蠡县第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷

蠡县第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称，则f （x ）=（ ）
A ．e x+1
B ．e x ﹣1
C ．e ﹣x+1
D ．e ﹣x ﹣1
2． 在△ABC 中，b=，c=3，B=30°，则a=（ ）
A ．
B ．2
C ．或2
D ．2
3． 等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 2a 6=（
）
A ．6
B ．9
C ．36
D ．72
4． 为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知三个社区分别有低收入家C B A ,,庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从社C 区抽取低收入家庭的户数为（ ）
A ．48
B ．36
C ．24
D ．18
【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题．5． 数列{a n }是等差数列，若a 1+1，a 3+2，a 5+3构成公比为q 的等比数列，则q=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6． 设数集M={x|m ≤x ≤m+}，N={x|n ﹣≤x ≤n}，P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，如果把b ﹣a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 如图可能是下列哪个函数的图象（
）
A ．y=2x ﹣x 2﹣1
B ．y=
C ．y=（x 2﹣2x ）e x
D ．y=
8． 已知抛物线：的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，
C 2
8y x F P C P
是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（ ）
Q PF C PQ =
PF A ． B ．
C ．
D ．20x y --=20x y +-=20x y -+=20
x y ++=9． 与命题“若x ∈A ，则y ∉A ”等价的命题是（
）
A ．若x ∉A ，则y ∉A
B ．若y ∉A ，则x ∈A
C ．若x ∉A ，则y ∈A
D ．若y ∈A ，则x ∉A
10．设a ，b ∈R 且a+b=3，b ＞0，则当+
取得最小值时，实数a 的值是（
）
A ．
B ．
C ．
或
D ．3
二、填空题
11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=，则= ．
12．设α为锐角，若sin （α﹣
）=，则cos2α= ．
13．若直线：与直线：垂直，则
.
012=--ay x 2l 02=+y x =a 14．已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，则的值为 ．
15．在△ABC 中，若角A 为锐角，且=（2，3），
=（3，m ），则实数m 的取值范围是 ．
16．在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等}{n a 20161-=a n n S 28
108
10=-S S 2016S 于
.
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度.
n 三、解答题
17．如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC=，M 为BC 的中点．
（Ⅰ）证明：AM ⊥PM ； （Ⅱ）求点D 到平面AMP 的距离．
18．【海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试】已知函数，其中，是()()
2x f x x ax a e =++a R ∈e 自然对数的底数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；1a =()y f x =0x =（2）求函数的单调减区间；
()f x （3）若在恒成立，求的取值范围.
()4f x ≤[]4,0-a 19．（本小题满分13分）已知函数，3
2
()31f x ax x =-+（Ⅰ）讨论的单调性；
()f x （Ⅱ）证明：当时，有唯一的零点，且．
2a <-()f x 0x 01(0,)2
x ∈
20．（本小题满分13分）
椭圆:的左、右焦点分别为、，直线经过点与椭圆交于点
C 22
221(0)x y a b a b
+=>>1F 2F :1l x my =-1F C ，点在轴的上方．当时，
M M x 0m =1||MF =（Ⅰ）求椭圆的方程；
C （Ⅱ）若点是椭圆上位于轴上方的一点， ，且，求直线的方程．
N C x 12//MF NF 12
12
3MF F NF F S S ∆∆=l 21．（本小题满分10分）直线l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C 1的参数方
程为（t 为参数），圆C 2的普通方程为x 2＋y 2＋2x ＝0.
