广西南宁三校2020-2021学年高二上学期段考(期中联考)数学(文)试卷Word版含答案

南宁2021年秋季学期三校联考〔高二段考〕数学试卷〔文〕
〔考试时间120分钟 总分值 150分〕
考前须知：
本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.答卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在答题卡上。

第一卷(选择题，共60分)
一、选择题 (本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一
项为哪一项符合题目要求的)
1．向量，()2,b x =，假设//，那么实数x 的值为〔〕.
A ．2-
B ．0
C ．1
D ．2
2．化简cos16cos44sin16sin 44-︒︒︒︒的值为〔〕
A ． 12
B ．12-C
．
3．ABC ∆
中，45,2,A a b =︒==
那么B ∠为〔 〕
A ．30︒
B ．60︒
C ．30︒或150︒
D ．60︒或120︒ 4．数列{}n a 满足，那么〔〕
A ．18
B ．20
C ．32
D ．64
5．假设1
tan 3
θ= ，那么cos2θ=( )
A ．45-
B ．15-
C ．15
D ．4
5
6．数列{}n a 满足12a =，111
1
n n n a a a ++-=
+，那么〔〕
A ．
B ．
C ．
D ．2
7．的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足
cos cos a b
B A
=，那么的形状是〔 〕 A ．正三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 8．的三边为，假设为锐角三角形，那么〔〕 A ．tan tan 1A B <B ．sin cos A B < C ．2
A B π
+>
D ．222a b c +< 9．Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点， 62AB =,6AC =,1
2
AE ED =,那么AE EB ⋅等于 〔 〕 A ．14-B ．9-C ．9D ．14
10．向量a ，b 满足||2a =，2b =，且()
2a a b ⊥+，那么b 在a 方向上的投影
为〔 〕
A ．1
2
-
B ．-1
C ．
D ．1 11. 数列{}n a 满足：11a =，*1()2
n
n n a a n N a +=
∈+.，，〔 ，. A ．B ．C ．D ．
12.在中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，
，，c =，且，点O 满足0OA OB OC ++=，
文科数学试题 第
3
cos 8
CAO ∠=
，那么的面积为〔 〕 A ．55
3
B ．35
C ．52
D ．55
第二卷(非选择题，共90分)
二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕 13.在等比数列中，，那么=_______.
14. 向量a ，b 满足||1a =，||2b =，且向量a ，b 的夹角为4
π
，假设a b λ-与b 垂直，那么实数λ的
值为_______.
15.假设02
π
α<<
，2
π
πβ-<<-
，1cos 43πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭，3
cos 423πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，那么cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.
16.如图，在同一个平面内，OA 与OC 的夹角为α，
且，OB 与OC 的夹角为60︒，，假设()1212,OC OA OB R λλλλ=+∈，那么1
2
λλ的取值是_______，
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.〔此题总分值10分〕如图，D 是直角斜边BC 上一点，3AC DC =.
〔1〕假设30DAC ∠=︒，求角B 的大小； 〔2〕假设2BD DC =，且求的长.
18.〔此题总分值12分〕某中学组织了地理知识竞赛，从参加考试的学生中抽出40名学生，将其成
绩〔均为整数〕分成六组[)40,50，[)50,60，…，[]90,100，其局部频率分布直方图如下图．观察图
形，答复以下问题．
〔1〕求成绩在[)70,80的频率，并补全这个频率分布直方图；
〔2〕估计这次考试的平均分〔计算时可以用组中值代替各组数据的平均值〕； 〔3〕从成绩在[)40,50和[]90,100的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率． 19.〔此题总分值12分〕数列{}n a 中，：12a =，. 〔1〕设，求证数列 是等比数列； 〔2〕记，求.
20.〔此题总分值12分〕如图，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//MA PB ，
且
〔，〕求证：//DM 平面PBC ； 〔，〕求点到平面的距离.
21.〔此题总分值12分〕数列{}n a 的前n 项和*∈-=N n n
n S n ，2
32． 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；
〔Ⅱ〕证明：对任意1>n ，都有*
∈N m ，使得m n a a a ，
，1成等比数列． 22.〔此题总分值12分〕锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，其外接圆半径R
满足22232cos R ac B a c +=+. 〔1〕求B 的大小；
〔2〕ABC ∆
的面积12
S =，求a c +的取值范围.
2021年秋季学期三校联考〔高二段考〕数学答案〔文〕 一、选择题 1~5 DAAAD 6~10 BDCCB 11~12 CD 二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、填空题
17. 解：〔1〕在中，由正弦定理得：
sin sin DC AC
DAC ADC
=∠∠，
由题意得：sin 2
ADC DAC ∠=∠=
， ∵6060ADC B BAD B ∠=∠+∠=∠+︒>︒， ∴120ADC =∠︒， ∴60B ∠=︒；
(由不判断，直接得120ADC =∠︒扣1分) 〔2〕 在中， ∴，
在ABD △中，由余弦定理得：
，
(由，结合余弦定理求得也行；表达余弦定理得1分)
18. ，1〕因为各组的频率之和等于1，所以成绩在[)70,80的频率为
1(0.0250.01520.010.005)100.3-+⨯++⨯=。

