2022-2023学年浙江省宁波市五校联盟高一(上)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年浙江省宁波市五校联盟高一（上）期中数学试卷
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，M ＝{1，2，3}，N ＝{3，4}，则（∁U M ）∪N ＝（ ） A ．{4}
B ．{4，5}
C ．{3，4，5}
D ．{1，2，3，4，5}
2．若函数y ＝f （x ）的定义域是[0，2]，则函数g （x ）=f(x+1)
x−1的定义域是（ ） A ．[0，2]
B ．（1，3]
C ．[﹣1，1）
D ．[0，1）∪（1，2]
3．三个数a ＝50.3，b ＝0.35，c =(1
5
)5大小的顺序是（ ） A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．b ＞a ＞c
D ．c ＞a ＞b
4．幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a ﹣2）x a 在（0，+∞）上单调递增，则g （x ）＝b x +a +1（b ＞1）过定点（ ） A ．（1，1）
B ．（1，2）
C ．（﹣3，1）
D ．（﹣3，2）
5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标
中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A ．f(x)=1
|x−1|
B ．f(x)=1
||x|−1|
C ．f(x)=
1
x 2−1
D ．f(x)=
1
x 2+1
6．已知a ＞1＞b ＞﹣1＞c ，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．a ﹣c ＜2b
B ．ab ＞bc
C ．ac ﹣a ＜bc ﹣b
D ．b a
＞b
c
7．已知正数a 和b 满足ab +a +2b ＝7，则1
a+2
+
49b+9
的最小值为（ ） A ．4
9
B ．
8√15
45
C ．
1327
D ．
13√37−5162
8．已知f （x ），g （x ）分别为定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足f （x ）+g （x ）＝2x ，若对于任意的x ∈[1，2]，都有[2f （x ）﹣a ]⋅[g （x ）﹣a ]≤0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[34
，
174
] B ．[
158
，5
2
]
C ．[
158
，2] D ．[2，
174
]
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分） 9．下列各组函数中是同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝x +2，g （x ）=√x 33
+2
B ．f （x ）=x 2−9
x−3，g(x)=(√x)2+3 C ．f （x ）＝x 2+2（x ﹣1）0，g （x ）＝x 2+2 D ．f （x ）=√x +1x
，g （t ）=√t +1t
10．已知f （x ）＝ax 2+bx +c ，不等式f （x ）＞0的解集是{x |1＜x ＜3}，下列说法正确的是（ ） A ．a ＞0 B ．a +b +c ＝0
C ．关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0的解集是{x |1
3＜x ＜1}
D ．如果f （m ）＞0，则f （m +2）＜0
11．若函数f （x ）同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有（x 1﹣x 2）⋅[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0，则称该函数为“七彩函数”．下列函数中是“七彩函数”的有（ ） A ．f （x ）={
−2x 2，x ≥02x 2
，x ＜0
B ．f （x ）=−x 1
5
C ．f （x ）=
1x
−x
D ．f （x ）＝x 2+|x |
12．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）
A ．
a+b 2
≥
√ab （a ＞0，b ＞0）
B ．a 2+b 2≥2ab （a ＞0，b ＞0）
C ．√ab ≥2
1a +1b
（a ＞0，b ＞0）
D ．
a 2+
b 2
2
≥
a+b 2
（a ≥0，b ＞0）
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．命题“∃x ＞0，x 3＞0”的否定为 ．
14．已知f(x)={(a +2)x +2，x ≤1
ax −a ，x ＞1，若f （x ）是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围是 ．
15．定义max{a ，b}={
a ，a ≥
b b ，a ＜b
