2021-2022学年山东省德州市庆云县九年级(上)期末数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年山东省德州市庆云县九年级（上）期末数
学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1.下列图形中，不是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
2.小林同学做了3次投掷硬币试验，皆正面朝下．在他得到的下列结论中，正确的是
()
A. 投掷硬币正面朝上是不可能事件
B. 投掷硬币正面朝下的概率为1
C. 投掷硬币正面朝上是随机事件
D. 继续第4次投掷一定是正面朝下
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则sinB的值为()
A. 4
5B. 3
5
C. 3
4
D. 4
3
4.对于反比例函数y=5
x
，下列说法正确的是()
A. 它的图象分布在二、四象限
B. 它的图象关于原点成中心对称
C. 点(−5,1)在它的图象上
D. 当x1>x2时，y1<y2
5.关于x的一元二次方程x2−2x+m−1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取
值范围是()
A. m≥2
B. m≤2
C. m>2
D. m<2
6.已知在同一直角坐标系中二次函数y=mx2+nx和反比例函数
y=a
x 的图象如图所示，则一次函数y=a
m
x−n的图象可能是()
A.
B.
C.
D.
7. 某校前年用于绿化的投资为20万元，今年用于绿化的投资为36万元，设这两年用
于绿化投资的年平均增长率为x ，则列方程得( )
A. 20(1+2x)=36
B. 20(1+x 2)=36
C. 20(1+x) 2=36
D. 20(1+x)+20(1+x) 2=36
8. 如图，将△ABD 绕顶点B 顺时针旋转40°得到△CBE ，且点
C 刚好落在线段A
D 上，若∠CBD =32°，则∠
E 的度数是( )
A. 32°
B. 34°
C. 36°
D. 38°
9. 如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的
点，DE//BC ，EF//AB 且AD ：DB =3：4，那么CF ：CB 的值为( )
A. 4：3
B. 4：7
C. 3：4
D. 3：7
10. 如图，D 是等边△ABC 外接圆上的点，且∠DAC =20°，则
∠ACD 的度数为( )
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 45°
11. 已知矩形OABC 的面积为
1003
，它的对角线OB 与双曲线y =k
x
相交于点D ，且OB ：OD =5：3，则k =( )
A. 12
B. 20
C. 20
3
D. 50
3
12.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC.点D是AB的中
点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF.给出以下四
个结论：①AG
AB =FG
FB
；②点F是GE的中点；③AF=√2
3
AB；
④S△ABC=6S△BDF，其中正确的个数是()
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13.已知关于x的方程(m−2)x|m|−3x−4=0是一元二次方程，则m=______．
14.已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则它的半径为______．
15.如图，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于1
2
AB的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交BC于点E，连接AE，已知CD=4，∠B=60°，则△ABE的面积为______ ．
16.已知抛物线y=x2−2x+c经过点A(−1,y1)和B(2,y2)，比较y1与y2的大小：y1
______ y2(选择“>”或“<”或“=”填入空格)．
17.如图，已知公路l上A，B两点之间的距离为20米，点B
在C的南偏西30°的方向上，A在C的南偏西60°方向上，
则点C到公路l的距离为______米．
18.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB，∠A=90°，点O为坐标原点，
点B在x轴上，点A的坐标是(1,1).若将△OAB绕点O顺时针方向依次旋转45°后得到△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，…，可得A1(√2,0)，A2(1,−1)，A3(0,−√2)，…则A2021的坐标是______．
三、解答题（本大题共7小题，共72.0分）
19.(1)解方程：x(2x+3)=8x+12；
(2)计算：cos260°+sin245°+tan45°−sin30°．
20.2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”
知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”.根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
(1)参加这次调查的学生总人数为______人；扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆
心角是______；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳
中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
21.如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙(墙长22m)，并
在BC边上开一道2m宽的门，现在可用的材料为38m长的
木板．
(1)若仓库的面积为150平米，求AB．
(2)当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积．
22.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直
线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB
(1)求证：DC为⊙O的切线；
(2)若∠DAB=60°，⊙O的半径为3，求线段AC的长
23.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，
概括函数性质的过程.以下是我们研究函数y=x+|−2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
(1)写出函数关系式中m及表格中a，b的值：
m=______ ，a=______ ，b=______ ；
(2)根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象
写出该函数的一条性质：______ ；
(3)已知函数y=16
的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+
x
|−2x+6|+m>16
的解集．
x
24.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即
如图①，我们将这种变换记为[θ,n]．
(1)如图①，对△ABC作变换[60°,√3]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=______；直线
BC与直线B′C′所夹的锐角为______度；
(2)如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC作变换[θ,n]得△AB′C′，
使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB′C′为矩形，求θ和n的值；
(3)如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，对△ABC作变换[θ,n]得
△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n的值．
25.已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2经过点A(−3,−6)、B(6,0)，
与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD．
①如果点D的横坐标为2.求cot∠DCB的值；
②如果∠DCB=2∠CBO，求点D的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B、C、D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】C
【解析】解：∵投掷硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，
∴投掷硬币正面朝上是随机事件，
故选：C．
根据概率的含义即可得出答案．
本题主要考查随机事件的定义，关键是要牢记随机事件的定义．
3.【答案】A
【解析】解：由勾股定理可知：c=5，
∴sinB=b
c =4
5
，
故选：A．
根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查锐角三角函数，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
4.【答案】B
【解析】解：A、∵k=5>0，∴图象在第一、三象限，故B说法不正确，不符合题意；
B、反比例函数的两个分支关于原点成中心对称，正确，符合题意；
=−1≠1，说法不正确，不符合题意；
C、当x=−5时，5
−5
D、∵k=5>0，∴当x1>x2>0时，0<y1<y2，说法不正确，不符合题意；
故选：B．
根据反比例函数的性质用排除法解答．
(k≠0)的性质：
本题考查了反比例函数y=k
x
①当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限．
②当k>0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意得Δ=(−2)2−4×1×(m−1)>0，
解得m<2．
故实数m的取值范围为是m<2．
故选：D．
根据判别式的意义得到Δ=(−2)2−4×1×(m−1)>0，然后解不等式求出m的取值即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
6.【答案】B
【解析】解：∵二次函数开口向下，
∴m<0；
∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异，
∴b符号与a相异，n>0；
∵反比例函数图象经过一三象限，
∴a>0，
∴a
m
<0，−n<0，
∴一次函数y=a
m
x−n的图象经过二三四象限．
故选：B．
根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出m<0、n>0、a>0，由
此即可得出a
m <0，−n<0，即可得出一次函数y=a
m
x−n的图象经过二三四象限，再
对照四个选项中的图象即可得出结论．