{x ＝
cos t y ＝1＋sin t
)
3（1）求C 1，C 2的极坐标方程；
（2）若l 与C 1交于点A ，l 与C 2交于点B ，当|AB |＝2时，求△ABC 2的面积．
22．若f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ，y ＞0，满足f （）=f （x ）﹣f （y ）
（1）求f（1）的值，
（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．
蠡县第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：函数y=e x 的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为y=e ﹣x ，
而函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 的图象关于y 轴对称，所以函数f （x ）的解析式为y=e ﹣（x+1）=e ﹣x ﹣1．即f （x ）=e ﹣x ﹣1．故选D ．　
2． 【答案】C 【解析】解：∵b=，c=3，B=30°，
∴由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，可得：3=9+a 2﹣3，整理可得：a 2﹣3
a+6=0，
∴解得：a=
或2
．
故选：C ．　
3． 【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，
∵a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，∴3（1+q 2+q 4）=21，解得q 2=2．则a 2a 6=9×q 6=72．故选：D ．　
4． 【答案】C
【解析】根据分层抽样的要求可知在社区抽取户数为．
C 249
2
108180270360180108=⨯=++⨯5． 【答案】A
【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1+1，a 3+2，a 5+3构成等比数列，得：（a 3+2）2=（a 1+1）（a 5+3），整理得：a 32+4a 3+4=a 1a 5+3a 1+a 5+3
即（a 1+2d ）2+4（a 1+2d ）+4=a 1（a 1+4d ）+4a 1+4d+3．化简得：（2d+1）2=0，即d=﹣．
∴q=
=
=1．
故选：A ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
6．【答案】C
【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，
P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，
∴根据题意，M的长度为，N的长度为，
当集合M∩N的长度的最小值时，
M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，
故M∩N的长度的最小值是=．
故选：C．
7．【答案】C
【解析】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，
∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；
B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，
∴B中的函数不满足条件；
C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；
且y=e x＞0恒成立，
∴y=（x2﹣2x）e x的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；
∴C中的函数满足条件；
D中，y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，
∴y=＜0，∴D中函数不满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．
8．【答案】B
【解析】
考点：抛物线的定义及性质．
【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点．
9．【答案】D
【解析】解：由命题和其逆否命题等价，所以根据原命题写出其逆否命题即可．
与命题“若x∈A，则y∉A”等价的命题是若y∈A，则x∉A．
故选D．
10．【答案】C
【解析】解：∵a+b=3，b＞0，
∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0．
①当0＜a＜3时，+==+=f（a），
f′（a）=+=，
当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=时，+取得最小值．
②当a＜0时，+=﹣（）=﹣（+）=f（a），
f′（a）=﹣=﹣，
当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=﹣时，+取得最小值．
综上可得：当a=或时，+取得最小值．
故选：C．
【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、填空题
11．【答案】= ．
【解析】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，
∴sinAsinB+sinBsinC=2sin2B．
再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，故a，b，c成等差数列．
C=，由a，b，c成等差数列可得c=2b﹣a，
由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab．
化简可得5ab=3b2，∴=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．
12．【答案】　﹣　．
【解析】解：∵α为锐角，若sin（α﹣）=，
∴cos（α﹣）=，
∴sin=[sin（α﹣）+cos（α﹣）]=，
∴cos2α=1﹣2sin 2α=﹣．
故答案为：﹣
．
【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．　
13．【答案】1【解析】
试题分析：两直线垂直满足，解得，故填：1.()02-12=⨯+⨯a 1=a 考点：直线垂直
【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，
，，当两直线垂直时，需满足，当两直线平行时，
0:1111=++c y b x a l 0:2222=++c y b x a l 02121=+b b a a 需满足且，或是，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直
01221=-b a b a 1221c b c b ≠212121c c
b b a a ≠=，两直线平行时，，.1
121-=k k 21k k =21b b ≠14．【答案】　
　．
【解析】解：已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，∴a 1+a 2 =1+9=10．数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，∴ =1×9，再由题意可得b 2=1×q 2＞0 （q 为等比数列的公比），
∴b 2=3，则=，
故答案为
．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质应用，属于中档题．
15．【答案】 ．
【解析】解：由于角A 为锐角，∴
且
不共线，
∴6+3m ＞0且2m ≠9，解得m ＞﹣2且m ．
∴实数m 的取值范围是．
故答案为：
．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．　
16．【答案】2016
三、解答题
17．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：取CD的中点E，连接PE、EM、EA
∵△PCD为正三角形
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
∵平面PCD⊥平面ABCD
∴PE⊥平面ABCD
∵四边形ABCD是矩形
∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形
由勾股定理得EM=，AM=，AE=3
∴EM2+AM2=AE2，∴∠AME=90°
∴AM⊥PM
（Ⅱ）解：设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，则V P﹣ADM=V D﹣PAM ∴
而
在Rt△PEM中，由勾股定理得PM=
∴
∴
∴，即点D到平面PAM的距离为
18．【答案】（1）（2）当时，无单调减区间；当时，的单调减区间
210x y -+=2a =()f x 2a <()f x 是；当时，的单调减区间是.（3）()2,a --2a >()f x (),2a --244,4e ⎡⎤-⎣⎦
【解析】试题分析：（1）先对函数解析式进行求导，再借助导数的几何意义求出切线的斜率，运用点斜式求出切线方程；（2）先对函数的解析式进行求导，然后借助导函数的值的符号与函数单调性之间的关系进行分类分析探求；（3）先不等式进行等价转化，然后运用导数知识及分类整合的数学思想探求函数的极
()4f x ≤值与最值，进而分析推证不等式的成立求出参数的取值范围。

（2） 因为，()()()()2'222x x f x x a x a e x a x e ⎡⎤=+++=++⎣⎦当时，，所以无单调减区间.2a =()()2
'20x f x x e =+≥()f x 当即时，列表如下：
2a ->-2a <所以的单调减区间是.
