【三维设计】高考数学第二轮专题复习 保分大题规范专练(四)文 新人教A版

保分大题规范专练(四)
1．(2013·陕西高考)设S n 表示数列{a n }的前n 项和．
(1)若{a n }为等差数列，推导S n 的计算公式；
(2)若a 1＝1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n ＝1－q n
1－q
.判断{a n }是否为等比数列，并证明你的结论．
2．已知向量m ＝(2cos ωx ，－1)，n ＝(sin ωx －cos ωx,2)，函数f (x )＝m ·n ＋3的最小正周期为π.
(1)求正数ω；
(2)若函数f (x )的图像向左平移π8个单位，横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )的单调递增区间．
3．(2013·洛阳统考)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36.
(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数；
(2)已知这批产品中每个产品的利润y (单位：元)与产品净重x (单位：克)的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，96≤x <98，5，98≤x <104，
4，104≤x ≤106，求这批产品平均每个的利润．
4．(2013·山西诊断)已知向量a ＝(sin x,1)，b ＝(1，cos x )，且函数f (x )＝a ·b ，f ′(x )是f (x )的导函数．
(1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的最大值和最小正周期；
(2)将f (x )横坐标缩短为原来的一半，再向右平移π4
个单位得到g (x )．设方程g (x )－1＝0在(0，π)上的两个零点为x 1，x 2，求x 1＋x 2的值．
5．(2013·郑州预测)如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB
＝90°，AC ＝2a ，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，沿DE 将△ADE
折起，得到如图所示的四棱锥A ′-BCDE .
(1)在棱A ′B 上找一点F ，使EF ∥平面A ′CD ；
(2)求四棱锥A ′-BCDE 体积的最大值．
6．(2013·江西七校联考)设函数y ＝f (x )＝2x
2x ＋2
上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若OP ＝12(OP 1＋OP 2)，且P 点的横坐标为12
. (1)求P 点的纵坐标；
(2)若S n ＝f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f ⎝⎛⎭
⎫n n ，求S n ； (3)记T n 为数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1(S n ＋2)(S n ＋1＋2)的前n 项和，若T n <a (S n ＋2＋2)对一切n ∈N *都成立，试求a 的取值范围．
答 案
保分大题规范专练(四)
1．解：(1)法一：设{a n }的公差为d ，则
S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 1＋d )＋…＋[a n ＋(n －1) d ]，
又S n ＝a n ＋(a n －d )＋…＋ [a n －(n －1)d ]，
∴2S n ＝n (a 1＋a n )，∴S n ＝n (a 1＋a n )2
. 法二：设{a n }的公差为d ，则
S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 1＋d )＋…＋[a 1＋(n －1) d ]，
又S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1＝[a 1＋(n －1)d ]＋[a 1＋(n －2)d ]＋…＋a 1，
∴2S n ＝[2 a 1＋(n －1)d ]＋[2 a 1＋(n －1)d ]＋…＋[2 a 1＋(n －1)d ]＝2na 1＋n (n －1)d ，
∴S n ＝na 1＋n (n －1)2
d . (2){a n }是等比数列．证明如下：
∵S n ＝1－q n
1－q
， ∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝1－q n ＋
11－q －1－q n 1－q ＝q n (1－q )1－q ＝q n . ∵a 1＝1，q ≠0，∴当n ≥1时，有a n ＋1a n ＝q n
q n －1
＝q ， 因此，{a n }是首项为1且公比为q 的等比数列．
2．解：(1)依题意，得f (x )＝(2cos ωx ，－1)·(sin ωx －cos ωx,2)＋3
＝2cos ωx (sin ωx －cos ωx )＋1
＝2sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1
＝sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2ωx －π4， 又f (x )的周期为π，且ω>0，所以ω＝1.
(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π4，又由题意知， g (x )＝2×2sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－π4＝2sin 2x . 令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2
，k ∈Z ， 得k π－π4≤x ≤k π＋π4
，k ∈Z. 所以函数g (x )的单调递增区间为⎣
⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z. 3．解：(1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.
设样本容量为n .
