湘教版七年级数学上册《1章 有理数 1.2 数轴、相反数与绝对值 1.2.2相反数与绝对值》优课导学案_11

第一章1.2.3－1.2.4相反数；绝对值
一、考点突破
相反数和绝对值是有理数知识中的重点内容，是进行有理数运算的基础。

本讲主要包括三个知识点：相反数、绝对值、有理数大小的比较。

这三个知识点联系非常密切，是中考的重要考点，多以选择和填空题的形式出现，大约占3分，难度不大。

本讲考点要求主要有以下几方面：
1. 能借助数轴理解相反数、绝对值的概念；
2. 掌握求相反数和求绝对值的方法；
3. 会根据相反数的意义化简有理数的符号；
4. 会利用绝对值比较两个负数的大小，会借助数轴比较两个有理数的大小；
5. 掌握绝对值的性质以及绝对值的非负性的应用。

二、重难点提示
重点：相反数的求法、绝对值的性质、有理数大小的比较。

难点：1. 相反数的求法，特别是含有多重符号和多个字母的数的相反数的求法，如数a 的相反数是－a，这里a是任意数，可以是正数，也可以是负数或0。

2. 对绝对值的性质的理解。

一、知识脉络图
二、知识点拓展
（1）多重符号的化简
相反数的意义是化简带“负号”的多重符号的依据，一个数的相反数仅有一个，实质上－a就是a的相反数，多重符号的化简有如下规律：“＋”号的个数不影响化简的结果，可以直接忽略；“－”号的个数决定最后的化简结果。

（2）绝对值的性质
无论是绝对值的几何意义，还是绝对值的代数定义，都揭示了绝对值的一个重要的性质──非负性，也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数，即无论a取何有理数，都有︱a︱≥0。

即：
①0的绝对值是0，绝对值是0的数是0；
②一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0；
③任何数的绝对值都不小于它本身；
④绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数；
⑤互为相反数的两个数的绝对值相等；
⑥绝对值相等的两个数相等或互为相反数。

随堂练习：下列说法：①0是绝对值最小的有理数；②相反数大于自身的数是负数；③数轴上原点两侧的数互为相反数；④两个数相互比较，绝对值大的反而小。

其中正确的是（）
A. ①②
B. ①③
C. ①②③
D. ②③④
解析：①正确；
②若－a ＞a ，则2a ＜0，即a 是负数，故②正确；
③数轴上原点两侧，且到原点距离相等的数互为相反数；故③错误；
④两个负数相互比较，绝对值大的反而小；故④错误；
所以正确的结论是①②。

故选A 。

答案：A
知识点1：相反数
例题1 （1）若a ＝3.2，则－a ＝__________；
（2）若－a ＝－14
，则a ＝__________； （3）若－（－a ）＝3，则－a ＝__________；
（4）－a ＋1的相反数是__________。

思路导航：（1）因为a ＝3.2，而－a 是a 的相反数，则－a ＝－3.2；（2）因为－a ＝－14
，而a 是－a 的相反数，则a ＝14
；（3）因为－（－a ）＝3，而－a 是－（－a ）的相反数，故－a ＝－3；（4）－a ＋1的相反数是－（－a ＋1），即a －1。

答案：（1）－3.2；（2）14
；（3）－3；（4）a －1。

点评：求一个数的相反数时应注意以下几点：1）数a 的相反数是－a ；2）求一个数的相反数，只要改变它的符号即可，其他部分不变；3）用式子表示的数，求它的相反数时，通常将其看成一个整体，加上括号，再在它前面加上“－”号，化简即可。

例题2 若2x ＋1是－9的相反数，求x 的值。

思路导航：因为任何一个有理数都有相反数，且只有一个相反数，－9的相反数是9，若2x ＋1是－9的相反数，则2x ＋1等于9，即2x ＋1＝9，解这个简易方程就可以求出x 的值。

答案：因为2x ＋1是－9的相反数，所以2x ＋1＝9，解之得x ＝4。

点评：本题考查求一个数的相反数的方法，这类题目通常会借助方程来解，注意方程思想的培养。

例题3 若m 、x 异号，且m ＜x ，那么m 、x 的相反数哪个大？并在数轴上表示出m 、x 及它们相反数所对应的点。

思路导航：因为m 、x 异号，所以m 和x 一个是正数，一个是负数，又因为m ＜x ，所以m 是负数，x 是正数。

那么m 的相反数就是正数，x 的相反数就是负数，所以m 的相反数比x 的相反数大。

在数轴上表示时，先确定m 、x 的位置，再根据相反数的几何意义确定其相反数的位置。

答案：因为m 、x 异号，且m ＜x ，所以m ＜0，x ＞0。

所以－m ＞0，－x ＜0，所以－m ＞－x ，即m 的相反数比x 的相反数大。

在数轴上表示如下：
0m -x -m x 或
点评：正确解答本题的关键是如何理解m 、x 异号，本题还可以采用分类讨论的方法，分⎩⎨⎧m ＞0x ＜0和⎩⎨⎧m ＜0x ＞0
两种情况，再根据题意选择能够满足条件的情况求解。

