北京高二高中数学月考试卷带答案解析

北京高二高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知命题，若命题“”与命题“”都是假命题，则（）
A．为真命题，为假命题B．为假命题，为真命题
C．，均为真命题D．，均为假命题
2.命题的否定是（）
A．B．
C．D．
3.是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.设双曲线上的P点到点（5，0）的距离为15，则P点到（-5，0）的距离为（）
A．7B．23C．5或25D．7或23
5.A是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B,则弦的长度不小于半径长度的概率为( ) A．B．C．D．
6.如图所示，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于 ( )
A．B．C．D．
7.设圆的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程是（）
A．B．C．D．
8.已知，是双曲线的两个焦点，过作垂直于实轴的直线交双曲线于，两点，若∠，则
双曲线的离心率等于（）
A．B．C．D．
9.设，则关于，的方程所表示的曲线是( )
A．长轴在轴上的椭圆B．长轴在轴上的椭圆
C．实轴在轴上的双曲线D．实轴在轴上的双曲线
10.已知椭圆：，对于任意实数，下列直线被椭圆所截弦长与：被椭圆所截得的弦
长不可能相等的是（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.命题“不成立”是真命题，则实数的取值范围是_______。

2.执行右边的程序框图，若，则输出的．
3.如图，在直三棱柱中，，，分别是的中点，点在
上，且，则二面角的余弦值为；点到平面的距离为。

4.如图，已知，图中的一系列圆是圆心分别为A、B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，n，….利用这两组同心圆可以画出以A、B为焦点的双曲线. 若其中经过点M、N、P的双曲线的离心率分
别是.则它们的大小关系是（用“”连接）.
5.双曲线的一个焦点为，则的值为___________，双曲线的渐近线方程为___________.
6.下列四个命题中
①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②是的充要条件；
③垂直于同一平面的所有向量一定共面；
④对空间任意一点,若满足，则四点一定共面．其中真命题的为（将你认为是真命题的序号都填上）
三、解答题
1.（本小题满分13分）在直角坐标系中，点P 到两点，的距离之和等于
4
，设点
P
的轨迹
为
，直线
与C交于A，B两点．（1）写出C的方程；（2）若，求k的值．
2.（本小题满分13分）
对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求出表中及图中的值；
（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率.
分组频数频率
100.25
24
20.05
合计1
3.（本小题满分14分）
已知四棱锥的底面为菱形，且，，与相交于点.
（Ⅰ）求证：底面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若是上的一点，且，求的值．
4.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．若椭圆
在第一象限的一点的横坐标为，过点作倾斜角互补的两条不同的直线，分别交椭圆于另外两点，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：直线的斜率为定值；
（Ⅲ）求面积的最大值．
北京高二高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.已知命题，若命题“”与命题“”都是假命题，则（）
A．为真命题，为假命题B．为假命题，为真命题
C．，均为真命题D．，均为假命题
【答案】A
【解析】略
2.命题的否定是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】“任意”的否定是“存在”某值使得反面条件成立，而条件“”的反面是“”，所以命题的否定是：，故选C。

3.是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】略
4.设双曲线上的P点到点（5，0）的距离为15，则P点到（-5，0）的距离为（）
A．7B．23C．5或25D．7或23
【答案】D
【解析】略
5.A是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B,则弦的长度不小于半径长度的概率为( ) A．B．C．D．
【答案】C
【解析】连接OA,OB,当角AOB大于等于60度时,AB的长度大于等于半径长度,再根据对称性可以得出有240度的范围保证AB的长度大于等于半径长度,所以概率为240/360=2/3
6.如图所示，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于 ( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】取中点，连接。

∵是底面正方形的中心，是中点
∴，则
而是中点，∴，则四边形是平行四边形
∴
∴是异面直线和的所成角
在中，∵，∴
故
在中，∵，∴
在中，∵，∴
在中，∵
∴，故选B。

7.设圆的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交
于点M，所以="5," ，从而有5>,故点的轨迹是椭圆，为焦点，
c=1,a=，所以=，故M的轨迹方程是.选D。

8.已知，是双曲线的两个焦点，过作垂直于实轴的直线交双曲线于，两点，若∠，则
双曲线的离心率等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不妨设是双曲线的左、右焦点，依题意结合双曲线的对称性可知，是等腰直角三角形，则。

根据双曲线的几何定义可得，，即，化简可得，所以，故选C。

9.设，则关于，的方程所表示的曲线是( )
A．长轴在轴上的椭圆B．长轴在轴上的椭圆
C．实轴在轴上的双曲线D．实轴在轴上的双曲线
【答案】D
【解析】因为，所以<0, >0，原方程化为，故其表示实轴在轴上的双曲线。

选D。

10.已知椭圆：，对于任意实数，下列直线被椭圆所截弦长与：被椭圆所截得的弦
长不可能相等的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为椭圆关于两条坐标轴对称且是中心对称图形，所以若是与直线关于轴或原点对称的直线，根据对称性可知两直线与椭圆所截得的弦长相等。

