2017-2018学年四川省成都市新都区香城中学高一(下)第一次月考数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年四川省成都市新都区香城中学高一（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题有且只有一个选项是正确的，共60分）1．12，13，16，21，（），37．A．25 B．26 C．28 D．312．函数的最小正周期是（）A．B．C．D．3．已知向量，则•=（）A．﹣1 B．0 C．﹣2m D．1﹣m2 4．cos32°sin62°﹣sin32°sin28°=（）A．B．C．D．5．在△ABC中，已知a=4，b=3，A=30°，△ABC的解的个数为（）A．1 B．0 C．2 D．不确定6．若α+β=，则（tanα+1）•（tanβ+1）=（）A．1 B．2 C．3 D．67．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S11=121，则a6=（）A．1 B．110 C．11 D．1328．已知sinα﹣sinβ=，cosα+cosβ=，则cos（α+β）=（）A．B．C．D．9．数列{a n}中，a1=1，若a n+1=a n+2n+1，n∈N*，则数列{a n}的第k项a k=（）A．k2B．k2﹣k+1 C．k2+k D．2k﹣110．sin75°（1﹣tan15°）=（）A．1 B．C．D．11．在△ABC中，b2cosC+bccosB=a2，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形12．在△ABC中，角A，B，C成单调递增的等差数列，a，b，c是的△ABC三边，，则c﹣a的取值范围是（）A．B．C．D．（，）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知数列{a n}前五项为0.125，0.125，0.25，0.75，3，则a8=．14．若tanα=，则α+β=．15．sinα+cos（α+）=，则sin（α+）=．16．已知函数f（x）=，（e=2.71828…），则f（﹣10）+f（﹣9）+…+f（﹣1）+f（0）+f（1）+…+f（9）+f（10）=．三、解答题（17-21题每题12分，第22题是三选二，10分，共70分）17．已知sinβ+cosβ=，β∈（0，π）（1）求sin2β的值；（2）求tanβ的值．18．△ABC中，sinA=（1）若△ABC中b=3，求边a的长；（2）求cosC的值．19．已知数{a n}的前n项和S n=n2﹣n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的第n项b n=a n+1，n∈N*，求T n=++…+．20．已知向量，函数f（x）=，x∈R．（1）若f（x）=，求的值；（2）△ABC的内角A满足：f（A）=，若b=，c=1，求△ABC外接圆的面积．2）看看我们生活中的挂历：横看、竖看、斜看，都是天然的等差数列．随意框选9个数，如图1，可以发现12等于周围8个数之和的八分之一．请用所学数学知识对此作出简要的说明．（2）如图2，在框选出4×4的方框中，第一行的四个数字依次为4，5，6，7．甲乙丙三人从这16个数中各挑选出一个数字，甲选中的数字是18，并删去18所在的行和列；乙在5与12这两个数中任意挑选一个数，记为x，再删去x所在的行和列；丙在27与28这两个数中任意挑选一个数，记为y，再删去y所在的行和列；最后剩下的一个数记为w，试列式计算以说明这四个数18，x，y，w之和是一个定值．请在所给三个小题中任选两个完成证明，每小题5分，本小题满分10分22．求证：．23．求证：S△ABC=2R2sinAsinBsinC．（注：R是△ABC外接圆的半径）2015春•新都区校级月考）等差数列{a n}的首项是a1，公差为d，m，n，p，q∈N*，若m+n=p+q．证明：a m+a n=a p+a q．2017-2018学年四川省成都市新都区香城中学高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题有且只有一个选项是正确的，共60分）1．12，13，16，21，（），37．A．25 B．26 C．28 D．31考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数列的已知项寻找规律即可．解答：解：∵13﹣12=1，16﹣13=3，21﹣16=5，∴x﹣21=7，37﹣x=9，解得x=28，故选：C．点评：本题主要考查数列的概念和表示，根据条件寻找规律是解决本题的关键．2．函数的最小正周期是（）A．B．C．D．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，可得结论．解答：解：函数=﹣sin（3x﹣）的最小正周期是，故选：A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，属于基础题．3．已知向量，则•=（）A．﹣1 B．0 C．﹣2m D．1﹣m2考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的数量积的坐标运算计算即可．解答：解：∵，∴•=m﹣m=0，故选：B．点评：本题考查了向量的数量积的坐标运算，属于基础题．4．