随堂练习：数轴上的点A 和点B 所表示的数互为相反数，且点A 对应的数是－2，P 是到点A 或点B 距离为3的数轴上的点，则所有满足条件的点P 所表示的数的和为（ ）
A. 0
B. 6
C. 10
D. 16
解析：∵点A 对应的数是－2，
∴到点A 的距离是3的数是：－5或1；
又∵数轴上的点A 和点B 所表示的数互为相反数，
∴点B 表示的数是2，到点B 的距离是3的数是－1或5；
∴所有满足条件的点P 所表示的数的和是：－5+1－1+5=0。

故选A 。

答案：A
知识点2：绝对值
例题1 若︱a －1︱＋︱b －2︱＝0，求a ＋b 的值。

思路导航：绝对值都有非负性，因此︱a －1︱≥0，︱b －2︱≥0，而︱a －1︱＋︱b －2︱＝0，因此︱a －1︱＝0，︱b －2︱＝0，只有零的绝对值等于0，所以a －1＝0，b －2＝0，即a ＝1，b ＝2，进而可求a ＋b 的值。

答案：因绝对值均为非负数，可知︱a －1︱≥0，︱b －2︱≥0，而︱a －1︱＋︱b －2︱＝0，所以︱a －1︱＝0，︱b －2︱＝0，所以a －1＝0，b －2＝0，即a ＝1，b ＝2。

所以a ＋b ＝1＋2＝3。

点评：利用绝对值的性质，即绝对值的非负性，两个非负数之和为零，那么这两个非负数必定为零，求出a 、b 的值，代入式子求值。

例题2 已知数轴上点A 和点B 分别表示互为相反数的两个数a 、b （a <b ），并且A 、B 两点间的距离是6，求a 、b 的值，并在数轴上表示出A 、B 两点。

思路导航：根据a 、b 互为相反数，可知点A 、B 到原点的距离相等，又因为A 、B 两点间的距离是6，所以可以求出点A 、B 到原点的距离，再根据a 、b 的大小情况求出a 、b 的值。

答案：由a 、b 互为相反数可知︱a ︱＝︱b ︱，因为A 、B 两点间的距离是6，即︱a ︱＋︱b ︱＝6，所以︱a ︱＝︱b ︱＝3。

因为a 、b 互为相反数，且a ＜b ，所以a ＝－3，b ＝3。

在数轴上表示如图所示：
03-3A
B
点评：本题考查了相反数和绝对值的几何意义，这类问题应借助数轴来解答，注意数形结合思想的培养。

随堂练习：下列说法中，正确的有（ ）
①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个有理数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理
数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数。

A. ②④⑤⑥
B. ③⑤
C. ③④⑤
D. ③⑤⑥
解：①0是有理数，|0|=0，故①错误；
②互为相反数的两个数的绝对值相等，故②错误；
③互为相反数的两个数的绝对值相等，故③正确；
④绝对值最小的有理数是0，故④错误；
⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，故⑤正确；
⑥只有符号不同的两个数不一定是相反数，例如－3与5，故⑥错误。

所以③⑤正确。

故选B 。

答案：B
知识点3：有理数大小的比较
例题1 比较下列每组数的大小：
（1）－（－5）与－︱－5︱；
（2）－（＋3）与0； （3）－45与－︱－34
︱； （4）－π与－︱－3.14︱。

思路导航：这几道题中的数，不是含有多重符号，就是含有绝对值，注意先化简，再比较大小。

答案：（1）化简得－（－5）＝5，－︱－5︱＝－5。

因为正数大于一切负数，所以－（－
5）＞－︱－5︱。

（2）化简得－（＋3）＝－3。

因为负数小于零，所以－（＋3）＜0。

（3）化简得－︱－34︱＝－34，这是两个负数比较大小。

因为︱－45︱＝45＝1620，︱－34
︱＝34＝1520，且1620＞1520，所以－45＜－︱－34
︱。

（4）化简得－︱－3.14︱＝－3.14，这是两个负数比较大小，因为︱－π︱＝π，︱－
3.14︱＝3.14，而π＞3.14，所以－π＜－︱－3.14︱。

点评：先化简符号，去掉绝对值再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较。

例题2 正式排球比赛对所使用的排球的球重有严格的规定。

现检查5个排球，超过规：
（1）指出哪个排球的质量好些（即球重值最接近规定值）？
（2）如果对两个排球做上述检查，检查结果分别为p 、－q ，请利用学过的绝对值知识说明哪个排球的质量更好一些。

