浙江省杭州市2019届高三高考模拟卷模拟数学试卷12附答案

绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数 学
本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：
若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概
率()C (1)
(0,1,2,,)k k n k
n n P k p p k n -=-=
台体的体积公式11221
()3V S S S S h =
其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高
柱体的体积公式V Sh =
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
锥体的体积公式1
3
V Sh =
其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
球的表面积公式
24S R =π
球的体积公式
34
3
V R =π
其中R 表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. （原创）已知集合{}1,3,4A =，{}2,4B =，{}1,2,5C =，则()A
B C =（ ）
{}.2A {}.1,2B {}.1,2,4C {}.1,2,4,5D
（命题意图：考察集合的关系与集合的运算，属容易题） 【预设难度系数】0.85 2. （原创）若2z i =+，则
23
i
zz =-（ ） .1A .1B - .C i .D i -
（命题意图：考察复数的概念及运算，属容易题） 【预设难度系数】0.85
3. （改编自2017浙江镇海中学模拟卷二）已知抛物线2
:2C y x =-，则其准线方程为（ ）
1.2A x =
1.2B x =- 1.8C y = 1.8
D y =- （命题意图：考察抛物线的简单几何性质，属容易题） 【预设难度系数】0.8
4. （原创）设l 是平面α外的一条直线，m 是平面α内的一条直线，则“m l ⊥”是“α⊥l ”的（ ） .A 充要条件 .B 充分不必要条件
.C 必要不充分条件 .D 既不充分又不必要条件
（命题意图：考察空间线面的位置关系，充分条件，必要条件，属容易题） 【预设难度系数】0.8
5. （原创）随机变量X 的取值为0，1，2，若()1
05
P X ==
，()1E X =，则()D X =（ ） 1.5A 2
.5
B 5
C 10
D （命题意图：考察离散型随机变量的均值与方差问题，属容易题） 【预设难度系数】0.85
6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
1.3A π+
2.3B π+ 1.23C π+ 2
.23
D π+ （命题意图：考察三视图，能画出直观图，求几何体的体积，属中档题） 【预设难度系数】0.7
()(1cos )sin f x x x =-[],ππ-
（命题意图：考察函数的图像，属中档题） 【预设难度系数】0.65
8. （改编自2017浙江测试卷）在三棱锥D ABC -中，记二面角C AB D --的平面角为θ，直线DA 与平
面ABC 所成的角为1θ，直线DA 与BC 所成的角为2θ，则（ ）
1.A θθ≥ 1.B θθ≤
2.C θθ≥ 2.D θθ≤
（命题意图：考察立体几何线线角、线面角问题，属中档偏难题） 【预设难度系数】0.55
9. （改编自镇海中学交流卷）已知2a b c ===，且0a b ⋅=，()()
0a c b c -⋅-≤，则a b c ++（ ）
.2225A -有最小值，最大值 .5222B +有最小值，最大值.5222C +有最小值，最大值.1225D -有最小值，最大值
（命题意图：考察平面向量的综合应用，属较难题） 【预设难度系数】0.55 10. 已知函数
()23,1,2, 1.
x x x x x x f x -+≤+>⎧=⎨⎩设a R ∈，若关于x 的不等式()2x
f x a
≥+在R 上恒成立，则a 的取值范
围是（ ）
47.,216A ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 4739.,1616B ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ .23,2C ⎡⎤-⎣⎦ 39.23,16D ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
（命题意图：考察分段函数的应用及不等式恒成立问题，属较难题） 【预设难度系数】0.5
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11. （原创）已知{
0≤-≥+y x y x ，a y
≤，若123z x y =+的最大值为10，则a 的值为 ；若22z x y =-，
则2z 的最小值为 .
（命题意图：考察简单的线性规划问题，属容易题） 【预设难度系数】0.85
12. （原创）从分别写有数字1,2,3,4,5,6的6张纸条中依次抽出两张，则抽得的第一张纸条小于第二张纸
条的概率为 .
（命题意图：考察简单的古典概型问题，属容易题） 【预设难度系数】0.85
13. （原创）二项式6
32x x ⎛ ⎝
的展开式中，4
x 的系数是 ；第3项为 .
（命题意图：考察二项式定理，属容易题） 【预设难度系数】0.85
14. （原创）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且C b B a sin sin 7=，则=c
a
； 若1=a ，3=b ，则=∆ABC S . （命题意图：考察正、余弦定理，属中档题） 【预设难度系数】0.75
15. 已知数列{}n a 满足115a =，且12n n a a n +-=，则数列{}n a 的通项公式n a = ；
n
a n
的最小值为 .
（命题意图：考察数列通项公式的求解方法，属中档题） 【预设难度系数】0.75
16. （原创）设函数()()sin cos 0f x a x b x ab =+≠的最小值是53f π⎛⎫
-
⎪⎝⎭，且()02f =，则3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为 .