cos32°sin62°﹣sin32°sin28°=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用诱导公式，两角和的余弦公式，化简所给的式子，可得结果．解答：解：cos32°sin62°﹣sin32°sin28°=cos32°cos28°﹣sin32°sin28°=cos（32°+28°）=cos60°=，故选：C．点评：本题主要考查诱导公式，两角和的余弦公式，属于基础题．5．在△ABC中，已知a=4，b=3，A=30°，△ABC的解的个数为（）A．1 B．0 C．2 D．不确定考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：根据题意和正弦定理求出sinB的值，再由边角关系判断出B只能是锐角，即可得△ABC的解的个数．解答：解：∵a=4，b=3，A=30°，∴由正弦定理得，，则sinB===，∵a＞b，∴A＞B，则B只能是锐角，∵△ABC只有一解，故选：A．点评：本题考查了正弦定理，边角关系，以及三角形多解的问题，属于中档题．6．若α+β=，则（tanα+1）•（tanβ+1）=（）A．1 B．2 C．3 D．6考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：根据条件和两角和的正切函数的变形化简已知的值，再由特殊角的正切值求值即可．解答：解：由题意知，α+β=，则（tanα+1）•（tanβ+1）=tanα•tanβ+tanα+tanβ+1=tan（α+β）（1﹣tanα•tanβ）+tanα•tanβ+1=tan•（1﹣tanα•tanβ）+tanα•tanβ+1=2，故选：B．点评：本题考查两角和的正切函数的变形的应用，属于基础题．7．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S11=121，则a6=（）A．1 B．110 C．11 D．132考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用S11=11a6，进而计算即可．解答：解：∵数列{a n}为等差数列，∴S11==11a6，又∵S11=121，∴a6===11，故选：C．点评：本题考查等差数列的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．8．已知sinα﹣sinβ=，cosα+cosβ=，则cos（α+β）=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：将已知等式两边平方可得：sin2α+sin2β﹣2sinαsinβ=，①，cos，②，①+②利用两角和的余弦函数公式可整理得2+2cos（α+β）=，从而得解．解答：解：∵sinα﹣sinβ=，cosα+cosβ=，∴两边平方可得：sin2α+sin2β﹣2sinαsinβ=，①cos，②∴①+②可解得：2+2（cosαcosβ﹣sinαsinβ）=，整理可得：2+2cos（α+β）=，∴解得：cos（α+β）=．故选：D．点评：本题主要考查了同角三角函数关系式，两角和的余弦函数公式的应用，属于基础题．9．数列{a n}中，a1=1，若a n+1=a n+2n+1，n∈N*，则数列{a n}的第k项a k=（）A．k2B．k2﹣k+1 C．k2+k D．2k﹣1考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过对a n+1=a n+2n+1变形可得a n+1﹣a n=2n+1，a n﹣a n﹣1=2n﹣1，…a2﹣a1=3，累加计算即得结论．解答：解：∵a n+1=a n+2n+1，∴a n+1﹣a n=2n+1，∴a n﹣a n﹣1=2n﹣1，a n﹣1﹣a n﹣2=2n﹣3，a n﹣2﹣a n﹣3=2n﹣5，…a2﹣a1=3，累加得：a n﹣a1=3+5+7+…+2n﹣1==n2﹣1，又∵a1=1，∴a n=n2﹣1+a1=n2﹣1+1=n2，∴a k=k2，故选：A．点评：本题考查求数列的通项，对表达式的灵活变形及利用累加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．10．sin75°（1﹣tan15°）=（）A．1 B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：运用已知式子的角度都是半特殊角，所以需要等价变形为特殊角才能求值．解答：解：sin75°（1﹣tan15°）=cos15°×=cos15°﹣sin15°=cos（15°+45°）=cos60°=；故选：D．点评：本题考查了三角函数式的化简求值；用到了三角函数的基本关系式以及两角和与差的余弦公式的逆用；注意灵活变形．11．在△ABC中，b2cosC+bccosB=a2，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理、诱导公式求得sinB=sinA，可得a=b，从而得出结论．解答：解：在△ABC中，∵b2cosC+bccosB=a2，由正弦定理可得sin2BcosC+sinBsinCcosB=sin2A，sinB•sin（B+C）=sin2A，∴sinB=sinA，∴a=b，故△ABC的形状是等腰三角形，故选：D．点评：本题主要考查正弦定理、诱导公式，属于基础题．12．在△ABC中，角A，B，C成单调递增的等差数列，a，b，c是的△ABC三边，，则c﹣a的取值范围是（）A．B．C．D．