吉林省长市十一高中高二数学下学期期中考试 理

长春市十一高中2011-2012学年度高二下学期期中考试
数 学 试 题（理）
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，测试时间120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分） 1.已知复数2
3(13)
i
z i +=
-，则=z （ ） A.
14 B. 1
2
C. 1
D. 2 2.下列命题错误的是( )
A ．对于命题p ：22
,10,,10x R x x p x R x x ∃∈++<⌝∀∈++≥使得则为均有
B ．命题“若2
3201x x x -+==则”是正确的
C ．若p q ∧是假命题，则q p ,均为假命题
D ．“2>x ”是“2
320x x -+>”的充分不必要条件
3.右图是计算函数ln(),2,
0,23,2,3x x x y x x ⎧-≤-⎪
=-<≤⎨⎪>⎩
值的程序框图，
在①、②、③处应分别填入的是( )
A ．ln(),0,2x y x y y =-==
B ．0,ln(),2x
y y x y ==-=
C ．0,2,ln()x y y y x ===-
D ．ln(),2,0x
y x y y =-==
4.下列命题中，真命题是（ ）
A ．若直线m 、n 都平行于α，则n m //
B ．设βα--l 是直二面角，若直线,l m ⊥则β⊥m
C ．若n m ,在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且n m ⊥，则α⊂n 或α//n
D ．若直线m 、n 是异面直线，α//m ，则n 与α相交
体验 探究 合作 展示
）
（1）（2）（3）（4）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（2）（3）
6.设
⎩
⎨
⎧
∈
-
-
∈
=
],
2,1[
,
2
],1,1
[
,
)
(
2
x
x
x
x
x
f，则=
⎰-21)(dx
x
f（）
A.
6
7
B.
6
5
C.
5
4
D.
4
3
7.将函数x
y sin
=的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后,得到函数)
6
sin(
π
-
=x
y的图象,则ϕ等于 ( )
A.
6
π
B.
6
5π
C.
6
7π
D.
6
11π
8.若焦点在x轴上的椭圆
22
1
2
x y
m
+=的离心率为
1
2
，则m等于（）
A．3 B.
8
3
C.
3
2
D.
2
3
9.若2
()2'(1)
f x xf x
=+，则'(0)
f等于（）
A. 4
- B. 2
- C. 0 D. 2
10.若(1－2x)2012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2011x2011＋a2012x2012(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011) ＋(a0＋a2012)＝（）
A．2009 B.2010 C.2011 D. 2012
11.从6个正方形拼成的12个顶点(如图)中任取3个顶点作为一组，其中可以构成三角形的组数为( )
A．208 B．204
C．200 D．196
12.设动点P到点(10)
A-，和(10)
B，的距离分别为
1
d和
2
d，
2
APBθ
∠=，且存在常数(01)
λλ
<<，使得
y
P
1
d
2θ
212sin d d θλ=．（如图所示）那么点P 的轨迹是（ ）
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）
13.函数1
()ln 1
x f x ax x -=-+在(2,3)上单调递增，则实数a 的取值范围是 .
14.已知点),(y x P 是区域⎪⎩⎪
⎨⎧≤+≥≥123400y x y x 内的任意一点，那么点P 满足条件1)1()1(22≤-+-y x 的概率是 .
15.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 10,6,3,1，这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16 这样的数称为“正方形数”。

如图可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为 （填序号） ①13=3+10； ②25=9+16； ③6=15+21； ④49=18+31； ⑤64=28+36
16.双曲线22
154
x y -=的渐近线夹角为α，则cos
2
α
的值为_____________
17.形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为 .
18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 22
=的焦点为F ，若M 是抛物线上的动点，则||||
MO MF 的最大值为 .
三、解答题（本题共5小题，每题12分，共60分）
19.已知数列{}n a 是等差数列，首项31=a ，公差1-=d ，设数列n
a n
b 2
=，n n b b b T 21=
（1）求证：数列{}n b 是等比数列；
（2）n T 有无最大项，若有，求出最大值；若没有，说明理由.
20.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=
12
. （1）求四棱锥S-ABCD 的体积； （2）求证：面SAB⊥面SBC ；
（3）求二面角A CD S --的正切值.
21.某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示.
（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ （3）若高校决定在上述抽出的6名学生中，只录取两名学生，设X 为这两名学生来自第3组的人数，求X 的分布列.
组号 分组
频数 频率 第1组 [)165,160 5 0.050 第2组 [)170,165 ① 0.350 第3组 [)175,170 30 ② 第4组
[)180,175
20
0.200 第5组 [180,185] 10
0.100 合计
100
1.00
S
D
C
B
A 组距
频率
0.08
22.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线l 的方程为2x =-，点P 在准线l 上，纵坐标为
1
3(0)t t t t
-
∈≠R ,，点Q 在y 轴上，纵坐标为2t ． （1）求抛物线C 的方程；
（2）求证：直线PQ 恒与一个圆心在x 轴上的定圆M 相切，并求出圆M 的方程。

