数的极值正切函数是三角函数中的另一个重要函数，表示为tan(x)。
正切函数的定义域是所有实数，但在某些点上存在无穷大或无穷小的间断点。
正切函数的值域包含所有实数。
正切函数的图像呈周期性分布，并且在自变量增大到π/2的倍数时，取得无穷大的极大值；在自变量增大到π的倍数时，取得无穷小的极小值。
其他点上正切函数的取值没有特殊限制。
四、求解要求解三角函数的极值，我们可以首先观察它们的图像，确定函数的周期性和取值范围。
然后，通过求导数的方法，找到函数在定义域内的临界点。
最后，将临界点带入函数，求得对应的函数值，进一步确定最大值和最小值。
需要注意的是，某些三角函数在定义域的某些点上没有极值，而是趋于无穷大或无穷小。
三角函数的最值问题
三角函数的最值问题河南省漯河实验高中张银焕高中数学中，函数的最值是比较重要的内容之一，并且一直是各类考试的热点问题。
同样，三角函数的最大值，最小值也是非常重要的。
从近几年的高考试卷中可以看到，三角函数的最值问题是高考中一个重要内容。
在学习和教学中发现三角函数最值问题不仅仅是一个热点问题，也是一个难点问题。
一、三角函数最值问题的常见类型1.1y=acosx+bsinx 型.通常是化为y=22b a +sin(x+a),其中（tanΦ=a b ）.这种类型可借助三角函数的值域来求最值.例1当-2π≤x≤2π时，函数f(x)=sinx+3cosx 的最值是什么？分析f(x)=2(12cosx)=2sin(x+3π).由-2π≤x≤2π，可得–6π≤x+3π≤56π,所以–12≤sin(x+3π)≤1.所以-1≤f(x)≤2.所以f(x)的最大值是2、最小值是-1.1.2y=sin sin c x d a x b++型.通常是先解出sinx=d by ay c −−后，再解出不等式|d by ay c−−|≤1得出y 的范围.例2求y=2sin 1sin 2x x −+的最值.分析由y=2sin 1sin 2x x −+，解得sinx=212y y −−−.再有|212y y −−−|≤1，解得-3≤y≤13.所以y 的最大值是13、最小值是-3.1.3y=cos sin c x d a x b++型.通常是将原式化为aysinx-ccosx=d-by,即22)(cay +sin(x-Φ)=d-by.得sin(x-Φ)≤|1|≤1，得出y 的范围.例3求函数y=12sin cos x x ++的最大值.分析由y=12sin cos x x ++，知y≠0.于是原式可以化为ysinx+ycosx=1-2y，即2ysin(x+4π)=1-2y.∵y≠0,∴sin(x+4π)=.解得≤y≤1+.所以y 的最大值是.1.4y=asin 2x+bsinx+c(或y=acos 2x+bcosx+c)型.通常用配方法求最值，但是应该注意条件-1≤sinx1≤以及对称轴与区间[-1，1]的位置关系.例4求函数y=cos 2x-2asinx-a.(a 为定值)的最大值M.分析y=cos 2x-2asinx-a=1-sin 2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a 2-a+1.(1)若a>1,则sinx=-1时，M=-(-1+a)2+a 2-a+1=a.(2)若a<-1,则sinx=1时，M=-(1+a)2+a 2-a+1=-3a.(3)若-1≤a≤1,则sinx=a 时，M=a 2-a+1.1.5y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 型.通常是运用降幂公式、倍角公式整理后化为y=acosx+bsinx 型.例5若0≤θ≤π，且f(θ)=53cos 2θ+3sin 2θ-4sinθcosθ,求f(θ)的最大值和最小值.分析利用降幂公式可得：f(θ)=−−++22cos 1322cos 135θθ)23sin(4332sin 2θπθ−+=.由0≤θ≤π，可得-53π＜3π-2θ≤3π.所以-1≤sin(3π-2θ)≤1.所以f(θ)的最大值是33+4、最小值是33-4.1.6y=sinxcos 2x 型.通常是用均值不等式求解.例6已知sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1(α、β、γ为锐角)，那么cosαcosβcosγ最大值是什么？分析由sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1，得sin 2α+sin 2β=cos 2γ.那么cos 2αcos 2βcos 2γ=cos 2αcos 2β(sin 2α+sin 2β)≤（3sin sin cos cos 2222βαβα+++）3=827.所以.1.7f(sinx±cosx、sinxcosx)型.通常是用和差换元的方法化为二次函数问题.例7求函数y=sinxcosx+sinx+cosx 的最大值.分析设sinx+cosx=t(|t|≤2)，则sinxcosx=212t −.这样y=212t −+t=12(t+1)2-1(-2≤t≤2).所以t=2时y 的最大值是12（2+1）2-1=2+12.二、三角函数最值问题的常见错误.最值问题是中学数学中很常见，很重要的体型，也是高考的热点，此类问题在代数、三角、立体几何和解析几何中屡屡出现，它的解法灵活多变，在学习中发现大家在解题时常常出现错误，而且有的还相当隐蔽，现列举解三角函数最值时常见错误加以分析仅供参考。
如何求解三角函数的最值和周期
如何求解三角函数的最值和周期三角函数是数学中经常遇到的重要函数之一，它在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
在解题中，求解三角函数的最值和周期是常见的问题之一。
本文将介绍如何求解三角函数的最值和周期，并给出相关的方法和例子。
一、求解正弦函数的最值和周期在求解正弦函数的最值和周期时，我们需要注意以下几点：1. 最值：正弦函数的最值在闭区间[-1, 1]内取得，最大值为1，最小值为-1；2. 周期：正弦函数的周期为2π，即正弦函数在[-π, π]内完成一个周期。
二、求解余弦函数的最值和周期对于余弦函数的最值和周期的求解，我们需要注意以下几点：1. 最值：余弦函数的最值也在闭区间[-1, 1]内取得，最大值为1，最小值为-1；2. 周期：余弦函数的周期也为2π，同正弦函数，即余弦函数在[-π, π]内完成一个周期。
三、求解其他三角函数的最值和周期除了正弦函数和余弦函数，其他三角函数（比如正切函数、余切函数、正割函数、余割函数等）也有各自的最值和周期，需要分别求解。
以下是它们的最值和周期的求解方法：1. 正切函数：最值为正无穷和负无穷，其周期是π；2. 余切函数：最值为正无穷和负无穷，其周期也是π；3. 正割函数：最值为正无穷和负无穷，其周期是2π；4. 余割函数：最值为正无穷和负无穷，其周期也是2π。
