人教新课标版数学高一A版必修2导学案 3.2.1直线的点斜式方程

3．2.1 直线的点斜式方程
1．掌握直线方程的点斜式和斜截式及其适用条件．
2．了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．
3．会求直线的点斜式方程与斜截式方程．
1．直线的点斜式方程
(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程____________叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．
(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0或______．
一般地，如果一条直线上任一点的坐标(x，y)都满足一个方程，且满足该方程的每一个
数对(x，y)所确定的点都在直线l上，我们就把这个方程称为直线l的方程．
【做一做1】直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是()
A．2 B．－1 C．3 D．－3
2．直线的斜截式方程
(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程________叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．
(2)说明：一条直线与y 轴的交点(0，b)的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的____．倾斜角是____的直线没有斜截式方程．
【做一做2】 直线l 的斜截式方程是y ＝－3x ＋2，则直线l 在y 轴上的截距为__________．
答案：1．(1)y －y 0＝k (x －x 0) (2)x ＝x 0
【做一做1】 C
2．(1)y ＝kx ＋b (2)截距 90°
【做一做2】 2
1．理解直线的点斜式方程
剖析：直线的点斜式方程是由直线上任意一点和直线的斜率确定的，建立点斜式的依据是过直线上一个定点与另外任意一点的直线是唯一的，它由过两点的直线的斜率公式y －y 0
x －x 0
＝k 推导而来，但应当注意y －y 0x －x 0
＝k 与y －y 0＝k (x －x 0)的区别是前者不包含点P(x 0，y 0)，后者包含点P(x 0，y 0)．点斜式的最大特点是由方程能直接看出其斜率及直线经过的一个点．
2．直线的点斜式方程和斜截式方程的联系与区别
剖析：直线的点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)中，(x ，y )是直线上任意一点的坐标，(x 0，y 0)是直线上的一个定点，k 是直线的斜率；直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中，(x ，y )是直线上任意一点的坐标，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，即过点(0，b)．
联系：直线的点斜式方程和斜截式方程是直线方程的两种不同形式，都可以看成直线上任意一点(x ，y )的横坐标x 和纵坐标y 之间的关系等式，即都表示直线．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况．
区别：直线的点斜式方程是用直线的斜率k 和直线上一定点的坐标(x 0，y 0)来表示的，同一条直线的点斜式方程有无数个；直线的斜截式方程是用直线的斜率k 和该直线在y 轴上
的截距b来表示的，同一条直线的斜截式方程是唯一的．
题型一：求直线的点斜式方程
【例1】写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2,5)，斜率是4；
(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；
(4)经过点D(1,1)，与x轴垂直．
反思：求直线的点斜式方程的步骤：
题型二：求直线的斜截式方程
【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2.
反思：已知直线的斜率和与y轴交点的坐标时，用斜截式写出直线的方程，比用直线方程的点斜式更方便．
题型三：利用两个直线方程判断平行或垂直
【例3】判断下列两条直线平行还是垂直：
(1)l1：y－2＝3(x＋1)，l2：y＝3x；
(2)l1：y＝6x－1，l2：y＝－1
6x－1；
(3)l1：x＋3＝0，l2：x－2＝0.
反思：已知两条直线的方程，判断它们平行或垂直时，先确定它们的斜率是否存在，若斜率不存在，则可画图来判断；若斜率都存在，则把方程都化为斜截式，l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，当k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2；当k1＝k2且b1＝b2时，l1与l2重合；当k1k2＝－1时，l1⊥l2.
题型四：易错辨析
易错点平行条件转化不等价
【例4】当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
错解：l1的斜率k1＝－1，l2的斜率k2＝a2－2，
若l 1∥l 2，则k 1＝k 2，
∴a 2－2＝－1，∴a ＝±1.
错因分析：错解没有验证a ＝±1时，两条直线是否重合．
反思：直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，当l 1∥l 2时，有k 1＝k 2且b 1≠b 2，反之亦然．
答案：【例1】 解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y －5＝4(x －2)．
(2)直线的倾斜角为45°，则此直线的斜率k ＝tan 45°＝1.
故直线的点斜式方程为y －3＝x －2.
(3)直线与x 轴平行，则倾斜角为0°，斜率k ＝0.
故直线的点斜式方程为y ＋1＝0×(x ＋1)，即y ＝－1.
(4)直线与x 轴垂直，斜率不存在，故不能用点斜式表示这条直线的方程，由于直线上所有点的横坐标都是1，故这条直线的方程为x ＝1.
【例2】 解：(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y ＝2x ＋5.
(2)倾斜角为150°，则斜率k ＝tan 150°＝－
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. 由斜截式可得方程为y ＝－33x －2. 【例3】 解：(1)l 1的方程化为y ＝3x ＋5，则直线l 1的斜率k 1＝3，直线l 1在y 轴上的截距b 1＝5，l 2的方程为y ＝3x ，则直线l 2的斜率k 2＝3，直线l 2在y 轴上的截距b 2＝0，
于是k 1＝k 2，b 1≠b 2，故l 1∥l 2.
(2)l 1的斜截式方程为y ＝6x －1，则直线l 1的斜率k 1＝6，l 2的斜截式方程为y ＝－16
x －1，则直线l 2的斜率k 2＝－16
， 于是k 1k 2＝6×⎝⎛⎭
⎫－16＝－1， 故l 1⊥l 2.
(3)l 1是过(－3,0)且垂直于x 轴的直线，l 2是过(2,0)且垂直于x 轴的直线，
∴l 1∥l 2.
【例4】 正解：设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝－1，k 2＝a 2－2.若l 1∥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－2＝－1，2a ≠2，解得a ＝－1. ∴当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x －2与直线l 2：y ＝－x ＋2平行．
1．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是__________．
2．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为__________．
3．已知两条直线y ＝(k －1)x ＋1和y ＝(3－k )x k ＝__________.
4．已知两直线y ＝a x ＋1和y (2＋a)(x －π)互相垂直，则a ＝__________.
5．直线l 经过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y 的倾斜角的2倍，求直线l 的点斜式方程．
答案：1．y ＋4(x ＋2) 2.y ＝－3x ＋2 3.2 4.－1
5．解：直线y 的斜率k α＝60°，
∴直线l 的倾斜角为120°，
∴直线l 的斜率为k ′＝tan120°.
∴直线l 的点斜式方程为y －4 (x －3)．。