广东省东莞市高三专题练习——三角函数(数学文)

2008年东莞市高三文科数学专题练习——三角函数
东莞实验中学 黄宁
1.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1cos 4
B =
． （1）求b 的值； （2）求sin C 的值．
2. 在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4
cos 5
A =-．求cos
B 的值；
3. .cos cos sin 21
,2)4
tan(2的值求
已知α
αααπ+=+
4. 求函数4
4sin
cos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值；并写出该函数在
[0,]π上的单调递增区间。

5. 在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且3
1cos =A . （Ⅰ）求A C
B 2cos 2
sin 2
++的值； （Ⅱ）若3=a ，求bc 的最大值
6. 已知向量)sin ,sin 3
3
(),sin ,(cos x x x x -
==，定义函数x f ⋅=)(． 求)(x f 的最小正周期和最大值及相应的x 值；
7.已知向量(cos sin ,sin )a x x x =+，(cos sin ,2cos )b x x x =-， 设()f x a b =⋅.
（1）求函数()f x 的最小正周期.
（2）当,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的最大值及最小值.
8.已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量()
()1,3,cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅= （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若22
1sin 23cos sin B
B B
+=--，求tan B
9.已知向量)sin ,(cos αα=a
, )sin ,(cos ββ=b , 5
52||=-b a .
（Ⅰ）求cos()αβ-的值;
（Ⅱ）若02πα<<, 02πβ-<<, 且5
sin 13
β=-, 求sin α.
10. 已知函数2
()2sin (
)21,4
f x x x x R π
=+-∈。

（Ⅰ）若函数()()h x f x t =+的图象关于点(,0)6
π
-对称，且(0,)t π∈，求t 的值；
（Ⅱ）设:[
,],:()342
p x q f x m ππ
∈-<，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围。

三角函数专题参考答案
1. 解：（1）由余弦定理，222
2cos b a c ac B =+-，……………………………………2分
得2
2
2
1
23223104
b =+-⨯⨯⨯
=，…………………………………………………4分
∴b =6分
（2）由余弦定理，得222
cos 2a b c C ab
+-=，………………………………8分
8=
=，………………………10分 ∵C 是ABC ∆的内角，
∴sin 8
C ==．………………………………………………………12分
2. 解：在ABC △
中，3sin 5A ===，由正弦定理，
sin sin BC AC A B =． 所以232
sin sin 355
AC B A BC ==⨯=． 因为4
cos 5
A =-，所以角A 为钝角，从而角
B 为锐角，
于是cos 5B ===
3. 解：由.3
1
tan ,
2tan 1tan 1)4
tan(
==-+=
+αα
ααπ
得
于是.3213
121
)31
(1
tan 21tan cos cos sin 2cos sin cos cos sin 2122
2
2
2
2=+⨯+=++=++=+ααααααααααα
4. 解：x x x x y 44cos cos sin 32sin -+=
)
6
2sin(22cos 2sin 32sin 3)cos )(sin cos (sin 2222π
-
=-=
+-+=x x
x x
x x x x
故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；单增区间是[π31,0]，],6
5[ππ 5. 解(Ⅰ)A C
B 2cos 2
sin
2
++=)1cos 2()]cos(1[212-++-A C B
=)1cos 2()cos 1(212
-++A A =)192()311(21-++ = 9
1- (Ⅱ) ∵
3
1
cos 2222==-+A bc a c b ∴
222223
2
a bc a c
b b
c -≥-+=, 又∵3=a ∴.4
9
≤bc
当且仅当 b=c=23时,bc=49,故bc 的最大值是4
9
.
6. x x x x f 2sin cos sin 33
)(+-
=11(sin 22)22x x =-+1)23x π=+
22,T π
ωπω
==
=． 当5,12x k k Z ππ=-
∈时，()f x 取最大值12．
7. 解：（1）()(cos sin )(cos sin )2sin cos f x a b x x x x x x =⋅=+-+ ………2分 2
2
cos sin 2sin cos cos 2sin 2x x x x x x =-+=+ ………3分
)4
x π
=
+ ………5分
所以函数()f x 的最小正周期22
T π
π== ………6分
（2）当44x ππ-≤≤， ∴32444x πππ-≤+≤，1)4
x π
-≤+≤
∴当2,4
2
8
x x π
π
π
+=
=
即时，()f x ………10分
当24
4
x π
π
+=-
，即4
x π
=-
时，()f x 有最小值1-. ………12分
8.解（Ⅰ）∵1m n ⋅= ∴(()cos ,sin 1A A -⋅= cos 1A A -=
12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
∵50,66
6A A π
π
ππ<<-
<-
<
∴66A ππ-= ∴3
A π
= （Ⅱ）由题知22
12sin cos 3cos sin B B B B
+=--，整理得22
sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2
tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-
而tan 1B =-使2
2
cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2
B =
∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=-
-=811+=
9. 解：（Ⅰ）
(cos ,sin )αα=a , (cos ,sin )ββ=b ,
()cos cos sin sin αβαβ∴-=--a b ，. ………………………………1分
5
-=a b ,
5
=
, ………………………………3分 即 ()422c o s 5α
β--=, ()3
cos 5
αβ∴-=. ……………………………6分 （Ⅱ）0,0,022ππ
αβαβπ<<-<<∴<-<, ………………………7分
()3cos 5αβ-=, ()4
sin .5αβ∴-= …………………………………9分
5sin 13β=-, 12
cos 13
β∴=, (10)
分
()(
)()s i n s i n s i n c o s c o s s i n ααββαββαββ∴=-+=-+-⎡⎤⎣⎦4123533
513513
65
⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭. …………………………………………………………12分
10. 解：（Ⅰ）∵ 2
()2sin (
)211cos(2)2142
f x x x x x π
π
=+--=-+-
sin 222sin(2)3
x x x π
==-
∴ ()()2sin(22)3
h x f x t x t π
=+=+-，
∴()h x 的图象的对称中心为(,0),26
k t k Z ππ
+-∈ 又已知点(,0)6
π
-
为()h x 的图象的一个对称中心，∴()23
k t k Z ππ=
+∈
而(0,)t π∈，∴3t π=
或56
π。

（Ⅱ）若p 成立，即[,]42x ππ∈时，22[,
]363
x πππ
-∈， ()[1,2]f x ∈，由()33()3f x m m f x m -<⇒-<<+，
∵ p 是q 的充分条件，∴31
32
m m -<⎧⎨+>⎩，解得14m -<<，
即m 的取值范围是(1,4)-。