四、求解三角函数最值和周期的应用举例为了更好地理解求解三角函数最值和周期的方法，我们来看一个具体的例子：例子：求解函数y = 2sin(3x) + 1的最值和周期。
解析：根据正弦函数的性质，我们可以知道最大值和最小值分别为3和-1，周期为2π/3。
通过这个例子，我们可以看到，求解三角函数最值和周期的方法是先分析函数的性质，确定最值和周期的范围，然后根据函数的公式进行计算得出结果。
五、总结求解三角函数的最值和周期是数学中的基本问题，掌握求解方法对于解题非常关键。
在本文中，我们介绍了求解正弦函数和余弦函数最值和周期的方法，并给出了其他三角函数最值和周期的求解方法。
初中数学 如何求解三角函数的最大值和最小值
初中数学如何求解三角函数的最大值和最小值
要求解三角函数的最大值和最小值，我们可以使用代数方法或图像法。
下面将分别介绍这两种方法：
1. 代数方法：
代数方法是通过代数运算来求解三角函数的最大值和最小值。
具体步骤如下：
-确定函数的定义域：首先，我们需要确定求解最大值和最小值的函数的定义域。
这可以通过观察函数图像或根据函数的周期性来确定。
-求导数：对三角函数进行求导，得到导函数。
-解导函数的方程：将导函数等于零，得到一个方程，求解这个方程可以得到驻点（导数为0的点）。
-计算函数值：将驻点和定义域的边界代入原函数，计算函数在这些点的值。
-比较函数值：比较函数值，找到最大值和最小值。
2. 图像法：
图像法是通过观察三角函数的图像来求解最大值和最小值。
具体步骤如下：
-绘制函数图像：使用数学绘图工具或在线图形绘制工具绘制三角函数的图像。
这样可以直观地观察函数的最大值和最小值。
-观察特点：观察图像，找到函数的极值点（最大值和最小值）。
这些点通常出现在函数的波峰和波谷处。
-确定最大值和最小值：根据函数的周期性和对称性，我们可以确定所有的最大值和最小值。
总结：
通过代数方法或图像法，我们可以求解三角函数的最大值和最小值。
代数方法适用于通过求导数和解方程来求解最大值和最小值，而图像法适用于通过观察图像来确定最大值和最小值。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的方法，或结合两种方法进行求解，可以更准确地找到三角函数的最大值和最小值。
高三数学三角函数的最值问题分类例析
三角函数的最值问题分类例析三角函数式的最值问题是函数最值的重要组成部分，也是历屉高考的热点之一。
三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与代数中的二次函数、一元二次议程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。
因此，三角函数的最值问题的求解，往往要综合应用多方面的知识。
三角函数的最值问题的类型很好，其常见类型有以下几种： 一、y=asinx+b （或y=acosx+b ）型 处理方法：利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。
例1 函数y =a cos x +b （a 、b 为常数），若－7≤y ≤1，求b sin x +a cos x 的最大值. 剖析：函数y =a cos x +b 的最值与a 的符号有关，故需对a 分类讨论.解：当a ＞0时，⇒⎩⎨⎧=+-=+71b a b a a =4，b =－3； 当a =0时，不合题意；当a ＜0时，⇒⎩⎨⎧-=+=+-71b a b a a =－4，b =－3. 当a =4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x +4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=－34）； 当a =－4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x －4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=34）. ∴b sin x +a cos x 的最大值为5.例2．例3已知函数()b a x x a x a x f++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，值域为[5,1]-，求常数a 、b 的值. 解：∵()b a x a x a x f++--=22sin 32cos ，b a x a ++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=232cos 2π .∵20π≤≤x ，∴32323πππ≤-≤-x ，∴1 32cos 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx .当0a >时，()3b f x a b ≤≤+.∴⎩⎨⎧-==+.513b b a ，解得⎩⎨⎧-==.52b a ，当0a <时，3()a b f x b +≤≤.∴⎩⎨⎧=-=+.153b b a ，解得⎩⎨⎧=-=.12b a ，故a 、b 的值为⎩⎨⎧-==52b a 或⎩⎨⎧=-=12b a感悟：分类讨论是重要的数学思想方法，本例若不对常数a 进行讨论，将会出错。
三类常见的三角函数最值问题及其解法
思路探寻在近几年的高考数学试题中，三角函数最值问题屡见不鲜.此类问题一般具有较强的综合性、抽象性，侧重于考查同学们的抽象思维能力和综合处理问题的能力.本文重点谈一谈三类常见的三角函数最值问题及其求法一、求一次三角函数的最值一次三角函数最值问题属于常规题目.解答此类问题，需灵活运用三角函数中的诱导公式、两角和差公式、辅助角公式等进行三角恒等变换，将三角函数式转化为只含有一个角、一种函数名称的式子，然后根据三角函数的图象和性质来求得函数的最值.例1.求函数f ()x =cos x ()2sin x +3cos x 的最值.解：f ()x =2sin x cos x +3cos 2x =sin 2x +32cos 2x +32=sin ()2x +φ+32(2x +φ+32.由于||sin ()2x +φ≤1，因≤f ()x 那么函数的最大值是.第一步，我们要仔细观察三角函数的形式，将其进行适当的变形.若三角函数式中含有括号就要先将括号去掉；若含有两种不同的函数名称，就需用辅助角公式或tan x =sin xcos x将函数名称统一；若含有两个不同的角，就需用诱导公式、两角和差公式将角统一，最后根据三角函数的图象和性质求得最值.二、求二次三角函数的最值解答二次三角函数最值问题，我们一般要先利用二倍角sin 2x =2sin x cos x 、cos 2x =2cos 2-1=1-2sin 2x或其变形式2cos 2x =cos 2x -1、sin 2x =1-cos 2x 2等，将三角函数式的幂或角统一，将其转化成为f ()x =A sin ()ωx +φ+B 的形式，或者只含有一种函数名称的二次式，然后利用三角函数的有界性和二次函数的性质来求最值.