福建高一高中数学期末考试带答案解析

福建高一高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.下列程序语言中，哪一个是输入语句( )
A．PRINT B．INPUT C．THEN D．END
2.公比为的等比数列的各项都是正数，且，则= （）
A．B．C．D．
3.若函数，在处取最小值，则=（）
A．B．C．3D．4
4.已知,则下列推证中正确的是（）
A．
B．
C．，
D．
5.在等比数列中，已知前n项和=，则的值为（）
A．－1B．1C．5D．-5 6.如果执行右边的程序框图，那么输出的（）
A．22B．46C．94D．190 7.已知，满足约束条件，若的最小值为，则（）
A．B．C．D．
8.在△中，角所对的边分别为.若，则( )
A．－B．C．－D．
9.已知两座灯塔A、B与C的距离都是，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为 ( )
A． B. C. D．
10.已知等差数列的公差，且成等比数列，则的值是（）
A．B．C．D．
11.若数列满足＝(n∈N*，为常数)，则称数列为“调和数列”．已知正项数列为“调和数
列”，且，则的最大值是 ()
A．10B．100C．200D．400
12.设是定义在上的函数，若，且对任意，满足，
，则=（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.若实数x，y满足，则的最大值为________．
2.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,判断框内“”，且，则___________.
3.△ABC满足，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点(不在边界上)，定义f(M)=(x,y,z)，其中
分别表示△MBC，△MCA,△MAB的面积，若，则的最小值为__________________
4.已知函数，且，则___________.
三、解答题
1.在△中，角所对的边分别为，已知,，．
（1）求的值；
（2）求的值.
2.已知不等式的解集是．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求不等式的解集．
3.已知数列的前项和为，且＝，数列中，，点在直线
上．
（1）求数列的通项和；
(2) 设，求数列的前n项和．
4.某地需要修建一条大型输油管道通过240公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用
为400万元，铺设距离为公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为万元．设余下工程的总费用为万元．
(1)试将表示成的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使最小，其最小值为多少？
5.在△中，角所对的边分别为，已知．
（1）求的值；
（2）若，，求△的面积.
6.已知数列的首项.
（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）证明：对任意的；
（3）证明：.
福建高一高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.下列程序语言中，哪一个是输入语句( )
A．PRINT B．INPUT C．THEN D．END
【答案】B
【解析】由程序语言知，INPUT是输入语句.
考点:程序语言
2.公比为的等比数列的各项都是正数，且，则= （）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由等比数列性质知，=，由是各项都是正数且公比为2的等比数列求得=4，∴=
=2.
【考点】等比数列性质
3.若函数，在处取最小值，则=（）
A．B．C．3D．4
【答案】C
【解析】通过配凑将化为，符合基本不等式求最值“一正二定三相等”的条件，由基本不等式=≥=4，当且仅当，即==3
＞2时，取最小值4求出最小值及最小值时的值.
【考点】基本不等式；转化与化归思想
4.已知,则下列推证中正确的是（）
A．
B．
C．，
D．
【答案】C
【解析】对选项A，当=0时，=0，故A错. 对Ｂ选项，当＞０时，由不等式的乘法知，当
＜０时，由不等式的乘法知，故Ｂ错；对选项Ｃ，∵，知同号，当都为正数时，由知，，∴，当都为负数时，由知，，∴.
【考点】不等式性质；幂函数单调性
5.在等比数列中，已知前n项和=，则的值为（）
A．－1B．1C．5D．-5
【答案】D
【解析】当=1时，===，当≥2时，==-=，∵是等比数列，∴公比为5，∴==5，解得=-5.
【考点】等比数列定义；数列前n项和与第n项关系
6.如果执行右边的程序框图，那么输出的（）
A．22B．46C．94D．190
【答案】C
【解析】.运行第1次，=1，=1，=2，=4，=2＞5，否，循环；
运行第2次，=3，=10，=3＞5，否，循环；
运行第3次，=4，=22，=4＞5，否，循环；
运行第4次，=5，=46，=5＞5，否，循环；
运行第5次，=6，=94，=6＞5，是，输出S=94，故选C
【考点】程序框图
7.已知，满足约束条件，若的最小值为，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线：=0，平移直线，由图知直线：z=过点A 时，z取最小值0，由解得A(1,-2),代入解得=1.