直线即与直线关于原点对称，所以截得的弦长相等。

直线即与直线关于轴对称，所以截得的弦长相等。

直线即与直线关于轴对称，所以截得的弦长也相等。

根据排除法可知，选A。

二、填空题
1.命题“不成立”是真命题，则实数的取值范围是_______。

【答案】
【解析】略
2.执行右边的程序框图，若，则输出的．
【答案】4
【解析】略
3.如图，在直三棱柱中，，，分别是的中点，点在
上，且，则二面角的余弦值为；点到平面的距离为。

【答案】
【解析】方法一：如图，取的中点，连结，则。

∵三棱柱为在直三棱柱，
∴面，∴。

过作于，连结，则。

∴为二面角的平面角。

在中，，，则，得。

而二面角与二面角互补，故二面角的余弦值为。

设点到平面的距离为，由，得，即
，∴。

∵点是的中点，∴到平面的距离与点到平面的距离相等，为。

方法二：建立如图所示直角坐标系，则，,，，，。

向量为平面的一个法向量。

，。

设为平面的法向量，则，即，取，得平面的一个法向量为。

得。

由图知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为。

，则点到平面的距离为。

4.如图，已知，图中的一系列圆是圆心分别为A、B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，n，….利用这两组同心圆可以画出以A、B为焦点的双曲线. 若其中经过点M、N、P的双曲线的离心率分
别是.则它们的大小关系是（用“”连接）.
【答案】
【解析】略
5.双曲线的一个焦点为，则的值为___________，双曲线的渐近线方程为___________.
【答案】-1;
【解析】因为双曲线的一个焦点为，所以
为负值，可化为，，所以=—1，双曲线方程为，其渐近线方
程为
6.下列四个命题中
①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②是的充要条件；
③垂直于同一平面的所有向量一定共面；
④对空间任意一点,若满足，则四点一定共面．
其中真命题的为（将你认为是真命题的序号都填上）
【答案】①③④
【解析】一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，所以①为真命题；由可知成立，但反之能使成立，但不成立，所以②是假命题；而“垂直于同一平面的所有向量一定平行，平
行向量共面”，所以③是真命题；又由中及空间向量基本定理知④是真命题。

故真命题有①③④。

三、解答题
1.（本小题满分13分）在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点．（1）写出C的方程；（2）若，求k的值．
【答案】解：（1）设P( x，y )，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以，为焦点，
长半轴为2的椭圆．它的短半轴，……………………… 3分
故曲线C的方程为．………………………………………………… 6分
（2）设，其坐标满足
消去y并整理得.
故．………………………………………… 10分
若，即．而，
于是，
化简，得，所以．
因为△= 4k2+12(k2+4)=16k2+4>0对于任意的k∈R都成立.
故所求. ………………………………………………………………… 13分
【解析】略
2.（本小题满分13分）
对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求出表中及图中的值；
（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区
间内的概率.
分组频数频率
100.25
24
2
0.05
合计
1
【答案】解：（Ⅰ）由分组内的频数是，频率是知，，
所以
. ………………2分
因为频数之和为
，所以
，
. ………………3分
. ………………4分 因为是对应分组
的频率与组距的商，所以
.……………6分
（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组内的频率是，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人. ………8分 （Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人， 设在区间内的人为，在区间内的人为. 则任选人共有
，
15种情况， ………………10分 而两人都在内只能是
一种， ………………12分 所以所求概率为
.（约为
） ………………13分
【解析】略
3.（本小题满分14分） 已知四棱锥的底面为菱形，且，，与相交
于点.
（Ⅰ）求证：底面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若是上的一点，且，求的值．
【答案】（Ⅰ）证明：因为为菱形， 所以为的中点……………………………1分 因为, 所以 所以底面 …………3分 （Ⅱ）因为为菱形，所以 建立如图所示空间直角坐标系 又
得………………………4分
所以
,,………………………5分
设平面的法向量
有
所以解得
所以………………8分
…………………………9分
与平面所成角的正弦值为………………10分
（Ⅲ）因为点在上,所以
所以,
因为
所以,得解得
所以……………………14分
【解析】略
4.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．若椭圆
在第一象限的一点的横坐标为，过点作倾斜角互补的两条不同的直线，分别交椭圆于另外两点，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：直线的斜率为定值；
（Ⅲ）求面积的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为．
由题意………………………………………………2分
解得，．
所以椭圆的方程为．……………………………………………4分
（Ⅱ）由题意知，两直线，的斜率必存在，设的斜率为，
则的直线方程为.
由得
.………………6分
设，，则
，
同理可得，
则，.
所以直线的斜率为定值. ……………………………………8分（Ⅲ）设的直线方程为.
由得.
由，得.……………………………………10分
此时，.
到的距离为，
则
.
因为使判别式大于零，
所以当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为．………………………………………………………13分【解析】略。