例2.已知函数f ()x =23sin x cos x +2cos 2x -1()x ∈R .试求出函数f ()x 的最小正周期，以及当x ∈éëùû0，π2时f ()x 的最大值与最小值.分析：该三角函数式中含有二次式，需先用正弦、余弦的二倍角公式将其化简，然后利用辅助角公式，将其转化为只含有一种函数名称的函数式，再根据正余弦函数的单调性和有界性便可求得原函数的最值.解：f ()x =23sin x cos x +2cos 2x -1=3()2sin x cos x +()2cos 2x -1=3sin 2x +cos 2x =2sin æèöø2x +π6.因此这个函数的最小正周期是T =2π2=π.当x ∈éëùû0，π6，即2x +π6∈éëùûπ6，π2时，函数f ()x 单调递增；而当x ∈éëùûπ6，π2，即2x +π6∈éëùûπ2，7π6时，函数f ()x 单调递减，因此当x =π6时，函数取最大值f æèöøπ6=2sin π2=2；当x =π2时，函数取最小值f æèöøπ2=2sin 7π6=-1.三、求含有分式的三角函数的最值求含有分式的三角函数的最值有两种思路，第一种思路是尝试将常数分离，求得分离后含有变量式子的最值便可解题；第二种思路是，将函数y =f (x )看作参数，将函数式变形为整式，然后运用辅助角公式，将其转化为A sin ()ωx +φ+B 或A cos ()ωx +φ+B 的形式，再利用正余弦函数的有界性来建立关系式，解不等式便可求得y 的取值范围，进而确定函数的最值.例3.求函数y =sin x -23-2sin x 的最值.解：将y =sin x -23-2sin x变形可得()2y +1sin x =3y +2æèöøy ≠-12，即sin x =3y +22y +1.又因为||sin x ≤1，则||||||3y +22y +1≤1，将其两边同时平方可得()3y +22≤()2y +12，解得-1≤y ≤-35，因此函数的最大值为-35，最小值为-1.我们先将函数式变形为一边只含有sin x 、一边不含有sin x 的式子，然后根据y =sin x 的有界性求3y +22y +1的取值范围，求出y 的取值范围便可以确定函数的最值.总之，要想顺利求得三角函数的最值，我们需熟练掌握三角函数中的基本公式以及三角恒等变换的技巧，先将所求函数式化简为只含有一个角、一种函数名称、次数统一的最简形式，然后根据三角函数的单调性和有界性来求得原函数的最值.王国顺46。
三角函数最值问题的几种常见类型
三角函数最值问题的几种常见类型三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。
其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。
题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型。
掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。
一、例1求函数y 4cos(2)36x π=-++ 的最值析：max min cos(2)1y 7cos(2)1y 43166x x ππ+=-=+==-+=-当时，；当时，例2、求函数y 4sin(2)3,0,62x x ππ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭ 的最值 析、50,,2,2666x x ππππ⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 52,y 4sint 3,t ,666t x πππ⎛⎫=-=+∈- ⎪⎝⎭令则51t ,sin 1,4sin 37662t t ππ-≤≤∴-≤≤≤+≤ 则1max min 7,1y y ==所以，55(=20=26666662t x x t x x πππππππ-=-=当-，即=-,时取到最小值。
当，即=,时取到最大值二、y=asinx+bcosx 型的函数特点是含有正余弦函数，并且是一次式。
解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。
应用课本中现成的公式即可：，其中tan baφ=例3：已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin2x +sin x cos x(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最值及取得最值时相应的x 的值； 解：(1)f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin2x +sin x cos x=2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3π)－3sin 2x +sin x cos x=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π)∴f (x )的最小正周期T =π(2)当2x +3π=2kπ－2π，即x =kπ－125π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.当2x +3π=2kπ+2π，即x =kπ+12π (k ∈Z )时，f (x )取得最大值2.三、y=asin2x+bsinxcosx+cos 2x 型的函数。
高考数学复习三角函数的最值
4.9 三角函数的最值●知识梳理1.y =a sin x +b cos x 型函数最值的求法.常转化为y =22b a +sin （x +ϕ），其中tan ϕ=ab . 2.y =a sin 2x +b sin x +c 型.常通过换元法转化为y =at 2+bt +c 型.3.y =d x c bx a ++cos sin 型.（1）转化为型1.（2）转化为直线的斜率求解. 4.利用单调性. ●点击双基 1.若0＜α＜β＜4π，sin α+cos α=a ，sin β+cos β=b ，则 A.a ＜b ＜1 B.a ＞b ＞1 C.ab ＜1D.ab ＞1解析：a =2sin （α+4π），b =2sin （β+4π），0＜α+4π＜β+4π＜2π，∴1＜a ＜b ，ab ＞1.答案：D2.函数f （x ）=cos 2x +sin x 在区间［－4π，4π］上的最小值是 A.212- B.－221+ C.－1D.221- 解析：f （x ）=1－sin 2x +sin x =－（sin x －21）2+45. ∴当x =－4π时，y min =221-.