，已知函数f （x ）＝max {x +3，（x +1）2}，则f （x ）的最小值为 ．
16．已知函数f （x ）是定义在{x ∈R |x ≠0）上的偶函数，且f （1）＝﹣1，若对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有
x 2f(x 1)−x 1f(x 2)
x 1−x 2
＞1，则不等式
f(x)+1x−1
＜0的解集为 ．
四、解答题（共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）求值：√0.0273
+25−0.5+(432)−1
3；
（2）若a +a ﹣1
＝3，求
a 3+a −3
a −2+a 2+1
．
18．设命题p ：（4x ﹣3）2≤1，命题q ：x 2﹣（2a +1）x +a （a +1）≤0． （1）当a ＝1时，若P 为假命题且q 是真命题，则求实数x 的取值范围； （2）若￢p 是￢q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
19．已知偶函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f(−2)=3
2，当x ∈（0，+∞）时，函数f(x)=x −m x
． （1）求实数m 的值；
（2）当x ∈（﹣∞，0）时，求函数f （x ）的解析式；
（3）利用定义判断并证明函数f （x ）在区间（0，+∞）的单调性． 20．已知函数f （x ）＝a 2x ﹣ka x +1（﹣1≤x ≤1，a ＞0）， （1）若a ＝2，k ＝1，求函数f （x ）的值域；
（2）若∀k ∈[﹣2，2]，∃x 0∈[﹣1，1]，使f （x 0）≥4成立，求a 的取值范围．
21．济南市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时列车为满载状态，载客量为500人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为p（t）．
（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；
（2）若该线路每分钟的净收益为Q(t)=8p(t)−2656
t
−60（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路
每分钟的净收益最大，并求出最大值．
22．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)=|t(x+4
x
)−5|(t＞0)．
（1）若函数f（x）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，试求t的取值范围；
（2）当t＝1时，在区间（0，2]上是否存在a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]上单调，且f（x）的值域为[ma，mb]，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
2022-2023学年浙江省宁波市五校联盟高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，M ＝{1，2，3}，N ＝{3，4}，则（∁U M ）∪N ＝（ ） A ．{4}
B ．{4，5}
C ．{3，4，5}
D ．{1，2，3，4，5}
解：∵全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M ＝{1，2，3}，N ＝{3，4}， ∴∁U M ＝{4，5}，
则（∁U M ）∪N ＝{3，4，5} 故选：C ．
2．若函数y ＝f （x ）的定义域是[0，2]，则函数g （x ）=f(x+1)
x−1的定义域是（ ） A ．[0，2]
B ．（1，3]
C ．[﹣1，1）
D ．[0，1）∪（1，2]
解：∵y ＝f （x ）的定义域是[0，2]，
∴在g （x ）中，{0≤x +1≤2
x −1≠0，解得﹣1≤x ＜1，
故g （x ）的定义域为[﹣1，1）． 故选：C ．
3．三个数a ＝50.3，b ＝0.35，c =(1
5
)5大小的顺序是（ ） A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．b ＞a ＞c
D ．c ＞a ＞b
解：∵50.3＞1，0＜（15
）5＜0.35＜1， ∴（1
5）5＜0.35＜50.3，即c ＜b ＜a ．
故选：A ．
4．幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a ﹣2）x a 在（0，+∞）上单调递增，则g （x ）＝b x +a +1（b ＞1）过定点（ ） A ．（1，1）
B ．（1，2）
C ．（﹣3，1）
D ．（﹣3，2）
解：∵f （x ）＝（a 2﹣2a ﹣2）x a 是幂函数， ∴a 2﹣2a ﹣2＝1，解得：a ＝3或a ＝﹣1， a ＝3时：f （x ）＝x 3在（0，+∞）上单调递增， a ＝﹣1时：f （x ）=1
x 在（0，+∞）上单调递减， 故a ＝3，
此时：g （x ）＝b x +3+1，x ＝﹣3时，g （﹣3）＝2， 故g （x ）过（﹣3，2）， 故选：D ．