（，）考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由已知及三角形内角和定理可得B=60°，由正弦定理可得：，从而化简可得c﹣a=cos（A+），根据范围0，可得＜A+，从而利用余弦函数的图象和性质即可得解．解答：解：∵角A，B，C成单调递增的等差数列，∴可得：2B=A+C，可得B=60°，∴由正弦定理可得：，∴c﹣a=sinC﹣sinA=sin（120°﹣A）﹣sinA==cos（A+），∵0，可得＜A+，∴c﹣a=cos（A+）∈．故选：B．点评：本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知数列{a n}前五项为0.125，0.125，0.25，0.75，3，则a8=630．考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：前五项为0.125，0.125，0.25，0.75，3，可知此数列满足：后一项分别是前一项的1倍，2倍，3倍，4倍，5倍，…，即可得出．解答：解：前五项为0.125，0.125，0.25，0.75，3，可知此数列满足：后一项分别是前一项的1倍，2倍，3倍，4倍，5倍，…，∴a8=7a7=7×6a6=7×6×5a5=7×6×5×3=630．故答案为：630．点评：本题考查了数列的通项公式的规律与求法，考查了计算能力，属于基础题．14．若tanα=，则α+β=．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数求解即可．解答：解：tanα=，则tan（α+β）===1，∴α+β=．故答案为：．点评：本题考查两角和的正切函数的应用，考查计算能力．15．sinα+cos（α+）=，则sin（α+）=．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和的正弦公式和余弦公式，求得sin（α+）的值．解答：解：∵sinα+cos（α+）=sinα+cosα﹣sinα=sinα+cosα=sin（α+）=，即sin（α+）=．故答案为：．点评：本题主要考查两角和的正弦公式和余弦公式，属于基础题．16．已知函数f（x）=，（e=2.71828…），则f（﹣10）+f（﹣9）+…+f（﹣1）+f（0）+f（1）+…+f（9）+f（10）=10.5．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件求f（x）+f（﹣x）的值，即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）=，∴f（﹣x）==，∴f（x）+f（﹣x）=1，故令S=f（﹣10）+f（﹣9）+…+f（﹣1）+f（0）+f（1）+…+f（9）+f（10），则2S=21，解得：S=10.5，故答案为：10.5点评：本题主要考查函数值的计算，利用条件求出f（x）+f（﹣x）=1是常数是解决本题的关键．三、解答题（17-21题每题12分，第22题是三选二，10分，共70分）17．已知sinβ+cosβ=，β∈（0，π）（1）求sin2β的值；（2）求tanβ的值．考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理求出2sinβcosβ的值，即可得解．（2）再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简，整理求出sinβ﹣cosβ的值，联立两个关系式求出sinβ与cosβ的值，即可确定出tanβ的值．解答：（本小题满分12分）解：（1）把sinβ+cosβ=①，两边平方得：（sinβ+cosβ）2=1+2sinβcosβ=，∴sin2β=2sinβcosβ=﹣＜0，（2）由（1）可得（sinβ﹣cosβ）2=1﹣2sinβcosβ=，∵0＜β＜π，∴sinβ＞0，cosβ＜0，则sinβ﹣cosβ=②；联立①②，解得：sinβ=，cosβ=﹣，则tanβ==﹣．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．18．△ABC中，sinA=（1）若△ABC中b=3，求边a的长；（2）求cosC的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）先根据条件判断A、B都是锐角，利用同角三角函数的基本关系求出cosA和sinB的值，由正弦定理即可求得a的值；（2）利用（1）的结论，由cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB运算求得结果．解答：（本小题满分12分）解：（1）△ABC中，已知sinA=，cosB=，则sinB=，且B为锐角；故由正弦定理可得：a===…5分（2）由（1）可得sinB＞sinA，则B＞A；故A、B都是锐角，且cosA=，sinB=，则cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosA cosB+sinA sinB=﹣+=﹣…12分点评：本题考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，求出cosA和sinB 的值，是解题的关键，属于中档题．19．已知数{a n}的前n项和S n=n2﹣n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的第n项b n=a n+1，n∈N*，求T n=++…+．