答案：D3.函数y =x －sin x 在［2π，π］上的最大值是 A.2π－1 B.2π3+1 C.2π3－22D.π解析：y =x －sin x 在［2π，π］上是增函数，∴x =π时，y max =π. 答案：D 4.y =xxsin 2sin +的最大值是_________，最小值是_________.解析一：y =x x sin 22sin 2+-+=1－xsin 22+.当sin x =－1时，得y min =－1， 当sin x =1时，得y max =31.解析二：原式⇒sin x =yy-12（∵y ≠1）⇒|y y -12|≤1⇒－1≤y ≤31. ∴y max =31，y min =－1.答案：31－15.y =xxsin cos 2-（0＜x ＜π）的最小值是________.解析一：y =xxsin cos 2-⇒y sin x +cos x =2⇒21y +sin （x +ϕ）=2⇒sin （x +ϕ）=212y+（x ∈（0，π））⇒0＜212y+≤1⇒y ≥3.∴y min =3.解析二：y 可视为点A （－sin x ，cos x ），B （0，2）连线的斜率k AB ，而点A 的轨迹 ⎩⎨⎧='-='，，x y x x cos sin x ∈（0，π）是单位圆在第二、三象限的部分（如下图），易知当A （－23，21）时，y min =k AB =3.答案：3●典例剖析【例1】 函数y =a cos x +b （a 、b 为常数），若－7≤y ≤1，求b sin x +a cos x 的最大值.剖析：函数y =a cos x +b 的最值与a 的符号有关，故需对a 分类讨论. 解：当a ＞0时，⇒⎩⎨⎧=+-=+71b a b a a =4，b =－3；当a =0时，不合题意；当a ＜0时，⇒⎩⎨⎧-=+=+-71b a b a a =－4，b =－3.当a =4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x +4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=－34）； 当a =－4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x －4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=34）. ∴b sin x +a cos x 的最大值为5.【例2】 求函数y =cot 2xsin x +cot x sin2x 的最值. 剖析：先将切函数化成弦函数，再通过配方转化成求二次函数的最值问题. 解：y =x x sin cos 1+·sin x +xxsin cos ·2sin x cos x =2（cos x +41）2+87. ∵sin x ≠0，∴cos x ≠±1. ∴当cos x =－41时，y 有最小值87，无最大值. 评述：这是个基本题型，解题时要注意式中的隐含条件. 【例3】 求函数y =xxcos 2sin 2--的最大值和最小值.剖析：此题的解法较多，一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y 看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题（由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可）.解法一：去分母，原式化为 sin x －y cos x =2－2y ，即sin （x －ϕ）=2122yy +-.故21|22|y y +-≤1，解得374-≤y ≤374+. ∴y max =374+，y min =374-. 解法二：令x 1=cos x ，y 1=sin x ，有x 12+y 12=1.它表示单位圆，则所给函数y 就是经过定点P （2，2）以及该圆上的动点M （cos x ，sin x ）的直线PM 的斜率k ，故只需求此直线的斜率k 的最值即可.由21|22|k k +-=1，得k =374±.n )x∴y max =374+，y min =374-. 评述：数形结合法是高考中必考的数学思维方法，对此读者要有足够的重视.●闯关训练 夯实基础1.函数y =log 2（1+sin x ）+log 2（1－sin x ），当x ∈［－6π，4π］时的值域为 A.［－1，0］ B.（－1，0］ C.［0，1）D.［0，1］解析：y =log 2（1－sin 2x ）=log 2cos 2x . 当x =0时，y max =log 21=0； 当x =4π时，y min =－1.∴值域为［－1，0］. 答案：A2.当y =2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是 A.23 B.－23 C.13 D.4解析：y =13sin （ϕ－x ）（其中tan ϕ=32）.y 有最大值时，应sin （ϕ－x ）=1⇒ϕ－x =2k π+2π⇒－x =2k π+2π－ϕ. ∴tan x =－tan （－x ）=－tan （2k π+2π－ϕ）=－cot ϕ=－ϕtan 1=－23.答案：B 3.函数y =2sin 1sin 3+-x x 的最大值是_______，最小值是_______.解析：∵y =2sin 1sin 3+-x x =2sin 72sin 3+-+x x ）（=3－2sin 7+x ，∴当sin x =1时，y max =3－37=32； 当sin x =－1时，y min =－4. 答案：32－4 4.在△ABC 中，a =sin （A +B ），b =sin A +sin B ，则a 与b 的大小关系为_______. 解析：a =sin A cos B +cos A sin B ＜sin A +sin B =b . 答案：a ＜b 5已知向量a =（cos θ，sin θ），向量b =（3，－1），则|2a －b |的最大值是____________. 解析：∵2a －b =（2cos θ－3，2sin θ+1），∴|2a －b |=22sin 23cos 2）（）（1++-θθ=）（3πsin 88-+θ≤4. ∴|2a －b |的最大值为4. 答案：46.求y =1+sin x +cos x +sin x cos x 的值域. 解：设t =sin x +cos x ，则t ∈［－2，2］. 由（sin x +cos x ）2=t 2⇒sin x cos x =212-t .∴y =1+t +212-t =21（t +1）2.∴y max =21（2+1）2=2223+，y min =0.∴值域为［0，2223+］.培养能力7.已知对任意x ，恒有y ≥sin 2x +4sin 2x cos 2x ，求y 的最小值. 