5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标
中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A ．f(x)=1
|x−1| B ．f(x)=1
||x|−1| C ．f(x)=
1x 2−1
D ．f(x)=
1
x 2+1
解：函数的定义域为{x |x ≠±1}，排除选项A 和D ， 当x ∈（0，1）时，f （x ）＞0，
但在选项C 中，由于x 2＜1，所以f （x ）＜0，可排除选项C ， 故选：B ．
6．已知a ＞1＞b ＞﹣1＞c ，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．a ﹣c ＜2b
B ．ab ＞bc
C ．ac ﹣a ＜bc ﹣b
D ．b
a
＞b
c
解：根据a ＞1＞b ＞﹣1＞c ，取a ＝2，b ＝0，c ＝﹣2， 则a ﹣c ＜2b ，ab ＞bc ，b
a
＞b
c ，均不成立，排除ABD ．
故选：C ．
7．已知正数a 和b 满足ab +a +2b ＝7，则1a+2
+
49b+9
的最小值为（ ） A ．4
9
B ．
8√15
45
C ．
1327
D ．
13√37−5162
解：由ab +a +2b ＝7，知（a +2）（b +1）＝9， 所以
1a+2
+
49b+9
=
1a+2+49•
1b+1
≥2√
1a+2⋅49⋅1b+1=2√19⋅49=4
9
， 当且仅当
1
a+2
=4
9•
1
b+1
，即a =5
2，b ＝1时，等号成立，
所以
1
a+2
+
49b+9
的最小值为4
9
．
故选：A ．
8．已知f （x ），g （x ）分别为定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足f （x ）+g （x ）＝2x ，若对于任意的x ∈[1，2]，都有[2f （x ）﹣a ]⋅[g （x ）﹣a ]≤0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3
4，
174
] B ．[
158
，5
2
]
C ．[
158
，2]
D ．[2，
174
]
解：∵f （x ）+g （x ）＝2x ，∴f （﹣x ）+g （﹣x ）＝2﹣
x ，
∵f （x ）是偶函数，g （x ）分是奇函数，∴f （x ）﹣g （x ）＝2﹣
x ，
可得f （x ）=
2x +2−x
2
，g （x ）=
2x −2
−x
2
，
则不等式为(2x +2−x −a)⋅[1
2(2x −2−x )−a]≤0，
令h （x ）＝2x +2﹣
x ，令t ＝2x ，由对勾函数的性质可得y ＝t +1t
在[2，4]单调递增，
则h （x ）＝2x +2
﹣x
在[1，2]单调递增，则h （x ）min ＝h （1）=52，ℎ(x)max =ℎ(2)=17
4，
对于g （x ）=2x
−2
−x
2
，因为y ＝2x 单调递增，y ＝﹣2
﹣x
单调递增，∴g （x ）在[1，2]单调递增，
∴g （x ）min ＝g （1）=3
4，g(x)max =g(2)=15
8，∴h （x ）＞g （x ）恒成立， 则不等式[h （x ）﹣a ][g （x ）﹣a ]≤0，解得g （x ）≤a ≤h （x ）， ∴g （x ）max ≤a ≤h （x ）min ，即158
≤a ≤5
2
．
故选：B ．
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分） 9．下列各组函数中是同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝x +2，g （x ）=√x 33
+2
B ．f （x ）=
x 2−9
x−3
，g(x)=(√x)2+3 C ．f （x ）＝x 2+2（x ﹣1）0，g （x ）＝x 2+2 D ．f （x ）=√x +1x ，g （t ）=√t +1
t
解：对于A ，f （x ）＝x +2与g （x ）=√x 33
+2＝x +2，两函数的定义域为R ，对应关系相同，所以两个函数是相同函数，故A 可选；
对于C ，f （x ）＝x 2+2（x ﹣1）0的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），g （x ）＝x 2+2的定义域为R ，两函数的定义域不同，故C 不选；
对于B ，f （x ）=x 2−9
x−3的定义域为（﹣∞，3）∪（3，+∞），函数g(x)=(√x)2+3的定义域为[0，+∞），
所以两函数不是同一函数，故B 不选；
对于D ，f （x ）=√x +1
x
与g （t ）=√t +1t
，两函数的定义域为（0，+∞），对应关系相同，两函数是同一函数，故D 可选． 故选：AD ．
10．已知f （x ）＝ax 2+bx +c ，不等式f （x ）＞0的解集是{x |1＜x ＜3}，下列说法正确的是（ ） A ．a ＞0 B ．a +b +c ＝0
C ．关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0的解集是{x |1
3＜x ＜1}
D ．如果f （m ）＞0，则f （m +2）＜0