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1））由S n=n2﹣n+1，n∈N*．当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出；（2）当n≥2时，=n．可得==．利用“裂项求和”即可得出．解答：解：（1）∵S n=n2﹣n+1，n∈N*．当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣n+1﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）+1]=2n﹣2，∴a n=．（2）当n≥2时，=n．∴==．∴T n=++…+=+（）+…+=1﹣=．点评：本题考查了递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知向量，函数f（x）=，x∈R．（1）若f（x）=，求的值；（2）△ABC的内角A满足：f（A）=，若b=，c=1，求△ABC外接圆的面积．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用平面向量数量积的运算可得：f（x）=sin（2x+）=，利用诱导公式即可得解．（2）由sin（2A+）=，求得2A+∈（，），可解得A=，由余弦定理求a的值，利用正弦定理可求外接圆直径2R，即可求得△ABC外接圆的面积．解答：（本小题满分12分）解：（1）∵f（x）==sinxcosx+cos2x﹣=sin（2x+）=，∴=﹣sin（2x+）=﹣…6分（2）∵sin（2A+）=，∴2A+∈（，），∴2A+=，解得A=．∴由余弦定理可得：a=1，解得：a=1．∴外接圆直径2R=，S=…12分点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量数量积的运算，诱导公式等知识的应用，属于基本知识的考查．2）看看我们生活中的挂历：横看、竖看、斜看，都是天然的等差数列．随意框选9个数，如图1，可以发现12等于周围8个数之和的八分之一．请用所学数学知识对此作出简要的说明．（2）如图2，在框选出4×4的方框中，第一行的四个数字依次为4，5，6，7．甲乙丙三人从这16个数中各挑选出一个数字，甲选中的数字是18，并删去18所在的行和列；乙在5与12这两个数中任意挑选一个数，记为x，再删去x所在的行和列；丙在27与28这两个数中任意挑选一个数，记为y，再删去y所在的行和列；最后剩下的一个数记为w，试列式计算以说明这四个数18，x，y，w之和是一个定值．考点：等差数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列中，m+n=2p，则a m+a n=2a p，即可得出结论；（2）分类讨论，确定x，y，w，即可说明这四个数18，x，y，w之和是一个定值．解答：解：（1）由题意，等差数列中，m+n=2p，则a m+a n=2a p，∵12====，∴12=；（2）①x=5，y=27，w=14，18+x+y+w=64；②x=5，y=28，w=13，18+x+y+w=64；③x=12，y=27，w=7，18+x+y+w=64；④x=5，y=28，w=6，18+x+y+w=64点评：本题考查等差数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．请在所给三个小题中任选两个完成证明，每小题5分，本小题满分10分22．求证：．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：证明题；三角函数的求值．分析：利用同角三角函数的关系，结合差角的正切公式，即可证明结论．解答：证明：左边====tan（﹣α）=右边，所以．点评：本题考查同角三角函数的关系，差角的正切公式，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．23．求证：S△ABC=2R2sinAsinBsinC．（注：R是△ABC外接圆的半径）考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理、三角形面积计算公式即可得出．解答：证明：由正弦定理可得：，∴a=2RsinA，b=2RsinB，∴S△ABC==2RsinA×2RsinB×sinC=2R2sinAsinBsinC．∴S△ABC=2R2sinAsinBsinC．点评：本题考查了正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2015春•新都区校级月考）等差数列{a n}的首项是a1，公差为d，m，n，p，q∈N*，若m+n=p+q．证明：a m+a n=a p+a q．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的通项公式和等量代换可得．解答：证明：∵等差数列{a n}的首项是a1，公差为d，∴a m+a n=a1+（m﹣1）d+a1+（n﹣1）d=2a1+（m+n﹣2）d同理可得a p+a q=a1+（p﹣1）d+a1+（q﹣1）d=2a1+（p+q﹣2）d又∵m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，∴a m+a n=2a1+（m+n﹣2）d=2a1+（p+q﹣2）d=a p+a q点评：本题考查等差数列的通项公式，等量代换是解决问题的关键，属基础题．。