解：令u =sin 2x +4sin 2x cos 2x ，则u =sin 2x +sin 22x =21（1－cos2x ）+（1－cos 22x ）=－cos 22x －21cos2x +23=－（cos2x +41）2+1625，得u max =1625.由y ≥u 知y min =1625. 8.已知向量a =（cos 23x ，sin 23x ），b =（cos 2x ，－sin 2x），c =（3，－1），其中x ∈R .（1）当a ⊥b 时，求x 值的集合；（2）求|a －c |的最大值.解：（1）由a ⊥b 得a ·b =0，即cos 23x cos 2x －sin 23x sin 2x=0.则cos2x =0，得x =2πk +4π（k ∈Z ）. ∴{x |x =2πk +4π，k ∈Z }为所求. （2）|a －c |2=（cos23x －3）2+（sin 23x +1）2=5+4sin （23x －3π）， ∴|a －c |有最大值3. 探究创新 9.设函数f （x ）=a sin ωx +b cos ωx （ω＞0）的最小正周期为π，并且当x =12π时，有最大值f （12π）=4. （1）求a 、b 、ω的值；（2）若角α、β的终边不共线，f （α）=f （β）=0，求tan （α+β）的值.解：（1）由ωπ2=π，ω＞0得ω=2.∴f （x ）=a sin2x +b cos2x . 由x =12π时，f （x ）的最大值为4， 得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.3224232422b a b a b a ，（2）由（1）得f （x ）=4sin （2x +3π）. 依题意有4sin （2α+3π）=4sin （2β+3π）=0. ∴sin （2α+3π）－sin （2β+3π）=0. ∴cos （α+β+3π）sin （α－β）=0（和差化积公式见课本）. ∵α、β的终边不共线，即α－β≠k π（k ∈Z ）， 故sin （α－β）≠0. ∴α+β=k π+6π（k ∈Z ）.∴tan （α+β）=33.●思悟小结1.求三角函数最值的常用方法有：①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形结合法（常用到直线的斜率关系）；④换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；⑤基本不等式法等.2.三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间. （1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性.（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响. 3.注意题中的隐含条件. ●教师下载中心 教学点睛1.建议让学生从做“点击双基”中体会总结方法.2.例题也可由学生独立完成，并从中总结方法. 拓展题例【例题】 （2001年春季全国）已知sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1（α、β、γ均为锐角），那么cos αcos βcos γ的最大值等于_______.解析：∵sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1， ∴3－（cos 2α+cos 2β+cos 2γ）=1.∴cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2≥33γβα222cos cos cos . ∴cos 2αcos 2βcos 2γ≤（32）3.∴cos αcos βcos γ≤332）（=3232=962. 答案：962。
高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法
高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一．转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.例1．求函数2cos 1y x =-的值域[分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈-二. 转化sin()y A x b ωϕ=++(辅助角法)观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为.[分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值.()f x ≤三. 转化二次函数(配方法)若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.例3． 求函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值.[分析]利用22sin cos 1x x +=将原函数转化为2cos 3cos 2+-=x x y ，令cos t x =，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t Θ当t=1时,即cosx=1时，0min =y四. 引入参数转化（换元法）对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与sinxcosx 的函数，运用关系式(),cos sin 21cos sin 2x x x x ±=± 一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.例4. 求函数sin cos sin .cos y x x x x =++的最大值.[分析]解：令().cos sin 21cos sin 2x x x x +=+，设sin cos .t x x =+则[]()t t y t t x x +-=∴-∈-=21,2,221cos sin 22，其中[]2,2-∈t 当.221,14sin ,2max +=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x t π 五. 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.例5. 已知()π,0∈x ，求函数1sin 2sin y x x =+的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设()1sin ,01,2x t t y t t =<≤=+≥=2t =. 六．利用函数在区间内的单调性 例6.