23.已知函数1
()x x f x e +=
．
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）设函数()()'()()x
g x xf x tf x e t R -=++∈．是否存在实数,,[0,1]a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<？若存在，求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．
长春市十一高中2011-2012学年度高二下学期期中考试
数 学 试 题（理）参考答案及评分标准
一、选择题（每题5分，共60分）
13. 41≤
a 14. 6
π 15. ⑤ 16.
3
5
17.3402 18. 3
3
2 三、解答题
19.解：（1）由已知条件知数列{}n a 的通项公式为：n a n -=4，所以n
n b -=42…….3分
21
2
2431==--+n n n n b b ，由定义知数列{}n b 是等比数列………..5分 （2）2
72
4232122
2
n n n
n
n n b b b T --⋅-+++=== ，------------7分
若n T 最大，则2
7)(2n
n n f +-=最大，当3=n 或4时，6)4()3(==f f 最大，
------------10分
故n T 有最大项，最大值为6443==T T ------------12分
20.解：（1）由棱锥体积公式：4
1
11)211(213131=⨯⨯+⨯=⋅=
h S V 底 ----------4分 （2）证明：ABCD SA 底面⊥，BC SA ⊥∴，AB BC ⊥，⊥∴BC 平面SAB
⊂BC 平面SBC ，∴面SAB⊥面SBC -----------8分
（3）过点A 作CD AE ⊥于E （E 在CD 的延长线上，连接SE ，则CD SE ⊥，所以
θ=∠SEA 为二面角A CD S --的平面角。

-------------------10分 在SEA Rt ∆中，1,55==
SA AE ，所以5tan ==AE
SA θ------------12分
21.解：（1）由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人,------------------2分 第3组的频率为
30
0.300100
=, 频率分布直方图如右图: -------------------6分
（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为: 第3组:
30
6360
⨯=人,
第4组:
20
6260⨯=人, 第5组:10
6160
⨯=人,
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人---------------------8分 （3）由条件知：2,1,0=X ，则X 服从超几何分布，其分布列为
2,1,0,)(2
6
233===-k C C C k X P k
k --------------------------------12分 22.（1）设抛物线的方程为)0(22
>=p px y 因为准线l 的方程式2-=x ，所以4,22
=-=-
p p
，因此抛物线的方程为x y 82=------------5分
（2）由题意可知，)2,0(),13,2(t Q t t P --，所以直线x t
t t y PQ 2
12:-=- 即：042)1(2
2=-+-t ty x t ------------------------7分
设圆心在x 轴上，且与直线PQ 相切的圆M 的方程为2
220)(r y x x =+-)0(>r
则圆心到直线PQ 的距离为
r t
t t x t =+---2
2
2
2024)1(4)1(
即：)1(4)1(2202+=--t r t x t 或)1(4)1(2
202+-=--t r t x t --------------------9分 所以：0)4(020=----r x t r x 或0)4(02
0=+--+r x t r x 对于任意0,≠∈t R t 恒成立。

即：⎩⎨
⎧=+=--00400r x r x 或⎩⎨⎧=-=-+00
40
0r x r x
解得:⎩⎨
⎧==2
2
0r x 因此直线PQ 恒与一个圆心在x 轴上的定圆M 相切，圆M 的方程为
22(2)4x y -+=.
------------------------------12分
23.解：（1）x
e x
x f -=
')(-----------------2分 当0≥x 时，0)(≤'x f ，)(x f 在区间[)+∞,0上是减函数
当0<x 时，0)(>'x f ，)(x f 在区间()0,∞-上是增函数---------------4分
（2）假设[]1,0,,∈∃c b a ，使得)()()(c g b g a g <+，则max min ))(())((2x g x g <-----------5分
由条件知：x e x t x x g 1)1()(2+-+=，x
e
x t x x g )
1)(()(---='∴------------------6分 Ⅰ.当1≥t 时，0)(≤'x g ，)(x g 在[]1,0上单调递减，
)0()1(2g g <∴，即132
<-e t ，得：12
3>->e
t -----------7分 Ⅱ.当0≤t 时，0)(≥'x g ，)(x g 在[]1,0上单调递增
)1()0(2g g <∴，即e
t
-<
32，得：023<-<e t -----------8分 Ⅲ.当10<<t 时
[)0)(,,0<'∈x g t x ，(]0)(,1,>'∈x g t x ，所以：)(x g 在[]t ,0单调递减，在[]1,t 上单调递增 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<∴e t t g 3,1max )(2，即⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-<+e t e t t 3,1max 12 ▲--------------------10分
由（1）知t e t t f 1)(+=在[]1,0∈t 上单调递减，故有e e
t t
4
12≥+ 而
e
e t 3
3≤-，所以▲式无解 综上所述：存在),2
3()23,(+∞---∞∈e
e t 使得命题成立--------12分。