()f x ()2,a --当即时，，列表如下：2a -<-2a >()()()'2x
f x x x a e =++所以的单调减区间是.
()f x (),2a --综上，当时，无单调减区间；
2a =()f x 当时，的单调减区间是；
2a <()f x ()2,a --当时，的单调减区间是.
2a >()f x (),2a --（3）.()()()()2'222x x f x x a x a e x a x e ⎡⎤=+++=++⎣⎦
当时，由（2）可得，为上单调增函数，
2a =()f x R 所以在区间上的最大值，符合题意.
()f x []4,0-()024f =≤当时，由（2）可得，要使在区间上恒成立，2a <()4f x ≤[]4,0-只需，，解得.()04f a =≤()()2244f a e
--=-≤2442e a -≤<当时，可得，.24a <≤()4a a f a e
-=≤()04f a =≤设，则，列表如下：()a a g a e =()1'a a g a e
-=
所以，可得恒成立，所以.()()max 114g a g e ⎡⎤==
<⎣⎦4a a e
≤24a <≤当时，可得，无解.4a >()04f a =≤综上，的取值范围是.
a 244,4e ⎡⎤-⎣⎦19．【答案】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）， （1分）2
()363(2)f x ax x x ax '=-=-①当时，解得或，解得，0a >()0f x '>2x a >
0x <()0f x '<20x a
<<∴的递增区间为和，的递减区间为． （4分）()f x (,0)-∞2(,)a +∞()f x 2(0,a
②当时，的递增区间为，递减区间为． （5分）
0a =()f x (,0)-∞(0,)+∞③当时，解得，解得或0a <()0f x '>20x a <<()0f x '<0x >2x a
<∴的递增区间为，的递减区间为和． （7分）()f x 2(,0)a ()f x 2(,)a
-∞(0,)+∞（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知上递减，在上递增，在上递减．2a <-2(,a -∞2(,0)a
(0,)+∞∵，∴在没有零点． （9分）22240a f a a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭
()f x (,0)-∞∵，，在上递减，()010f =>11(2)028
f a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭()f x (0,)+∞∴在上，存在唯一的，使得．且 （12分）(0,)+∞0x ()00f x =01(0,2x ∈
综上所述，当时，有唯一的零点，且． （13分）
2a <-()f x 0x 01(0,)2
x ∈20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由直线经过点得，:1l x my =-1F 1c =当时，直线与轴垂直，
0m =l x 21||b MF a ==由解得
的方程为． （4分）21c b a
=⎧⎪⎨=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 2212x y +=（Ⅱ）设，，由知.1122(,),(,)M x y N x y 120,0y y >>12//MF NF 12121122
||3||MF F NF F S MF y S NF y ∆∆==
=联立方程，消去得，解得22112
x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩x
22(2)210m y my +--=
y =∴，同样可求得， （11分）1y =
2y =由得，解得，123y y =123y y =3=1m =直线的方程为． （13分）
l 10x y -+=21．【答案】
【解析】解：（1）由C 1：（t 为参数）得{x ＝cos t y ＝1＋sin t
)
x 2＋（y －1）2＝1，
即x 2＋y 2－2y ＝0，
∴ρ2－2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ为C 1的极坐标方程，由圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＝0得
3ρ2＋2ρcos θ＝0，即ρ＝－2cos θ为C 2的极坐标方程．
33（2）由题意得A ，B 的极坐标分别为
A （2sin α，α），
B （－2cos α，α）．
3∴|AB |＝|2sin α＋2cos α|
3＝4|sin （α＋）|，α∈[0，π），π3
由|AB |＝2得|sin （α＋）|＝，π312
∴α＝或α＝.π25π6
当α＝时，B 点极坐标（0，）与ρ≠0矛盾，∴α＝，π2π25π6此时l 的方程为y ＝x ·tan （x ＜0），5π6即x ＋3y ＝0，由圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＝0知圆心C 2的直角坐标为（－，0），
333∴C 2到l 的距离d ＝＝，|3×（－3）|（3）2＋3232
∴△ABC 2的面积为S ＝|AB |·d 12＝×2×＝.12
3232即△ABC 2
的面积为.32
22．【答案】 【解析】解：（1）在f （）=f （x ）﹣f （y ）中，令x=y=1，则有f （1）=f （1）﹣f （1），
∴f （1）=0；
（2）∵f （6）=1，∴2=1+1=f （6）+f （6），
∴不等式f （x+3）﹣f （）＜2
等价为不等式f （x+3）﹣f （）＜f （6）+f （6），∴f （3x+9）﹣f （6）＜f （6），
即f （）＜f （6），
∵f （x ）是（0，+∞）上的增函数，
∴，解得﹣3＜x ＜9，
即不等式的解集为（﹣3，9）．。