已知()π,0∈x ，求函数x x y sin 2sin +=的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解. 设()t t y t t x 1,10,sin +=≤<=，在（0，1）上为减函数，当t=1时，3min =y .七．转化部分分式例7．求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域[分析] 此为dx c b x a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解. 解法一：原函数变形为1cos ,1cos 221≤-+=x x y Θ，可直接得到：3≥y 或.31≤y 解法一：原函数变形为()()∴≤-+∴≤-+=,1121,1cos ,121cos y y x y y x Θ3≥y 或.31≤y 八． 数形结合由于1cos sin 22=+x x ，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得. 例8． 求函数()π<<--=x xx y 0cos 2sin 的最小值. [分析] 法一：将表达式改写成,cos 2sin 0x x y --=y 可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率.由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小.设过点A 的切线与半圆相切与点B,则.0<≤y k AB 可求得.3365tan -==πAB k 所以y 的最小值为33-（此时3π=x ）. 法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=()φ++x b a sin 22（即引入辅助角法）和有界性来求解.九． 判别式法例9．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最值. [分析] 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法.解：()()()()222tan tan 1tan tan 11tan 1tan 101,tan 0,x x y x x y x y x y y x x k k ππ-+=++∴-+++-=∴===∈1≠y 时此时一元二次方程总有实数解()()()().3310313,014122≤≤∴≤--∴≥--+=∆∴y y y y y 由y=3，tanx=-1，()3,4max =∈+=∴y z k k x ππ 由.31,4,1tan ,31min =+=∴==y k x x y ππ 十． 分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论.例10.设()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a). 解：().214sin sin 2+-+-=a x a x x f 令sinx=t,则,10≤≤t ()().21442214222+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-==a a a t a at t x f t g （1） 当12≥a ，即()t g a ,2≥在[0，1]上递增， ()();21431-==a g a M （2） 当,120≤≤a 即20≤≤a 时，()t g 在[0，1]上先增后减，();214422+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a g a M （3） 当,02≤a 即()t g a ,0≤在[0，1]上递减，()().4210a g a M -== ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+-≥-=∴0,42120,21442,21432a a a a a a a a M以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见.解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在.挑战自我：1.求函数y=5sinx+cos2x 的最值2.已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.3.已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值.参考答案：1.[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一. ()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππΘ 2.[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解.解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ∴ f(x)的最小正周期为π，最大值为21+.3.[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式. 解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=+=42212sin 2cos 1cos sin 2sin 22πx sn x x x x x x f。
三角函数最值问题的十种常见解法
三角函数最值问题的十种常见解法t=sinx+cosx，则y=t+sinx*cosx，利用关系式sinx*cosx≤1可得y≤t+1，而t的取值范围为[-√2,√2]，当t=√2时，y取得最大值√2+1.五.利用导数法求极值对于一些复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解.例如对于y=2sinx+3cosx+4sin2x，求其最大值.分析]解：y'=2cosx-3sinx+8cos2x，令y'=0，得cosx=3/10或cosx=-1/2，代入原式可得y的最大值为(7+8√6)/5.六.利用三角函数的周期性对于周期函数，可以利用其周期性来求解最值问题.例如对于y=3sin(2x+π/6)+4cos(2x-π/3)，求其最大值.分析]解：由于sin和cos函数都是周期为2π的函数，因此可以将y化简为y=3sin2x+4cos2x+3√3，利用三角函数的性质可得y的最大值为7+3√3.七.利用三角函数的单调性对于单调函数，可以利用其单调性来求解最值问题.例如对于y=2sinx+3cosx，求其最小值.