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，找出m<0、n>0、a>0是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：设这两年绿化投资的年平均增长率为x，
依题意得20(1+x)2=36．
故选：C．
是增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据“前年用于绿化的投资为20万元，今年用于绿化的投资为36万元”，可得出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
8.【答案】D
【解析】解：∵将△ABD绕点B顺时针旋转40°得到△CBE，
∴CB=AB，∠ABC=40°，∠D=∠E，
∴∠A=∠ACB=1
2
(180°−40°)=70°，
∵∠CBD=32°，
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=40°+32°=72°，
∴∠D=∠E=180°−∠A−∠ABD=180°−70°−72°=38°．
故选：D．
由旋转的性质可得CB=AB，∠ABC=40°，∠D=∠E，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出答案．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵DE//BC，EF//AB，AD：DB=3：4，
∴AD
DB =AE
EC
=3
4
，
∴CF
CB =CE
AB
=4
3+4
=4
7
，
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
此题考查了平行线分线段成比例定理的运用，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D=180°−∠B=120°，
∴∠ACD=180°−∠DAC−∠D=40°，
故选：C．
根据圆内接四边形的性质得到∠D=180°−∠B=120°，根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是三角形的外接圆和外心、圆内接四边形的性质以及三角形内角和定理的应用，掌握圆内接四边形的性质、等边三角形的性质是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：设D的坐标是(3m,3n)，则B的坐标是(5m,5n)．
∵矩形OABC的面积为100
3
．
∴5m ⋅5n =
1003 ∴mn =43
． 把D 的坐标代入函数解析式得：3n =k 3m
∴k =9mn =9×43=12． 故选A ．
设D 的坐标是(3m,3n)，则B 的坐标是(5m,5n)，根据矩形OABC 的面积即可求得mn 的值，把D 的坐标代入函数解析式y =k x 即可求得k 的值．
本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，理解矩形的面积与反比例函数的解析式之间的关系是解决本题的关系．
12.【答案】B
【解析】解：由题意知，△ABC 是等腰直角三角形，
设AB =BC =2，则AC =2√2，
∵点D 是AB 的中点，
∴AD =BD =1，
在Rt △DBC 中，DC =√DB 2+BC 2=√5，
∵BG ⊥CD ，
∴∠DEB =∠ABC =90°，
又∵∠CDB =∠BDE ，
∴△CDB∽△BDE ，
∴∠DBE =∠DCB ，DB DE =CD BD =CB BE ，即1DE =√51=2BE ， ∴DE =√55，BE =2√55
， 在△GAB 和△DBC 中，
{∠DBE =∠DCB AD =BC ∠GAB =∠DBC
∴△GAB≌△DBC(ASA)
∴AG =DB =1，BG =CD =√5，
∵∠GAB +∠ABC =180°，
∴AG//BC ，
∴△AGF∽△CBF ，
∴AG CB =AF CF =GF BF =12，且有AB =BC ，故①正确， ∵GB =√5，AC =2√2，
∴AF =
2√23=√23AB ，故③正确， GF =√53
，FE =BG −GF −BE =4√515，故②错误， S △ABC =12AB ⋅AC =2，S △BDF =12BF ⋅DE =12×2√53×√55=13
，故④正确． 故选：B ．
用特殊值法，设出等腰直角三角形直角边的长，证明△CDB∽△BDE ，求出相关线段的长；易证△GAB≌△DBC ，求出相关线段的长；再证AG//BC ，求出相关线段的长，最后求出△ABC 和△BDF 的面积，即可作出选择．
本题考察了相似的判定与性质、全等的判定与性质以及等腰直角三角形的相关性质，要注意合理的运用特殊值法解题．
13.【答案】−2
【解析】解：∵关于x 的方程(m −2)x |m|−3x −4=0是一元二次方程，
∴{m −2≠0|m|=2
， 解得m =−2，
故答案是：−2．
利用一元二次方程的定义(只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程)解答即可．
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
14.【答案】9
【解析】
【分析】
本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：l =
nπr 180是解题的关键． 根据弧长的公式l =
nπr 180，计算即可．
【解答】
解：设扇形的半径为r，
由题意得，120π×r
180
=6π，
解得，r=9．
故答案为9．
15.【答案】4√3
【解析】解：如图，由作法得EF垂直平分AB，即AF=
BF=1
2
AB，EF⊥AB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=4，BF=2．
