2014届高考数学(苏教版)一轮复习题及详解第7章不等式7.4基本不等式及其应用

35 基本不等式及其应用
一、填空题
1．(2013江苏泰州)已知a ＋b ＝t (a ＞0，b ＞0)，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t ＝__________.
2．(2013江苏扬州安宜高级中学调研测试)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是__________．
3．已知x ＜12，则函数y ＝2x ＋12x －1
的最大值是__________． 4．(2012陕西高考改编)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则v ，a ，ab 大小关系为__________．
5．设a ，b ＞0且a ＋b ＝1，则11－a ＋11－b
的最小值是__________． 6．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是__________．
7．(2012江苏徐州第三次调研测试)若关于x 的方程x 4＋ax 3＋ax 2＋ax ＋1＝0有实数根，则实数a 的取值范围为__________．
8．(2013江苏苏州高三)已知函数f (x )＝bx ＋c ax 2＋1
(a ，b ，c ∈R ，a ＞0)是奇函数，若f (x )的最小值为－12，且f (1)＞25
，则b 的取值范围是__________． 9．设OA →＝ (1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A 、B 、
C 三点共线，则1a ＋2b
的最小值是__________． 二、解答题
10．在△ABC 中，a 2＋c 2＝2b 2，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长．
(1)求证：B ≤π3
； (2)若B ＝π4
，且A 为钝角，求A . 11.(1)已知a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈ (0，＋∞)，求证：a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y
，并指出等号成立的条件；
(2)求函数f (x )＝2x ＋91－2x
，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12的最小值，指出取最小值时x 的值． 12．(2012江苏栟茶高级中学第一学期第二次阶段考试)如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在离港口13a (a 为正常数)海里的北偏东β角的A
处有一个供给科考船物资的小岛，其中tan α＝13，cos β＝213
.现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东m (m ＞73
a )海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积S 最小时，这种补给最适宜．
(2)应征调m为何值处的船只，补给最适宜．
参考答案
一、填空题
1．22 解析：由基本不等式，得a ＋b ≥2ab ，得ab ≤t 2
， 从而⎝⎛⎭⎫t 22＝2，所以t ＝2 2.
2．[－2，＋∞) 解析：当x ＝0时显然恒成立，
当x ≠0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立即是－a ≤|x |＋1|x |
恒成立， 而|x |＋1|x |
≥2(当且仅当x ＝±1时，等号成立)，所以－a ≤2，即a ≥－2. 综上所述，a 的取值范围为[－2，＋∞)．
3．－1 解析：y ＝2x ＋12x －1
＝－⎣⎡⎦⎤(1－2x )＋11－2x ＋1，由x ＜12可得1－2x ＞0，根据基本不等式可得(1－2x )＋11－2x ≥2，当且仅当 1－2x ＝11－2x
，即x ＝0时取等号，则y m ax ＝－1. 4．a ＜v ＜ab 解析：v ＝21a ＋1b
＝2ab a ＋b ＜2ab 2ab ＝ab . 因为2ab a ＋b －a ＝2ab －a 2－ab a ＋b ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b
＝0， 所以2ab a ＋b
＞a ，即v ＞a ，故有a ＜v ＜ab .5．4 解析：11－a ＋11－b ＝1b ＋1a ≥21ab ＝2ab
(当且仅当“a ＝b ”时取“＝”)， 又a ，b ＞0且a ＋b ＝1，
故1＝a ＋b ≥2ab ，即ab ≤12
(当且仅当“a ＝b ”时取“＝”)． 所以11－a ＋1a －b
的最小值为4. 6．[－2，＋∞) 解析：将x 2＋a |x |＋1≥0变形，有a |x |≥－1－x 2＝－1－|x |2，则a ≥－1|x |
－|x |＝－⎝⎛⎭
⎫1|x |＋|x |， ∵1|x |＋|x |≥2，则－1|x |
－|x |≤－2， ∴a ≥－2.