∵样本中产品净重小于100克的个数是36，
∴36n
＝0.300，∴n ＝120. ∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，
∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.
(2)产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝0.100，(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750,0.075×2＝0.150.
∴其相应的频数分别为120×0.100＝12，120×0.750＝90,120×0.150＝18.
∴这批产品平均每个的利润为1120
(12×3＋90×5＋18×4)＝4.65(元)． 4．解：(1)由题意知f (x )＝sin x ＋cos x ，
∴f ′(x )＝cos x －sin x ，
∴F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2
sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2
， 即x ＝k π＋π8
(k ∈Z)时，
F (x )max ＝1＋2，最小正周期为T ＝2π2
＝π. (2)由题设得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4， ∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∵g (x )－1＝0，∴2cos ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－22
， 由2x ＋π4＝2k π＋34π或2x ＋π4＝2k π＋54
π， 得x ＝k π＋π4或x ＝k π＋π2
，k ∈Z. ∵x ∈(0，π)，∴x 1＝π4，x 2＝π2
， ∴x 1＋x 2＝34
π. 5．解：(1)F 为棱A ′B 的中点，证明如下：取A ′C 的中点G ，
连接DG ，EF ，GF ，则由中位线定理得，
DE ∥BC ，DE ＝12BC ，且GF ∥BC ，GF ＝12
BC ， 故DE ∥GF ，DE ＝GF ，从而四边形DEFG 是平行四边形，EF
∥DG .
又EF ⊄平面A ′CD ，DG ⊂平面A ′CD ，
故F 为棱A ′B 的中点时，EF ∥平面A ′CD .
(2)在平面A ′CD 内作A ′H ⊥CD 于点H ，
∵DE ⊥A ′D ，DE ⊥CD ，A ′D ∩CD ＝D ，
∴DE ⊥平面A ′CD ，A ′H ⊥DE .
又DE ∩CD ＝D ，
∴A ′H ⊥底面BCDE ，即A ′H 就是四棱锥A ′-BCDE 的高．
由A ′H ≤A ′D 知，点H 和D 重合时，四棱锥A ′-BCDE 的体积取最大值．
此时四棱锥A ′-BCDE 的体积V A ′-BCDE ＝13S BCDE ·A ′D ＝13×12(a ＋2a )a ·a ＝12
a 3， 故四棱锥A ′-BCDE 体积的最大值为12
a 3. 6．解：(1)∵OP ＝12(OP 1＋OP 2)， ∴P 为P 1P 2的中点，x 1＋x 2＝1，
∴y 1＋y 2＝f (x 1)＋f (x 2)＝2x 12x 1＋2＋2x 22x 2＋2
＝1， ∴P 点的纵坐标为y 1＋y 22＝12
. (2)由(1)知，当x 1＋x 2＝1时，y 1＋y 2＝f (x 1)＋f (x 2)＝1.
又f (1)＝2－2，
S n ＝f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f ⎝⎛⎭
⎫n n ， S n ＝f ⎝⎛⎭⎫n n ＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋f ⎝⎛⎭
⎫1n ， ∴2S n ＝(n －1)＋2(2－2)＝n ＋3－22，
∴S n ＝n ＋3－222
. (3)由(2)知S n ＋2＝
n ＋32，S n ＋1＋2＝n ＋42， ∴1(S n ＋2)(S n ＋1＋2)＝4(n ＋3)(n ＋4)
， ∴T n ＝4⎣⎡⎦⎤14×5＋15×6＋…＋1(n ＋3)(n ＋4)＝4111111455634n n ⎛⎫-+-⋯- ⎪++⎝⎭
＋＋＝n n ＋4
. T n <a (S n ＋2＋2)对一切n ∈N *都成立，
即a >T n S n ＋2＋2＝2n (n ＋4)(n ＋5)＝2n ＋20n
＋9对一切n ∈N *都成立． 设g (n )＝n ＋20n
(n ∈N *)，易证g (n )在[20，＋∞)上是增函数，在(0，20]上是减函数，而g (4)＝g (5)＝9，
∴g (n )的最小值为9，∴2n ＋20n
＋9≤19， ∴a >19
. 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫19，＋∞.。