在直角△BEF中，∵∠BFE=90°，∠B=60°，
∴EF=BF⋅tan∠B=2√3，
∴△ABE的面积=1
2AB⋅EF=1
2
×4×2√3=4√3．
故答案为：4√3．
利用基本作图得到EF垂直平分AB，根据平行四边形的性质以及中点的定义得出BF=2，再解直角△BEF，求出EF，进而得出△ABE的面积．
本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，也考查了作已知线段的垂直平分线．利用基本作图得到EF垂直平分AB是解题的关键．
16.【答案】>
【解析】解：∵抛物线y=x2−2x+c经过点A(−1,y1)和B(2,y2)，
∴y1=(−1)2−2×(−1)+c=3+c，y2=22−2×2+c=c，
∵y1−y2=3>0，
∴y1>y2，
故答案是：>．
把点A、B的坐标分别代入已知抛物线解析式，并分别求得y1与y2的值，然后比较它们
的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．
17.【答案】10√3
【解析】解：如图，过点C作CD⊥公路l于点D，
则∠ADC=90°，∠BCD=30°，∠ACD=60°，AB=20米，
∴∠ACB=∠ACD−∠BCD=60°−30°=30°，∠CAD=
90°−∠ACD=90°−60°=30°，
∴∠ACB=∠CAD，
∴BC=AB=20米，
，
在Rt△BCD中，cos∠BCD=CD
BC
=10√3(米)，
∴CD=BC⋅cos∠BCD=20×√3
2
故答案为：10√3．
过点C作CD⊥公路l于点D，证∠ACB=∠CAB=30°，得AB=BC=20米，再在Rt△BCD 中，根据CD=BCsin∠CBD计算求得CD的长即可．
本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．
18.【答案】(−1,0)
【解析】解：∵点A的坐标是(1,1)若将△OAB绕点O顺时针方向依次旋转45°后得到△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，…，
∴旋转360°÷45°=8次为一个变化周期，
2021÷8=252......5，
∴A2021的坐标与第五次旋转后A5的坐标相同，
如图：
∴A5的坐标为(−1,0)，
即A 2021的坐标为(−1,0)，
故答案为：(−1,0)．
根据旋转的性质及旋转角度分析可得旋转8次为一个周期，然后将2021÷8可得余数，从而分析求解．
本题考查旋转的性质，周期型图形变化规律，理解旋转方向和旋转角的概念，探索图形旋转变化规律，掌握旋转的性质是解题关键．
19.【答案】解：(1)x(2x +3)−4(2x +3)=0，
(2x +3)(x −4)=0，
2x +3=0或x −4=0，
所以x 1=−32，x 2=4；
(2)原式=(12)2+(√22)2+1−12 =14+12+1−12
=54
．
【解析】(1)先变形为x(2x +3)−4(2x +3)=0，然后利用因式分解法解方程；
(2)先根据特殊角的三角函数值得到原式=(12)2+(√22)2+1−12
，然后进行实数的运算． 本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了特殊角的三角函数值．
20.【答案】40 108°
【解析】解：(1)参加这次调查的学生总人数为6÷15%=40(人)，
则扇形统计图中，B 部分扇形所对应的圆心角是360°×1240=108°，
故答案为：40，108°；
(2)C 类别人数为40−(6+12+4)=18(人)，
补全图形如下：
(3)画树状图为：
共有12种等可能的结果，，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果为8种，
∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率8
12=2
3
．
(1)根据A类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数，再用360°乘以B类别人数所占比例即可；
(2)根据四种类别人数人数之和等于总人数求出C类别人数，即可补全图形；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果数为8种，再根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法与树状图法，正确画树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了统计图．
21.【答案】解：(1)设AB的长为x m，则AD=(38+2−2x)m，
根据题意得，x(38+2−2x)=150，
解得：x1=15，x2=5，
当x1=15时，AD=10，当x2=5时，AD=30>22(不合题意舍去)，
∴AB=15；
(2)设仓库的最大面积为y平方米，
根据题意得，y=x(38+2−2x)=−2x2+40x=−2(x−10)2+200，
∵a=−2<0，38+2−2×10=20<22，
∴当x=10时，y最大值=200，
答：当AB=10时，仓库的最大面积为200平方米．
【解析】(1)设AB的长为x m，则AD=(38+2−2x)m，根据题意得到x(38+2−2x)= 150，解方程即可得到结论；
(2)设仓库的最大面积为y平方米，根据题意得到函数关系y=x(38+2−2x)=−2x2+ 40x=−2(x−10)2+200，根据二次函数的关系即可得到结论．
本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接CO，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴CO//AD，
∴CO⊥CD，
∴DC为⊙O的切线；