分析]解：y的导数y'=2cosx-3sinx，y'的符号与sinx和cosx的符号相同，因此y在[π/2,π]上单调递减，在[0,π/2]上单调递增，因此y的最小值为y(π/2)=2.八.利用三角函数的对称性对于一些具有对称性的三角函数，可以利用其对称性来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：y=sin2x+cos2x=1，因此y的最大值为1，最小值也为1.九.利用三角函数的积分性质对于一些三角函数的积分性质，可以利用其求解最值问题.例如对于y=sin2x/x，求其最大值.分析]解：y'=2cos2x/x-sin2x/x²，令y'=0，得x=tanx，代入原式可得y的最大值为2.十.利用三角函数的平均值不等式对于一些三角函数，可以利用其平均值不等式来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：由平均值不等式可得(sin2x+cos2x)/2≥sinx*cosx，因此y的最大值为1，最小值也为1.sin x+\cos x=1+2\sin x\cos x$，设$t=\sin x+\cos x$，则$2\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$，$\therefore y=\frac{t+\frac{t^2-1}{2}}{2}=\frac{t^2+t-1}{4}$，其中$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。
三角函数最大值和最小值求法
三角函数最大值和最小值求法
三角函数是在坐标系中反比例表示的函数，它以弧度为变量，可以在一定范围内变化。
三角函数是数学中具有极大意义的函数，也是物理和化学中经常使用的函数。
一般来说，要求三角函数的最大值和最小值，首先要知道这个三角函数的范围。
比如，正弦函数的变化范围是 -π／2到π／2。
根据三角函数的定义，给定范围内它的最大值
就是最大数值，最小值就是最小数值。
除正弦函数外，另外还有余弦函数、正切函数等多种三角函数。
对于余弦函数，它的
变化范围是0到2π，其最大值为1,最小值为-1；对于正切函数来说，它的变化范围是 -
π／2到π／2，其最大值为无穷大，最小值为无穷小。
总之，只要知道三角函数可变化的范围，就可以求出最大值和最小值，它们的计算有
一定的规律可循。
三角函数的最值问题
三角函数的最值问题三角函数的最值问题是本学期高一的一个重要的专题，本文可作为课外辅导材料，也可作为三角函数的一个专题复习内容。
三角函数的最值问题的训练可提高学生灵活运用三角公式、三角函数图象性质的能力。
求三角函数的最值要注意其特殊性（正、余弦的有界性），同时也要注意运用求一般函数最值的通法（如运用函数的单调性，配方法等）。
求三角函数的最值往往先通过适当的三角变换或代数换元化归为基本类型的三角函数或代数函数。
常见的三角函数最值的基本类型有： （1）y=asinx+b （或y=acosx+b ）型，利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。
（2）y=asinx+bcosx 型，引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。
Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。
（3）y=asin 2x+bsinx+c （或y=acos 2x+bcosx+c ），型，可令t=sinx （t=cosx ）,-1≤t ≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。
（4）Y=dx c b x a ++si n si n （或y=dx b x a ++cos cos ）型，解出sinx （或cosx ）,利用()1c o s 1s in ≤≤x x 或去解；或用分离常数的方法去解决。
（5）y=dx c b x a ++cos sin （y=dx c b x a ++sin cos ）型，可化归为sin （x+ϕ）g （y ）去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c 时，还可利用数形结合的方法去处理上。
（6）对于含有sinx±cosx,sinxcosx 的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t,2≤t ,将sinxcosx 转化为t 的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。
三角函数中的范围与最值问题
三角函数中的范围与最值问题三角函数是高中数学中的重要内容，涉及到了一系列的概念和性质。
其中，范围与最值问题是我们在学习和运用三角函数时必须要了解和掌握的核心内容之一。
一、正弦函数的范围与最值问题正弦函数是三角函数中的一种基本函数。
一般来说，正弦函数的取值范围是[-1,1]，即在数轴上对应的y值在-1到1之间变化。
而在该范围内，最值问题也是我们需要关注的重点。
在正弦函数中，最小值为-1，当角度为270度或者-90度时取到；最大值为1，当角度为90度或者270度时取到。
在这个范围内，我们可以用函数的性质和图像来帮助我们更好地理解和应用。
二、余弦函数的范围与最值问题余弦函数也是三角函数中的一种基本函数。
与正弦函数相似，余弦函数的范围也是[-1,1]，即对应的y值在-1到1之间变动。
同样地，在这个范围内，最值问题是我们需要研究的重要内容。
在余弦函数中，最小值为-1，当角度为0度或者360度时取到；最大值为1，当角度为180度或者-180度时取到。
这些数值也是我们在解题中需要牢记的关键点。
三、正切函数的范围与最值问题正切函数是三角函数中的另一种基本函数，其范围是整个实数集。
由于正切函数存在周期性，所以我们并不能给出它的最大值和最小值。
然而，由于正切函数的特性，在一些特定的角度处可以观察到它的最值。
正切函数在角度为90度或者270度时取到最大值，其值无穷大；在角度为0度、180度、360度，以及其他使得余弦函数为0的角度处，正切函数取到最小值，其值为0。
综上所述，三角函数中的范围与最值问题是我们需要重点研究和掌握的内容。
通过深入理解和熟练运用三角函数的性质和图像，我们可以更好地解决与三角函数相关的各种问题。
希望本文对你的学习和理解有所帮助。
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八：三角函数的最值
一、知识回顾
1、求三角函数最值的常用方法有：（1）配方法；（2）化为一个角的三角函数形式，如
sin()y A x k ωϕ=++等，利用三角函数的有界性求解；
（3）数形结合法；（4）换元法；（5）基本不等式法等.