7.⎝
⎛⎦⎤－∞，－23∪[2，＋∞) 解析：高次不好处理，设法降次． 方程两边同除以x 2，得x 2＋1x 2＋a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋1＝0.设t ＝x ＋1x
， 则|t |＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2x ·1x
＝2， 即t ≥2或t ≤－2.
令f (t )＝t 2＋at ＋a －2＝0，
要使此方程有实根，由图可知需要f (2)≤0或f (－2)≤0，
即22＋2a ＋a －2≤0或(－2)2－2a ＋a －2≤0，
解得a ≤－23
或a ≥2，从而有a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－23∪[2，＋∞)．
8.12
＜b ＜2 解析：显然函数的定义域为R . 因为函数f (x )是奇函数，
所以f (0)＝0，故c ＝0.
从而f (x )＝bx ax 2＋1
， 由f (1)＝b a ＋1＞25
，a ＞0，得b ＞0. 由f (x )＝b ax ＋1x
得当且仅当ax ＝1x ，即x ＝±1a 时，原函数有最值，从而b 2a ＝12，a ＝b 2，于是b b 2＋1＞25
，化简得2b 2－5b ＋2＜0，解得12＜b ＜2. 9．8 解析：AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，
AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)，
∵AB →与AC →共线，
∴2(a －1)＋b ＋1＝0，即2a ＋b ＝1.
∵a ＞0，b ＞0，
∴1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4a b
≥4＋4＝8， 当且仅当b a ＝4a b
，即b ＝2a 时等号成立． 二、解答题
10．解：(1)证明：由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2
4ac
.因a 2＋c 2≥2ac ，∴cos B ≥12
. 由0＜B ＜π，得B ≤π3
，命题得证． (2)由正弦定理，得sin 2A ＋sin 2C ＝2sin 2B .
因B ＝π4
，故2sin 2B ＝1，于是sin 2A ＝cos 2C . 因为A 为钝角，
所以sin A ＝cos C ＝cos ⎝⎛⎭⎫34π－A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A －π4.所以A ＋⎝⎛⎭
⎫A －π4 ＝π⎝⎛⎭
⎫A ＝A －π4，不合题意，舍. 解得A ＝5π8
. 11．(1)证明：∵a ，b ，x ，y 都是正数， ∴⎝⎛⎭⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋b 2x y ＋a 2y x ≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当b 2x y ＝a 2y x ，即bx ＝ay 时取“＝”．
∴a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y
，当且仅当bx ＝ay 时等号成立． (2)解：∵0＜x ＜12，∴0＜1－2x ＜1.
由(1)，知f (x )＝42x ＋91－2x ≥(2＋3)21
＝25， 当且仅当3·2x ＝2·(1－2x )，
即x ＝15∈⎝⎛⎭
⎫0，12时取“＝”． ∴x ＝15
时，f (x )的最小值为25. 12．解：(1)以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则直线OZ 的方程为y ＝3x .
设点A (x 0，y 0)，则x 0＝13a sin β＝13a ·313
＝3a ，y 0＝13a cos β＝13a ·213＝2a ，即A (3a,2a )．
又B (m,0)，所以直线AB 的方程为y ＝2a
3a －m (x －m )．
上面的方程与y ＝3x 联立，得点C ⎝⎛⎭⎫2am 3m －7a ，6am 3m －7a .
∴S (m )＝12OB ·|y C |＝3am 23m －7a ⎝⎛⎭⎫m >7
3a .
(2)S (m )
＝a ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎝⎛⎭⎫m －7
3a ＋49a
2
9⎝⎛⎭⎫m －73a ＋143
a ≥a ⎝⎛⎭⎫249a 29＋14
3a ＝28a 2
3，当且仅当m －73a ＝49a 29⎝⎛⎭⎫m －73a 时，即m ＝
14
3
a 时取等号．
答：(1)S 关于m 的函数关系式S (m )＝12OB ·|y C |＝3am 23m －7a ⎝⎛⎭⎫m >7
3a ，
(2)应征调离港口正东14
3a 处的船只补给最适宜．。