思路导航：本题是一道实际应用问题，将其转化为数学问题就是比较检查结果的绝对值的大小，但第（2）问要分情况讨论。

答案：（1）因为︱＋15︱＝15，︱－10︱＝10，︱＋30︱＝30，︱－20︱＝20，︱－40︱＝40，根据绝对值的意义，绝对值越小，越接近标准，所以第二个排球的质量好些。

（2）如果︱p ︱＞︱－q ︱，那么结果为－q 的排球质量更好；如果︱p ︱＜︱－q ︱，那么结果为p 的排球质量更好；如果︱p ︱＝︱－q ︱，那么两个排球的质量一样好。

点评：正确理解有理数的绝对值的意义是解决本题的关键。

在实际问题中，我们往往只
关心数的绝对值，而并不一定关心数的符号。

例题3 用w 表示一个有理数。

（1）比较w 和－w 的大小；
（2）比较︱w ︱和w 的大小；
（3）比较︱w 1︱和w 的大小。

思路导航：这三个小题都要分类讨论，第（1）题和第（2）题把w 分成正数、零、负数三种情况讨论比较；第（3）题的分类情况更复杂。

在解题过程中注意正数和零的绝对值等于它本身，分母不能为零等性质。

答案：（1）当w ＞0时，－w ＜0，此时w ＞－w ；当w ＝0时，w ＝－w ；当w ＜0时，－w ＞0，此时w ＜－w 。

（2）当w ≥0时，︱w ︱＝w ；当w ＜0时，︱w ︱＞w 。

（3）根据题意有w ≠0，当w ＜0时，︱
w 1︱＞w ；当0＜w ＜1时，︱w
1︱＞1，此时︱w 1︱＞w ；当w ＝1时，︱w 1︱＝w ；当w ＞1时，︱w 1︱＜1，此时︱w 1︱＜w 。

点评：本题考查有理数大小的比较，题目中还涉及了绝对值、分数的概念，并且要比较的数都是以字母的形式给出的，这就使得该题难度加大，此类问题侧重于考查分类讨论思想的运用。

例题 （台湾）如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p ，q ，r ，s 。

若|p －r|=10，|p －s|=12，|q －s|=9，则|q －r|=（ ）
A. 7
B. 9
C. 11
D. 13
命题意图：主要考查绝对值性质的运用。

解答：根据数轴可得，p ＜q ＜r ＜s ，
则p －r=－10，p －s=－12，q －s=－9，
∴q －r=－7，
∴|q －r|=7。

故选A 。

点拨：解此类题的关键是：先利用题给条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，将式子化简，即可求解。

1. 求带多重符号的数的相反数时，由于没有对其化简而容易出现错误。

比如：－（－2）的相反数错解为2。

而－（－2）＝2，求－（－2）的相反数即求2的相反数，结果应为－2。

为避免出错，求某数的相反数时，应先化简，再求相反数；对于求一个式子的相反数，应将其作为一个整体（即用括号括起来），再在前面加上“－”号就可以了。

2. 对于绝对值的定义的理解，往往容易误认为︱a ︱＝a 只有在a ＞0时成立，导致因分析
不全面而漏解。

例：如果一个有理数的绝对值等于它本身，那么这个有理数一定是（ ）
A. 负数
B. 负数和0
C. 正数和0
D. 正数。

因为正数和0的绝对值都等于它本身，如果错选D ，就漏掉了0。

1. 绝对值性质的应用
如果几个非负数之和为0，则它们各自均为0。

即若︱a ︱＋︱b ︱＋…＋︱x ︱＝0，则a ＝b ＝…＝x ＝0。

2. 有理数大小的比较
（1）在数轴上，原点左边的数总小于右边的数。

（2）“两个负数相比较，绝对值大的反而小”只针对于两个负数而言，两个正数比较大小时，此方法不适用。

（3）异号的两数比较大小，只看符号；两个负数比较大小，要看其绝对值。

第一章1.3有理数的加减法
一、预习导学
1. 计算：
（1）（＋3）＋（＋5）＝__________；
（2）（－15）＋（－45
）＝__________； （3）（＋8）＋（－3）＝__________；
（4）（－2.5）＋（＋1.5）＝__________。