（命题意图：考察三角函数的综合应用，属中档偏难题） 【预设难度系数】0.65
17. 已知向量a ，b ，2a =，1b =，向量()()21c xa x b x R =+-∈若c 取最小值3m 满足
()()0a m c m -⋅-=，则m 的取值范围是 .
（命题意图：考察向量运算的集合意义及线性运算，属较难题） 【预设难度系数】0.5
三、解答题：本大题共5小题，共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18. （原创）（本题满分14分）已知函数()2cos 2sin 3cos 23x x x x f -⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=π （Ⅰ）求()x f 的最小正周期； （Ⅱ）求证：当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
∈3,6ππx 时，()41≥x f .
（命题意图：考察正余弦函数的综合应用，属容易题） 【预设难度系数】0.75
19. （本题满分15分）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，O 为AC 的中点，点P 为平面
ABCD 外一点，且平面PAC ⊥平面ABCD ，1PO =，2PA =.
（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.
（命题意图：考察空间中线面垂直的判断及用向量、几何法求面面角，属中档题） 【预设难度系数】0.65
20. （改编自网络）（本题满分15分）已知数列{}n a 是递增的等比数列，满足11=a ，且
33
5
a 是2a ，4a 的等差中项，数列{}n
b 满足11=--n n b b ，其前n 项和为n S ，且346a S S =-. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）数列{}n a 的前n 项和为n T ，若不等式()n b T n n n 4712log 3≥+-+λ对2≥n 恒成立，求实数λ的取值范围.
（命题意图：考察特殊数列求通向以及不等式恒成立问题，属中档偏难题） 【预设难度系数】0.55
21. （改编自网络）（本题满分15分）已知1F ，2F 为椭圆()01:22
221>>=+b a b
y a x C 的左右焦点，2F 在以
()
1,2Q 为圆心，1为半径的圆2C 上，且a QF QF 221=+.
（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；
（Ⅱ）过点()1,0P 的直线1l 交椭圆1C 于A ，B 两点，过P 与1l 垂直的直线2l 交圆2C 于C ，D 两点，M 为线段CD 的中点，求MAB ∆的面积的取值范围.
（命题意图：考察圆锥曲线的方程及函数的最值，属较难题） 【预设难度系数】0.5
22. （本题满分15分）设函数()x x
b
ax x f ln 2+-
=. （Ⅰ）当a b =时，若()x f 在()+∞,0上是单调函数，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若()x f 在m x =，n x =()n m <<0处取得极值，且方程()c x f =在(]n 2,0上有唯一解时，c 的取值范围为{}
t c s c c c <≤>或0，求s t -的最大值.
（命题意图：考察导数的性质以及方程的根，属较难题） 【预设难度系数】0.45
2019年高考模拟试卷数学卷（答题卷）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
二、填空题（本大题共7小题，第11、13、14、15题，每小题6分，第12、16、17题，每小题4分，共36分．）
11 ______________ 12 ______________
13 ______________ ________________ 14 ______________ ________________
15 ______________ ________________ 16 ____________________ 17 __________________
三、解答题（共74分）
2019年高考模拟试卷数学参考答案与评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
二、填空题（本大题共7小题，第11、13、14、15题，每小题6分，第12、16、17题，每小题4分，共36分．）
11.2，-6； 12.
2
1； 13.
1615，11
4
15x ； 14.
77，433； 15.152
+-n n ，4
27
； 16.4； 17.⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-213,2
13
三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本题14分）答案：（Ⅰ）π2；（Ⅱ）见解析 （Ⅰ）由题意得()x x x x f sin 21
sin 23cos 23-+=
……………………（1分） x x sin 4
1
cos 43+=
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
x x sin 21cos 2321……………………………（2分） ⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
3sin 21πx ………………………………………（4分）ππ
21
2==
∴T ………………………………………………………（6分） （Ⅱ）令3
π+=x t ，()t t f sin 2
1
=
……………………………………………（8分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
∈3,6ππx ，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈∴32,6ππt ………………………………………（9分）
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈∴1,21sin t ………………………………………………………………（11分）
()4
1
min =∴x f ………………………………………………………………（13分） ()4
1
≥
∴x f …………………………………………………………………（14分） 19. （本题15分）答案：
（Ⅰ）证明：在边长为2的菱形ABCD 中，
60=∠BAD ，3=∴AO ……（2分）
又1=PO ，2=PA ，2
2
2
4PA AO PO ==+∴，PO AO ⊥∴………（4分） 又ABCD PAC 平面平面⊥ ，AC ABCD PAC =平面平面 ，
PAC PO 平面⊂………………………………………………………（6分）