【考点】简单线性规划解法
8.在△中，角所对的边分别为.若，则( )
A．－B．C．－D．
【答案】B
【解析】由余弦定理及已知得===，∵，∴==，∴
==.
【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系式；诱导公式
9.已知两座灯塔A、B与C的距离都是，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为 ( )
A． B. C. D．
【答案】D
【解析】.作出图如图，由题知∠ACB=120，AC=BC=，由余弦定理得AB=
==.
【考点】方位角；余弦定理
10.已知等差数列的公差，且成等比数列，则的值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由等差数列的通项公式及成等比数列可得，由，解得，由等差数列的通项公式将用表示出来，再将用表示出来，即可求出其值.
【考点】等差数列通项公式；等比数列定义
11.若数列满足＝(n∈N*，为常数)，则称数列为“调和数列”．已知正项数列为“调和数
列”，且，则的最大值是 ()
A．10B．100C．200D．400
【答案】B
【解析】由正项数列为“调和数列”知= (n∈N*，为常数)，由等差数列定义知数列{}是公差为
等差数列，由等差数列前n项公式得==90，有等差数列性质可得=20，由基本不等式得≤=100，所以的最大值为100.
【考点】新概念理解；等差数列定义；等差数列性质；等差数列前n项和；基本不等式
12.设是定义在上的函数，若，且对任意，满足，
，则=（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵，∴∵
∴=，即
∵，∴=，∴，
∴
∴== = =+ +++
+15•24+15•20="2008++" +++ +15•24+15•20==.
【考点】不等式性质；叠加法；等比数列前n项和公式；函数的求值
二、填空题
1.若实数x，y满足，则的最大值为________．
【答案】5
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，表示可行域内任一点（）与（0，-1）连线的斜率，由题知，当过A点时，取最大值，由与解得A（，），∴的最大值为5.
【考点】简单线性规划解法;直线的斜率公式
2.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,判断框内“”，且，则___________.
【答案】4
【解析】逐次运算，找出S为输出结果时，判断框内满足的条件，结合已知，即可求出.
【考点】程序运行第1次，=1，=1不是输出结果，故不成立，循环，=，=2；运行第2次，=2，=不是输出结果，故不成立，循环，=，=3；
运行第3次，=3，=不是输出结果，故不成立，循环，=，=4；
运行第4次，=4，=不是输出结果，故不成立，循环，=，=5；
运行第5次，=5，=是输出结果，故成立，输出，故，∵，∴.
【考点】程序框图；拆项消去法
3.△ABC满足，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点(不在边界上)，定义f(M)=(x,y,z)，其中
分别表示△MBC，△MCA,△MAB的面积，若，则的最小值为__________________
【答案】18
【解析】∵，∠BAC=30°，∴，∴=4，∴= =1，由知，=，∴=1-=，∴==≥=18.
【考点】平面向量数量积；三角形面积公式；新概念理解；基本不等式
4.已知函数，且，则___________.
【答案】-1003
【解析】+++ +
=+]++ +="-3+5-7+" +2001-2003="2+2+2+" +2-2003=-1003.
【考点】分段函数；数列求和；化归与转化思想
三、解答题
1.在△中，角所对的边分别为，已知,，．
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）将已知条件,，代入余弦定理即可求得；（2）由及同角三角函数基本关系式中的平方关系求出sinB,再由正弦定理即可求
出sinC的值.