解：A ：ax 2+bx +c ＞0的解集是{x |1＜x ＜3}，则a ＜0，不正确． B ：由题意知ax 2+bx +c ＝0的解是x ＝1，则a +b +c ＝0，正确．
C ：由题意知ax 2
+bx +c ＝0的解是x ＝1，3，则由韦达定理得b a
=−4，c
a
=3，
即cx 2+bx +a ＞0变为c a
x 2+
b a
x +1＜0，即3x 2﹣4x +1＜0，∴1
3
＜x ＜1，正确．
D ：如果f （m ）＞0，则1＜m ＜3，∴3＜m +2＜5，则f （m +2）＜0，正确． 故选：BCD ．
11．若函数f （x ）同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有（x 1﹣x 2）⋅[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0，则称该函数为“七彩函数”．下列函数中是“七彩函数”的有（ ） A ．f （x ）={
−2x 2，x ≥02x 2
，x ＜0
B ．f （x ）=
−x 1
5
C ．f （x ）=1
x −x
D ．f （x ）＝x 2+|x |
解：由①②得：“七彩函数”既是奇函数又是减函数，
对于选项A ：当x ＞0时，﹣x ＜0，f （x ）＝﹣2x 2，f （﹣x ）＝2x 2，得f （x ）+f （﹣x ）＝0； 当x ＜0时，﹣x ＞0，f （x ）＝2x 2，f （﹣x ）＝﹣2x 2，得f （x ）+f （﹣x ）＝0，所以函数是奇函数， 当x ＞0时，f （x ）＝﹣2x 2，所以函数在（0，+∞）上单调递减，故选项A 正确；
对于选项C ：f （x ）=
1x −x 定义域为{x |x ≠0}，f （﹣x ）=−1
x
+x ＝﹣f （x ）， 则函数f （x ）为奇函数，且在定义域上单调递减；故选项C 正确； 对于选项B ：f(x)=
−x 1
5定义域为
R ，f(−x)=
x 15
=−f （x ），
所以函数f （x ）为奇函数，且在R 上单调递减；故选项B 正确； 对于选项D ：f （x ）＝x 2+|x |，定义域为R ，f （﹣x ）＝x 2+|x |＝f （x ）， 则函数函数f （x ）为偶函数，故选项D 不正确； 故选：ABC ．
12．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）
A ．
a+b 2
≥
√ab （a ＞0，b ＞0）
B ．a 2+b 2≥2ab （a ＞0，b ＞0）
C ．√ab ≥2
1a +1b
（a ＞0，b ＞0）
D ．
a 2+
b 2
2
≥
a+b 2
（a ≥0，b ＞0）
解：∵AC ＝a ，BC ＝b ，∠ADB =π
2，
根据图形，在Rt △ADB 中，由射影定理得CD 2＝AC ⋅CB ，所以CD 2＝ab ， 由OD ≥CD ，且OD =AB 2=a+b
2，得：
a+b
2≥
√ab （a ＞0，b ＞0）
，当且仅当a ＝b 时取等号，即A 正确；
在Rt △OCD 中，同理得CD 2
＝DE ⋅OD ，所以DE =CD 2OD =ab
a+b 2
，
又CD ≥DE ，所以√ab ≥2ab
a+b =2
1a +1b
（a ＞0，b ＞0），当且仅当a ＝b 时取等号，即C 正确； 故选：AC ．
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．命题“∃x ＞0，x 3＞0”的否定为 ∀x ＞0，x 3≤0 ．
解：命题为全称命题，则命题“∃x ＞0，x 3＞0”的否定为∀x ＞0，x 3≤0， 故答案为：∀x ＞0，x 3≤0．
14．已知f(x)={(a +2)x +2，x ≤1
ax −a ，x ＞1，若f （x ）是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围是 [﹣4，
﹣2） ．
解：∵函数f(x)={(a +2)x +2，x ≤1
ax −a ，x ＞1是定义在R 上的减函数，
∴{a +2＜0a ＜0
a +2+2≥a −a
，解得﹣4≤a ＜﹣2，
∴实数a 的取值范围是[﹣4，﹣2）． 故答案为：[﹣4，﹣2）． 15．定义max{a ，b}={
a ，a ≥
b b ，a ＜b
，已知函数f （x ）＝max {x +3，（x +1）2}，则f （x ）的最小值为 1 ．
解：令x +3≥（x +1）2，解得﹣2≤x ≤1， 所以函数f （x ）={
x +3，−2≤x ≤1(x +1)2，x ＞1或x ＜−2
，
当﹣2≤x ≤1时，f （x ）min ＝f （﹣2）＝1， 当x ＞1或x ＜﹣2时，f （x ）min ＞f （﹣2）＝1， 所以函数f （x ）的最小值为1， 故答案为：1．
16．已知函数f （x ）是定义在{x ∈R |x ≠0）上的偶函数，且f （1）＝﹣1，若对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有
x 2f(x 1)−x 1f(x 2)
x 1−x 2
＞1，则不等式
f(x)+1x−1
＜0的解集为 （﹣∞，﹣1） ．
解：设x 1＞x 2＞0，则由x 2f(x 1)−x 1f(x 2)
x 1−x 2＞1，可得x 2f （x 1）﹣x 1f （x 2）＞x 1﹣x 2，
所以