补全频率分布直方图如下图：
〔频率算对得1分，得比值0.03得1分，图对得1分〕 〔2〕利用中值估算学生成绩的平均分，那么有 所以本次考试的平均分为71分。

〔组中值求对得1分，各组频率对得1分，列式和结果都对得2分〕
〔3〕成绩在[)40,50的人数为400.14⨯=人，成绩在[)90,100的人数为400.052⨯=人
从成绩在[)40,50和[]90,100的学生中选两人，将分数段[)40,50的4人编号为1A ，2A ，3A ，4A ，将
[]90,100分数段的2人编号为1B ，2B ，从中任选两人，那么根本领件构成集合
共15个，其中同一分数段内所含根本领件为：
()12A A ，，()13,A A ，()14,A A ，()23,A A ，()24,A A ，()34,A A ，1
2
(,)B B
共7个，故概率= 19.〔1〕∵ ∴
∵
∴ 是首项为，公比为的等比数列.
学试题 第2页〔共2页〕
文科数学试题答案
〔要指明首项和公比，否那么扣1分〕 (2)∵，
20.〔1〕因为四边形ABCD 是正方形，所以//BC AD ， 又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD 平面PBC ， 因为//MA PB ，同理可证//MA 平面PBC ，
,,AD MA A AD MA ⋂=⊂平面AMD ，
所以平面//AMD 平面PBC ，
又因为DM ⊂平面AMD ，所以//DM 平面PBC . 〔占1分，不出现这一条件扣1分〕 (2)因为ꓕ平面，∴ꓕ，又∵ꓕ，， ∴ꓕ平面，
∴ꓕ ∴，
设点点到平面的距离为. ∵ 又∵ ∴
;
∴
即点点到平面的距离为
21.(1)因为232
n n n
S -=，所以1a 11S ==，
当2n ≥时132,n
n n a S S n -=-=-
又1n =时，
所以数列的通项公式为32,n
a n =-
〔2〕要使得m n a a a ，
，1成等比数列，只需要2
1n m a a a =，
即2
2(32)
1(32),342n m m n n -=⨯-=-+即.
∴1>n 时，
而此时*∈N m ，且
,m n >
所以对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，
，1成等比数列. 22.〔1〕∵22232cos R ac B a c +=+，
∴222232cos R a c ac B b =+-=，即3
3
R b =
， ∴33
sin 2223b B b R b
=
=⨯=
又B 为锐角，∴3
B π
=
.
〔余弦定理写出得1分〕
〔2〕∵ABC ∆
的面积1sin 1223
S ac π
=
=， ∴3b =，
∴23
R b =
=
2R =，23A C B π
+=π-=， ∴232(sin sin )sin sin sin 32a c R A C A A A A π⎫⎤⎛⎫+=+=+-=⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎦⎭
6sin 6A π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
由ABC ∆是锐角三角形得,62A ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，
∴2,
633
A π
ππ
⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 62A π⎛⎤⎛
⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦
， ∴a c +∈，即a c +的取值范围为.
文科数学试题答案 第3页〔共3页〕。