试题解析：（1）由余弦定理 2分
得 5分
6分
（2） 7分
由正弦定理，即 10分
12分
【考点】余弦定理；正弦定理；同角三角函数基本关系式
2.已知不等式的解集是．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求不等式的解集．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由得，，即可解得的取值范围；（2）由知，且的两根分别为和2，根据韦达定理即可求的，将代入不等式，将其转化为
不含参数的不等式
试题解析：（1）∵，∴，∴ 4份
（2）∵，∴是方程的两个根，
∴由韦达定理得解得 8分
∴不等式即为：
其解集为． 12分
【考点】一二次不等式解法；运算求解能力
3.已知数列的前项和为，且＝，数列中，，点在直线
上．
（1）求数列的通项和；
(2) 设，求数列的前n项和．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）先由第n项与前n项关系，求出数列{}的递推关系，再由等比数列的定义判定数列{}
是等比数列，用等比数列的通项公式，求出数列{}的通项公式，由点在直线上得，=2，根据等差数列定义知数列{}是等差数列，所以再根据等比数列的通项公式，求出的通项公式；（2）由（1）知是等差数列与等比数列对应项乘积构成的新数列，其求和用错位相减法.
试题解析：（1）
2分
.
3分
7分
（2）
9分
因此： 10分
即：
【考点】数列第n项与前n项和的关系；等差数列定义与通项公式；等比数列定义与通项公式；错位相减法；转
化思想；运算求解能力.
4.某地需要修建一条大型输油管道通过240公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用
为400万元，铺设距离为公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为万元．设余下工程的总费用为万元．
(1)试将表示成的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使最小，其最小值为多少？
【答案】（1）y＝＋240x－160(0＜x≤240)；（2）11，9440
【解析】（1）设增加个增压站，有题意知(k＋1)x＝240，即k＝－1，根据题意将用表示出来，主要定
义域；（2）利用基本不等式求出（1）中函数的最小值及取最小值时的值，再利用（1）中与的关系式，求
出值.
试题解析：（1)设需要修建k个增压站，则(k＋1)x＝240，即k＝－1.
所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)＝400＋(x2＋x)＝＋240x－160. 5分
因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x≤240.
故y与x的函数关系是y＝＋240x－160(0＜x≤240)． 7分
(2)y＝＋240x－160≥2－160＝2×4 800－160＝9 440. 9分
当且仅当＝240x，即x＝20时取等号． 10分
此时，k＝－1＝－1＝11. 11分
故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9 440万元． 12分
【考点】函数的综合应用；基本不等式；运算求解能力；应用意识
5.在△中，角所对的边分别为，已知．
（1）求的值；
（2）若，，求△的面积.
【答案】(1)2;(2)
【解析】(1)先由正弦定理将已知条件中的角化为边，然后十字相乘展开整理，利用两角和与差的正弦公式及诱导公式即可整理得与，即可求出的值；（2）由（1）的结论及正弦定理求出关系，结合已知条件和余弦定理求出的值，再利用同角三角函数基本关系式及求出，再用三角形面积公式求出三角形面积公式.
试题解析：（1）由正弦定理，设
则==
所以= 3分
即=，
化简可得
又，所以因此=2. 6分
（2）由=2得 7分
由余弦定理及，得
解得=1，∴=2， 9分
又因为，且，所以
因此==. 12分
【考点】正弦定理；余弦定理；三角形面积公式；两角和与差的三角公式；诱导公式；同角三角函数基本关系式；运算求解能力
6.已知数列的首项.
（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）证明：对任意的；
（3）证明：.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）将两边去倒数并常量分量，然后所得式子变形数列{}的第n+1项是第n项若干
倍形式，根据等比数列定义即可判定{}是等比数列，利用等比数列通项公式，先求出{}的通项公式，再解出的通项公式；（2）将不等式右侧式子配凑的通项公式形式，再将其化为关于的二次函数最值问题，通过放缩即可证明该不等式；（3）先将的通项公式常量分量，代入，通过放缩即可证明不等式的左半部分，对利用（2）的结论缩小，出现首项为，公比为的等比数列的前n项和，数列取为该数列前n项和的算术平局值，即可证明该不等式右半部分.
试题解析：（1），又
所以是以为首项，以为公比的等比数列．
5分
（2）由（1）知
9分
（3）先证左边不等式，由知；当时等号成立； 11分
再证右边不等式，由（2）知，对任意，有，
取，
则 14分
考点:等比数列定义、通项公式、前n项和公式；二次函数最值；放缩法；转化与化归思想；运算求解能力。