f(x 1)x 1
−
f(x 2)x 2
＞
1x 2
−1x 1
，所以
f(x 1)+1x 1
＞
f(x 2)+1x 2
，
所以可得g （x ）=
f(x)+1
x
在（0，+∞）上单调递增， 因为函数f （x ）是定义在{x ∈R |x ≠0）上的偶函数， 所以函数g （x ）是定义在{x ∈R |x ≠0）上的奇函数， 因为f （1）＝﹣1，所以g （1）＝0，
所以当﹣1＜x ＜0或x ＞1时，g （x ）＞0， 当x ＜﹣1或0＜x ＜1时，g （x ）＜0， 由
f(x)+1x−1
＜0可得当x ＞1时，f （x ）+1＜0，g （x ）=
f(x)+1
x
＜0，此时无解； 当0＜x ＜1时，f （x ）+1＞0，g （x ）=f(x)+1
x
＞0，此时无解； 当x ＜0时，f （x ）+1＞0，g （x ）=f(x)+1
x
＜0，所以x ＜﹣1． 综上，不等式
f(x)+1x−1
＜0的解集为（﹣∞，﹣1）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）．
四、解答题（共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）求值：√0.0273
+25−0.5
+(432)−
1
3；
（2）若a +a ﹣1＝3，求
a 3+a −3
a −2+a 2+1
．
解：（1）原式=[(310)3]13+(52)−12+(23)−13=310+15+12=1；
（2）因为a +a ﹣
1＝3，
所以a 2+a ﹣
2+2＝9，即a 2+a ﹣
2＝7，
所以
a 3+a −3
a −2+a 2+1
=
(a+a −1)(a 2+a −2−1)
a 2+a −2+1
=
3×68
=9
4
．
18．设命题p ：（4x ﹣3）2≤1，命题q ：x 2﹣（2a +1）x +a （a +1）≤0． （1）当a ＝1时，若P 为假命题且q 是真命题，则求实数x 的取值范围； （2）若￢p 是￢q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解：（1）¬p ：（4x ﹣3）2＞1，
即（4x ﹣3）2﹣1＞0，即(x −1
2
)(x −1)＞0， ∴x ＜1
2或x ＞1，
当a ＝1时，q ：x 2﹣3x +2≤0，（x ﹣1）（x ﹣2）≤0， ∴1≤x ≤2，
又p 假q 真，则满足{x ＜1
2或x ＞11≤x ≤2，
∴1＜x ≤2，
故实数x 的取值范围为（1，2]；
（2）¬p ：x ＜1
2或x ＞1，¬q ：x 2﹣（2a +1）x +a （a +1）＞0，
令A ={x|x ＜12
或x ＞1}，B ＝{x |x 2﹣（2a +1）x +a （a +1）＞0}＝{x |x ＜a 或x ＞a +1}， 由已知条件可知A 是B 的真子集， 则{a ≤1
2a +1≥1且两等号不同时成立， 解得0≤a ≤12．
实数a 的取值范围为[0，1
2]．
19．已知偶函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f(−2)=32，当x ∈（0，+∞）时，函数f(x)=x −m
x ． （1）求实数m 的值；
（2）当x ∈（﹣∞，0）时，求函数f （x ）的解析式；
（3）利用定义判断并证明函数f （x ）在区间（0，+∞）的单调性． 解：（1）因为函数f （x ）为偶函数，且f(−2)=32
， 所以f(2)=2−
m 2=3
2
，解得m ＝1． （2）设x ∈（﹣∞，0），则﹣x ∈（0，+∞），f(−x)=−x +1
x
， 因为函数f （x ）为偶函数，所以f(x)=f(−x)=−x +1
x
， 所以当x ∈（﹣∞，0）时，f(x)=−x +1
x ． （3）f （x ）在区间（0，+∞）上为单调递增函数． 证明：设x 1，x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2，
则f(x 1)−f(x 2)=x 1−1x 1−(x 2−1x 2)=(x 1−x 2)+x 1−x
2x 1x 2
=(x 1−x 2)
(x 1x 2+1)
x 1x 2
， 因为x 1，x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2， 所以x 1﹣x 2＜0，x 1x 2＞0，x 1x 2+1＞0，
所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 所以f （x ）在区间（0，+∞）上为单调递增函数． 20．已知函数f （x ）＝a 2x ﹣ka x +1（﹣1≤x ≤1，a ＞0）， （1）若a ＝2，k ＝1，求函数f （x ）的值域；
（2）若∀k ∈[﹣2，2]，∃x 0∈[﹣1，1]，使f （x 0）≥4成立，求a 的取值范围． 解：（1）a ＝2，k ＝1时，f （x ）＝22x ﹣2x +1（﹣1≤x ≤1）， 令t ＝2x ，∵﹣1≤x ≤1，∴t ∈[1
2，2]，
f （x ）可写出关于t 的二次函数 g(t)=t 2−t +1，t ∈[12
，2]， 根据二次函数的性质可得g(t)∈[3
4，3]，
所以当a ＝2，k ＝1时，函数f （x ）的值域为 [34
，3]．