2. 互为相反数的两个数的和为__________，0和任意一个数相加，仍得__________。

3. 运用有理数加法运算律，可以使运算简便。

（1）互为相反数的两个数相结合：
（＋3.5）＋（－0.6）＋（－3.5）＋（＋0.6）
＝[_____＋_____]＋[_____＋_____]
＝__________；
（2）同分母分数相结合：
（＋23）＋（－35）＋（－13）＋（＋25
） ＝[_____＋_____]＋[_____＋_____]
＝__________；
（3）几个数相加得整数的数相结合：
（－2.35）＋（＋3.16）＋（＋4.35）
＝[_____＋_____]＋_____
＝__________。

二、问题思考
1. 有理数的加法法则是怎样的？
2. 小学学过的加法运算律有哪些，它们在有理数范围内还成立吗？
（答题时间：60分钟）
1. 下列各组数中，互为相反数的有（ ） （1）3.2与－
2.3；（2）－（－4）与－8；（3）－（－8）与－8；（4）－12与－[－（－12
）] A. 1组 B. 2组
C. 3组
D. 4组 2. a 为有理数，则下列说法中正确的是（ ） A. a 为正数 B. －a 是负数
C. a 与－a 一定有一个表示负数
D. a 与－a 互为相反数 3. 若一个数的相反数不是正数，则这个数一定是（ ） A. 正数 B. 正数或0 C. 负数 D. 负数或0
*4. 下列分数中，大于－12而小于－14
的数是（ ） A. －1120 B. －314 C. －316 D. －617
*5. 绝对值大于1、小于5的整数的个数是（ ）
A. 3个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
*6. 下列说法中：①如果a 、b 互为相反数，那么一定有a ≠b ；②如果a ＝b ，则︱a ︱＝︱b ︱；③两个负数，绝对值大的反而小；④如果甲数的绝对值比乙数大，那么甲数一定比乙数小。

其中正确的说法有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
*7. 数a 在数轴上对应的点如图所示，则a 、－a 、1的大小关系正确的是（ ） A. －a ＜a ＜1 B. a ＜－a ＜1
C. 1＜－a ＜a
D. a ＜1＜－a 01a
**8. 若有理数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列结论错误的是（ ）
0a b
A. ︱b ︱＞－a
B. ︱a ︱＞－b
C. b ＞a
D. ︱a ︱＞︱b ︱ **9. 下列判断中，正确的是（ ） A. 若a ≠b ，则︱a ︱≠︱b ︱ B. 若a ＞b ，则︱a ︱＞︱b ︱
C. 若a ＜0＜b ，则︱a ︱＜︱b ︱
D. 若a ＝－b ，则︱a ︱＝︱b ︱ 10. 最大的负整数是__________，绝对值最小的数是__________，绝对值最小的正整数是__________，绝对值最小的负整数是__________。

11. 如果︱x －3︱与︱y －2︱互为相反数，则x ＋y －3＝__________。

*12. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为423
，则这两个数是__________。

*13. 已知数轴上表示负有理数m 的点是点M ，那么在数轴上与点M 相距︱m ︱个单位的点中，与原点距离较远的点所对应的数是__________。

14. 小李在做题时，画了一个数轴，数轴上原有一点A ，其表示的数是－3，由于一时粗心，把数轴的原点标错了位置，使点A 正好落在－3的相反数的位置。

想一想，要把这个数轴画正确，原点应向哪个方向移动几个单位长度？
**15. 在2.011与它的相反数之间有a 个整数，在20.11与它的相反数之间有b 个整数，
在－12011
与它的相反数之间有c 个整数，求a ＋b ＋c 的值。

**16. 计算下列各式，将结果直接写在横线上：
︱2－3︱＝__________；3－2＝__________； ︱12－5︱＝__________；5－12＝__________； ︱45－56︱＝__________；56－45
＝__________。

通过上面几题，你能解决下面的问题吗？
（1）比较上面三组式子的结果，如果设a 、b 为有理数，︱a －b ︱一定等于b －a 吗？如果不一定，你能举出几个反例吗？
（2）计算：①︱34－45
︱＝__________；（用两个分数表示即可） ②︱x －1︱＝__________（x ≥1）；
③︱x －1︱＝__________（x <1）；
（3）计算：︱12011－12010︱＋︱12010－12009︱＋︱12009－12008︱＋…＋︱12
－1︱。

**17. 阅读下列材料：点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点间的距离表示为︱AB ︱。

设点O 为原点，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图①，︱AB ︱＝︱OB ︱＝︱b ︱。