(2)连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠DAB=60°，AC平分∠DAB，
∴∠BAC=1
∠DAB=30°，
2
∵⊙O的半径为3，
∴AB=6，
AB=3√3．
∴AC=√3
2
【解析】(1)连接CO，根据角之间的关系证明∠DAC=∠OCA，进而得到CO//AD，从而可得CO⊥CD，即DC为⊙O的切线；
(2)连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，解直角三角形即可得到结论．
此题主要考查了切线的判定与三角函数的应用，关键是掌握切线的判定定理：经过半径
的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
23.【答案】(1)−2；3；4；
(2)当x=3时函数有最小值y=1；
(3)根据当y=x+|−2x+6|−2的函数图象在函数y=16
的图象上方时，不等式x+
x
|−2x+6|−2>16
成立，
x
∴x<0或x>4．
【解析】解：(1)当x=0时，|6|+m=4，
解得：m=−2，
即函数解析式为：y=x+|−2x+6|−2，
当x=1时，a=1+|−2+6|−2=3，
当x=4时，b=4+|−2×4+6|−2=4，
故答案为：−2，3，4；
(2)图象如下图，
根据图象可知当x=3时函数有最小值y=1；
(3)见答案．
本题主要考查一次函数和反比例函数图象性质，熟练掌握描点作图和一次函数及反比例函数图象性质是解题的关键．
(1)代入一对x、y的值即可求得m的值，然后代入x=1求a值，代入x=4求b值即可；
(2)利用描点作图法作出图像并写出一条性质即可；
(3)根据图像求出即可．
24.【答案】解：(1)根据题意得：△ABC∽△AB′C′，
)2=(√3)2=3，∠B=∠B′，∴S△AB′C′：S△ABC=(A′B′
AB
∵∠ANB=∠B′NM，
∴∠BMB′=∠BAB′=60°；
故答案为：3：1，60；
(2)∵四边形ABB′C′是矩形，
∴∠BAC′=90°．
∴θ=∠CAC′=∠BAC′−∠BAC=90°−30°=60°．在Rt△ABB′中，∠ABB′=90°，∠BAB′=60°，
∴∠AB′B=30°，
=2；
∴n=AB′
AB
(3)∵四边形ABB′C′是平行四边形，
∴AC′//BB′，
又∵∠BAC=36°，
∴θ=∠CAC′=∠AC′B′=72°．
∴∠BB′A=∠BAC=36°，而∠B=∠B，
∴△ABC∽△B′BA，
∴AB：BB′=CB：AB，
∴AB2=CB⋅BB′=CB(BC+CB′)，
而CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，
∴AB2=1(1+AB)，
∴AB=1±√5
，
2
∵AB>0，
∴n=B′C′
BC =1+√5
2
．
【解析】(1)由旋转与相似的性质，即可得S△AB′C′：S△ABC=3，然后由△ABN与△B′MN 中，∠B=∠B′，∠ANB=∠B′NM，可得∠BMB′=∠BAB′，即可求得直线BC与直线B′C′所夹的锐角的度数；
(2)由四边形ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′−∠BAC，即可求得θ的度数，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得n的值；
(3)由四边形ABB′C′是平行四边形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根据相似三角形的对应边成比例，易得AB2=CB⋅BB′=CB(BC+CB′)，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、旋转的性质、矩形的性质以及平行四边形的性质．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．
25.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A(−3,−6)、B(6,0)，
∴{9a−3b+2=−6
36a+6b+2=0，
∴{a=−1
3
b=5
3
，
∴抛物线的表达式为y=−1
3x2+5
3
x+2；
(2)①如图1，
由(1)知，抛物线的解析式为y=−1
3x2+5
3
x+2，
当x=0时，y=2，
∴C(0,2)，当x=2时，y=−1
3×4+5
3
×2+2=4，
∴D(2,4)，
∵B(6,0)，
∴CD2=(2−0)2+(4−2)2=8，BC2=(6−0)2+ (0−2)2=40，
DB2=(6−2)2+(0−4)2=32，
∴CD2+BC2=DB2，
∴△BCD 是直角三角形，∠BDC =90°，
在Rt △BDC 中，CD =2√2，BD =4√2， ∴cot∠DCB =CD DB =2√24
√2=1
2；
②如图2，
过点C 作CE//x 轴，则∠BCE =∠CBO ，
∵∠DCB =2∠CBO ，
∴∠DCE =∠BCE ，过点B 作BE ⊥CE ，并延长交CD 的
延长线于F ，
∵C(0,2)，B(6,0)，
∴F(6,4)，设直线CF 的解析式为y =kx +2，
∴6k +2=4，
∴k =13，
∴直线CF 的解析式为y =13x +2①，
∵抛物线的解析式为y =−13x 2+53x +2②，
联立①②，解得{x =0y =2或{x =4y =103
， ∴D(4,
103).
【解析】(1)将点A ，B 坐标代入抛物线解析式中，解方程组，即可得出结论；
(2)①先求出点D 坐标，进而求出BC ，CD ，DB ，判断出△BDC 是直角三角形，即可得出结论；
②构造出等腰三角形，利用对称性求出点F 的坐标，进而求出直线CF 的解析式，进而联立抛物线解析式，解方程组，即可得出结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，构造出等腰三角形是解本题的关键．。