（2）∵a x ＞0，∴f （x ）可看成关于 k 的一次函数，且函数单调递减， ∀k ∈[﹣2，2]不等式f （x 0）≥4成立，∴a 2x 0−2a x 0+1≥4成立，
又∃x 0∈[﹣1，1]，f （x 0）≥4成立，∴∃x 0∈[﹣1，1]使得不等式 a 2x 0−2a x 0+1≥4成立，
令g(x 0)=a 2x 0−2a x 0+1，x 0∈[−1，1]，问题转化为函数 g （x 0）在[﹣1，1]上的最大值不小于4． ①a ＞1，x 0∈[﹣1，1]时，a x 0∈[1a
，a]，此时函数 g （x 0）的最大值为g （a ）＝（a ﹣1）2， ∴（a ﹣1）2≥4，解得a ≥3；
②0＜a ＜1，x 0∈[﹣1，1]时，a x 0∈[a ，1a ]，此时函数 g （x 0）的最大值为g(1a )=(1a
−1)2， ∴(1a −1)2≥4，解得 0＜a ≤13
，
综上，a 的取值范围为(0，13
]∪[3，+∞)．
21．济南市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t 相关，当10≤t ≤20时列车为满载状态，载客量为500人，当2≤t ＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t ）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为p （t ）． （1）求p （t ）的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为Q(t)=8p(t)−2656
t
−60（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．
解：（1）由题设，当2≤t ＜10时，令p （t ）＝500﹣k （10﹣t ）2， 又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人， ∴p （2）＝500﹣k （10﹣2）2＝372，解得k ＝2． ∴p(t)={300+40t −2t 2，2≤t ＜10500，10≤t ≤20，
故t ＝5时，p （5）＝500﹣2×（10﹣5）2＝450，
所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为450人． （2）由（1）知：Q(t)={260−16t −256
t ，2≤t ＜10
1344
t
−60，10≤t ≤20，
∵2≤t ＜10时，Q(t)≤260−2√16t ⋅256
t =132当且仅当t ＝4等号成立， ∴2≤t ＜10上Q （t ）max ＝Q （4）＝132，
而10≤t ≤20上，Q （t ）单调递减，则Q （t ）max ＝Q （10）＝74.4， 综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元． 22．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)=|t(x +4
x
)−5|(t ＞0)．
（1）若函数f （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，试求t 的取值范围；
（2）当t ＝1时，在区间（0，2]上是否存在a ，b ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]上单调，且f （x ）的值域为[ma ，mb ]，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由． 解：（1）因为x ＞0，
所以x +4x
≥2√x ⋅4x
=4（当且仅当x =4
x
，即x ＝2时，取等号），
函数y ＝x +4
x 在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增， 要使得函数f （x ）在区间（0，2），（2，+∞）上单调， 则g （x ）＝t （x +4
x
）﹣5≥0，（t ＞0） 所以g （x ）min ＝4t ﹣5≥0，解得t ≥5
4， 所以t 的取值范围为[5
4，+∞）．
（2）当t ＝1时，f （x ）＝|x +4
x −5|， 作出f （x ）图象如下：
当x ∈（1，2）时，f （x ）＝5﹣（x +4
x ），
所以f （a ）＝5﹣（a +4
a
）＝ma ，f （b ）＝5﹣（b +4b
）＝mb ， 所以
f(a)a
=
f(b)b
=m ，得
5b ﹣ab −4b a =5a ﹣ab −4a
b ，即5ab ﹣4（a +b ）＝0， 所以b =4a
5a−4，
由b ∈（1，2），解得4
3＜a ＜4，
因为a ∈（1，2），
由a ＜b ≤2，解得4
3
≤a ＜8
5，
由m =f(a)a =5−a−4
a a =−4a 2+5a −1，（43
≤a ＜8
5）
令t =1
a
∈（58
，3
4
]，
所以﹣m ＝4t 2﹣5t +1＝4（t −58）2−9
16， 解得1
2≤m ＜9
16，
当0＜a ＜b ＜1时，f （a ）＝mb ，f （b ）＝ma ， 所以{a +4
a −5=m
b b +4
b −5=ma
，消m ，得a +b ＝5，矛盾， 综上，m 的取值范围为[12
，
9
16
）．。