当A 、B 两点都不在原点时：
（1）如图②，点A 、B 都在原点的右边，︱AB ︱＝︱OB ︱－︱OA ︱＝︱b ︱－︱a ︱。

（2）如图③，点A 、B 都在原点的左边，︱AB ︱＝︱OA ︱－︱OB ︱＝︱a ︱－︱b ︱。

（3）如图④，点A 、B 在原点的两边，︱AB ︱＝︱OA ︱＋︱OB ︱＝︱a ︱＋︱b ︱。

B O(A)
O A B A B O O B A ①②③④
根据以上信息，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是__________；
（2）数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是__________；
（3）数轴上表示1和－3的两点之间的距离是__________；
（4）数轴上有表示x 的点A 和表示－1的点B ，如果︱AB ︱＝2，那么x ＝__________。

1. A
2. D
3. B
4. D 解析：将－12、－14以及四个选项都表示在数轴上。

因为－1120＝－0.55，－314
≈－0.21，－316≈－0.19，－617≈－0.35，所以－1120＜－12＜－617＜－14＜－314＜－316
，故选D 。

5. C 解析：可结合数轴来找，在原点左边有－2、－3、－4，原点右边有2、3、4，共6个。

6. B 解析：①错误，a 、b 互为相反数包括a ＝0、b ＝0的情况，此时a ＝b ；②和③是正确的；④错误，不一定，比如甲数是8，乙数是2，甲数的绝对值比乙数大，但甲数也比乙数大。

7. D 解析：由图可知a ＜0，且︱a ︱＞1，所以－a ＞0，︱－a ︱＞1。

所以－a 最大，1次之，a 最小。

8. A 解析：由图可知︱a ︱＞︱b ︱，所以选项D 正确；因为b 是正数，所以－b 是负数，所以︱a ︱＞－b ，即选项B 正确；因为b 是正数，a 是负数，所以b ＞a ，即选项C 正确；因为a 是负数，所以－a 是正数，又因为︱a ︱＞︱b ︱，所以选项A 错误，应为︱b ︱＜－a 。

9. D 解析：本题可用特例进行判断，选项A 错误，如：－2≠2，但︱－2︱＝︱2︱；选项B 错误，如：1＞－6，但︱1︱＜︱－6︱；选项C 错误，如：a ＝－2，b ＝1，有a ＜0＜b ，但︱a ︱＞︱b ︱；选项D 正确，如果a ＝－b ，则︱a ︱＝︱－b ︱＝︱b ︱。

10. －1，0，1，－1 解析：可借助数轴来解答本题。

11. 2 解析：因为︱x －3︱≥0，︱y －2︱≥0，且︱x －3︱与︱y －2︱互为相反数，所以︱x －3︱＝0，︱y －2︱＝0，所以x ＝3，y ＝2，所以x ＋y －3＝2。

12. 73和－73 解析：因为互为相反数的两个点到原点的距离相等，423÷2＝73
，所以这两个数是73和－73。

13. －2m 解析：与点M 相距︱m ︱个单位的点有两个，一个在点M 右边，这个数正好是0，即原点；另一个在点M 左边，这个数与原点相距2︱m ︱，所以这个数是－2m 。

14. 解：在点A 不动的情况下，应使原点向右移动6个单位长度。

如图：
03
-303-3A A 移动前：移动后：
15. 解：根据题意可知，在－2.011~2.011之间有整数－2、－1、0、1、2，共5个整数，所以a ＝5；在－20.11~20.11之间有整数－20、－19、…、0、1、…、20，共41个整数，所
以b ＝41；在－12011~12011
之间有整数0，共1个整数，所以c ＝1。

故a ＋b ＋c ＝47。

16. 解：1，1，214，214，130，130。

（1）不一定，如：a ＝3、b ＝1时，︱a －b ︱≠b －a ；（2）①45－34；②x －1；③1－x ；（3）︱12011－12010︱＋︱12010－12009︱＋︱12009－12008︱＋…＋︱12－1︱＝12010－12011＋12009－12010＋…＋1－12＝－12011＋1＝20102011。

17. 提示：第（1）~（3）题根据阅读材料提供的规律直接计算即可，第（4）题要分情况讨论。

解：（1）3；（2）3；（3）4；（4）因为点B表示－1，︱AB︱＝2，所以有两种情况：点A在点B的右边（此时点A一定在原点的右边）、点A在点B的左边。

当点A在点B右边时，此时点A、B分别在原点两边，︱AB︱＝︱x︱＋︱－1︱＝2，可得x＝1（x＝－1不符合题意）；当点A在点B左边时，此时点A、B都在原点左边，︱AB︱＝︱x︱－︱－1︱＝2，可得x＝－3（x＝3不符合题意）。

所以x＝1或－3。