ABCD PO 平面⊥∴……………………………………………………（7分） （Ⅱ） 以O 为原点，OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系……………………………………………………………………………………（8分） 由已知得()0,3,0-A ，()0,0,1B ，()
0,3,0C ，()1,0,0P ，
设平面PBC 的法向量为),,(z y x n =
…………………………………………………（9分）
)1,0,1(-=PB ，()
0,3,1-=BC ，
{
0=⋅=⋅n n
，
{
03=-=+-∴
z x y x …………………………………………………………（11分）
∴取(
)
3,1,3=
n ………………………………………………………………………（12分）
设直线PA 与平面PBC 所成的角为θ，
()
1,3,0=AP ，721,cos sin =⋅==∴n
AP n AP n AP
θ.………………………（14分） ∴直线PA 与平面PBC 所成的角的正弦值为
7
21
.…………………………………（15分） 20. （本题15分）答案：（Ⅰ）1
3-=n n a ，1-=n b n ；（Ⅱ）2≤λ
（Ⅰ）由题意得
4233
10
a a a +=…………………………………………………………（1分） 32
3
10q q q +=∴
（舍）或31
3=q ……………………………………………………………………………（3分） 13-=∴n n a ………………………………………………………………………………（4分）
由题意得1=d ……………………………………………………………………………（5分）
9216546==+=-b b b S S ………………………………………………………………（6分）
01=∴b ……………………………………………………………………………………（7分） 1-=∴n b n ………………………………………………………………………………（8分）
（Ⅱ）()
21
2331311-=--=
n n n T …………………………………………………………（9分） ()()n n n b T n n n 471712log 23≥+--=+-+∴λλ…………………………………（10分）
17
42-+-≤∴n n n λ………………………………………………………………………（11分）
()()()时取到等号3224214
11
742==-≥--+-=-+-n n n n n n ………………（13分）
2≤∴λ…………………………………………………………………………………（15分）
21. （本题15分）答案：（Ⅰ）124:2
21=+y x C ；（Ⅱ）⎥⎦
⎤ ⎝⎛∈∆2,352MAB S （Ⅰ）由题意得()
()112
:2
2
2=-+-y x C ，与x 轴交点
(
)
0,2，
2=∴c ，()0,21-F ，(
)
0,22
F ……………………………………………………（2分）
a QF QF 21321=+=+
2=∴a ，2222=-=c a b ……………………………………………………………（4分）
∴12
4:2
21=+y x C ………………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）当1l 平行于x 轴时，2l 与圆2C 无公共点，从而MAB ∆不存在. 故可设()1:1-=y t x l ，01:2=-+y tx l ，设()11,y x A ，()22,y x B
由⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=124)
1(2
2y x y t x 得，(
)
04222
222
=-+-+t y t y t ，
()()
2
8
21212
22212
+++=-+=∴t t t y y t AB …………………………………………（8分）Q 到2l 的距离1122
1<+=
t t d ，得12<t ，102<≤∴t ………………………………（10分）
连接QM ，CD QM AB MP ⊥⊥, ，
M ∴到AB 的距离就是Q 到AB 的距离，设为2d ，
则2
2
21212t
t
t t d +=
++-=
……………………………………………………………（12分）
2
4221222++==∴∆t t d AB S MAB
令42+=t u ，则[)
5,2∈u
()⎥⎦⎤
⎝⎛∈-=
=∴∆2,35222
u u u f S MAB ……………………………………………………（15分） 22. （本题15分）答案：（Ⅰ）[)+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,042, ；（Ⅱ）4ln 23- （Ⅰ）()2
2'
2x a
x ax x f ++=
（1）当0=a 时()x x f ln =，()x f 在()+∞,0上单调递增.…………………………（2分） （2）当0>a 时，()0'
>x f ，()x f ∴在()+∞,0上单调递增.………………………（4分）
（3）当0<a 时，设()a x ax x g ++=2
2，0≤∆，4
2
-
≤a ……………………（6分） ∴[)+∞⎥⎦
⎤ ⎝⎛-∞-∈,042, a ……………………………………………………………（7分）
（Ⅱ）()x
x b a x f 1
22'
++
=，()x f 在m x =，n x =处取得极值 ()0'=∴m f ，()0'=∴n f
⎪⎩⎪⎨⎧∴+-=+-=)(21
n m a n
m mn
b ，()()()()()22'
1
1x n m n x m x x
x n m mn n m x f +---
=++-+-
=∴……（9分） 故()x f 在(]m ,0上单调递减，在[]n m ,上单调递增，在[]n n 2,上单调递减，
()()m f x f =极小值，()()n f x f =极大值
()n f s 2=∴，()m f t =，()()n f m f 2>，
所以只需求()()n f m f 2-的最大值
()()n
m
n m m n n f m f 2ln )(2362++-=
-.……………………………………………………（11分）
记)10(<<=k kn m ，则()()2
ln 22362k
k k n f m f ++-=-.
令()2ln 2236k
k k k g ++-=
，则()()()()
2
'12212+--=k k k k k g 当⎪⎭⎫ ⎝
⎛∈21,
0k 时，()0'
>k g ，故()k g 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛21,0上单调递增； 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,21k 时，()0'
<k g ，故()k g 在⎪⎭
⎫
⎝⎛1,21上单调递减…………………………（13分） ()()4ln 2
3
21max max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛==-∴g k g s t ………………………………………………（15分）。