2、三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的角的范围，还要注意弦函数的有界性.
二、基本训练
1、设函数()sin 2(0)f x a x b a =+<，则()f x 的最大值是 .
2、函数sin cos 2y x x =++的最小值是 .
3、函数2()cos sin f x x x =+在区间[,]44
ππ-上的最小值是 （ ） A
B
、 C 、－1 D
4、函数sin sin 2
x y x =+的最大值是 ，最小值是 .
5、函数222sin sin y x x =+在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦
上的最小值是 . 三、例题分析
例1、
求函数2sin cos 1y x x x =-的最值，并求取得最值时的x 值.
例2、求2sin 2cos x y x
-=-的最大值和最小值.
例3、
求函数(sin )(cos )(0y x a x a a =++<≤的最值.
例4、已知8()3k k Z παβαπ-=≠∈且，求21cos()4sin ()44csc sin 22
παπβαα-----的最大值及取得 最大值的条件.
例5、（05江西卷） 已知向量x f x x x x ⋅=-+=+=)()),4
2tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令πππ. 求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间.
例6、（05重庆卷）若函数)2cos(2sin )2
sin(42cos 1)(x x a x x x f --++=π的最大值为2，试确定常 数a 的值.
四、作业
1、函数|sin |2sin y x x =-的值域为 （ ）
A 、[3,1]--
B 、[－1,3]
C 、[0, 3]
D 、[－3, 0]
2、若2αβπ+=，则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是 （ ）
A 、7, 5
B 、7，112-
C 、5，112
- D 、7，－5
3、当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是 （ ）
A 、32
B 、32
- C
D 、4 4、（05全国卷Ⅰ）当20π
<<x 时，函数x x x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 （A ）2 （B ）32 （C ）4 （D ）34
5、.(05浙江卷)已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( )
(A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1
6、（05上海卷）函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________。
7、2y sin x(sin x cos x )=+的最大值是＿＿＿＿＿。
8、函数3f (x )cos x cos(x )π
=++的最小值是＿＿＿＿＿＿。
9、求1y sin x cos x sin xcos x =+++的最值。
10、求函数33210
sin x y cos x -=+的最大值和最小值。
11、设关于x 的函数22221y cos x acos x (a )=--+的最小值为f (a ).
（1）试用a 写出f (a )的表达式；
（2）试确定12
f (a )=的a 值，并对此时的a 求出y 的最大值。
12、求函数2122sin x y sin x sin x
-=-+的最大、最小值。
答案：
基本训练、1、b a - 2
、2 3、D 4、13
；－1 5、3 例题分析、例1、当()3x k k Z ππ=+∈时，max 12y =，当()6x k k Z ππ=-∈时，min 32
y =- 例2
、max 43y +=
，min 43
y = 例3、2min 12a y -=
，2max 12y a =+例4、当4()3k k Z π
απ=+∈时，最大值为0
例5、解：)4
2tan()42tan()42sin(2cos
22)(πππ--++=⋅=x x x x b a x f
21t a n t a n 122)2221tan 1tan 22
2sin cos 2cos 1222
x x x x x x x x x x +-=++⋅-+=+- x x cos sin += =)4sin(2π
+x . 所以2)(的最大值为x f ，最小正周期为,2π]4,0[)(π在x f 上单调递增，[,]42
ππ上单调递减. 例6、
.
15,.44
4111sin ),sin(441sin 2
cos 212
cos 2sin cos 4cos 2)(:2
22
2±==++=++=+=+=a a a x a x a x x x a x x x f 解之得由已知有满足其中角解ϕϕϕ
作业、1—5、BDBCA
6、13k << 7
1 8
、 9
、302
max min y ,y +== 10、0 58- 11、（1）2
21214212a a a f (a )a a a ⎧---≤≤⎪⎪⎪=->⎨⎪<-⎪⎪⎩
-22
（2）max 1,5a y =-=
12、max min 1,02y y ==。