高二下学期数学期末复习题一2020-2021学年人教A版(解析版)

x
−
x
ln x3
x
−
4
<
0
恒成立，即函数
h(
x=)
2 + ln x 在 0, +∞
x2 x
上单调递减，
( ) ( ) 所以函数 h( x=)
2 x2
+
ln x x
无最小值；因此，不存在正实数 k
，使得
f
(x)
>
kx 成立；故 C
错；D 选项，令 t ∈
0, 2
，则 2 − t ∈
0, 2
，
则 2 + t > 2 g (t )=
= x −
x ln x
− 4 ，则 u′( x)
=1 − ln
x
−1 =− ln x
，
由 u′( x) > 0 得 0 < x < 1；由 u′( x) < 0 得 x > 1 ；所以函数 u ( x) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1, +∞) 上单调递减；
( ) 因此 u ( x) ≤ u (1) =−3 < 0 ；= 所以 h′( x)
生，共有不同的选法种数为 （ ）
A. 420 B. 660
C. 840
D. 880
【答案】B
【详解】从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，共有 A82 ⋅ C62 = 840 种选法，其中不 含女生的有 A62C42 = 180 种选法，所以服务队中至少有 1 名女生的选法种数为 840 −180 = 660 .故选：B 6.设 0 < a < 1，离散型随机变量 X 的分布列是
）
A. 0,1 B. (1,3) C. 1, 2 D. (1, 4)
【答案】B
【详解】由导函数与原函数单调性关系知图中实线是 f ′ (x) 的图象，虚线是 f (x) 的图象，不等
f (x) < f ′(x)
式组 0 < x < 3
解集是{x |1 < x < 3} ．故选：B．
5.从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女
2
< 0 ，所以 g (t ) 在 (0, 2) 上单调递减，则 g (t ) < g (0) = 0 ，即
f (2 + t ) < f (2 − t ) ，令 x1 = 2 + t > 2 ，由 f ( x1 )= f ( x2 ) < f (2 − t ) ，得 x2 > 2 − t ，则 x1 + x2 > 2 − t + 2 + t =4 ，
A． a < b < c
B． b < a < c
C． c < b < a D． c < a < b
【答案】C
【详解】函数
f
(x) 为奇函数，所以
a
= f (− log2
1) 5
= f (log2
5)
，又 log2
5
>
log2
4.1 >
log2
4
= 2 ，1 < 20.8
<
2 ，由题意，
a > b > c ，选 C．
( ) 所以函数无最值，故 A 不正确；又函数图象是连续不断的，所以函数图象与 x 轴有交点，所以 ∃x0 ∈ R ，使 f x0 = 0 ，所以 B 正
( ) ( ) 确；因为 x0 是 f x 的极值点，且函数 f (x) 是可导函数，所以 f ′ x0 = 0 ，故 C 正确；
( ) ( ) ( ) 因为 x0 是 f x 的极小值点，则 f x 在区间 −∞, x0 上先递增，再递减，故 D 不正确. 故选：BC
4
4
【答案】A
【详解】令 t = f ( x) ，则方程 f 2 ( x) − 2 f ( x) + a =0 可转化为 t2 − 2t + a =0 ，
设方程 t2 − 2t + a =0 的解为 t = t1 ，t = t2 ，则方程 f 2 ( x) − 2 f ( x) + a =0 有 4 个不相等的实数根等价于 t = f ( x) 的图象与
平均值左右，故 B 正确；因为乙图象的最大值为1.99 ，即
1 2πσ 2
= 1.99 ，所以 σ 2 ≠ 1.99 ，故 D 错误；故选：ABC
12.已知函数 f ( x)= 2 + ln x ，则以下结论正确的是（ ）
x
A. 函数 f ( x) 的单调减区间是 (0, 2)
B. 函数=y f ( x) − x 有且只有 1 个零点
C．2 个点
D．2 个圆
（）
【答案】A
【详解】因为 | z |2 −2 z − 3 =0 ,所以 z = 3 , z = 3 (负舍)因此复数 z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以 3 为半径的圆,选 A.
4.已知函数 f ( x) 与 f
x
f (x) < f ′(x) 的图象如图所示，则不等式组 0 < x < 3 解集（
x
所以函数= g ( x)
2 + ln x − x 有且仅有一个零点；故 B 正确；C 选项，若 f (x) > kx ，可得 k < 2 + ln x ，
x
x2 x
令 h( x=)
2 x2
+
ln x x
，则 h′( x)
=−4x x4
+ 1 − ln x x2
=x −
x ln x − x3
4
，令 u ( x)
当 x1 ≥ 4 时， x1 + x2 > 4 显然成立，
( ) ( ) 所以对任意两个正实数 x1 ， x2 ，且 x1 > x2 ，若 f x1 = f x2 则 x1 + x2 > 4 .故 D 正确.故选：ABD.
三、填空题
13．（2020·南昌县莲塘第一中学高二期末） 1− i2019 =_________． 1−i
直线 t = t1 ， t = t2 的交点共 4 个，
( ) 由函数 t = f
x
的图象与直线 t
=
t1 ， t
=
t2
的位置关系可得：
−3 ≤
t1
<
−2 , t2
>
e 2
，
设 g (t ) = t2 − 2t + a ，
则
g g
( (
−3) −2)
≥ <
0 0
，解得：
−15
≤
a<
−
8
，故选
A．
高二下学期数学期末复习题一答案
一、单项选择题：
{ } 1．设集合=S
x x (3 − x)= ≤ 0 ，T
x
1 2
x−1
< 1
，则
S
T
=
()
A． [0, +∞)
B． (1,3]
C．[3, +∞)
D． (−∞, 0] (1, +∞)
【答案】D
{ } { } 【详解】设集合 S
=
x
x ≤ 0或x ≥ 3 = ,T
C. 存在正实数 k ，使得 f (x) > kx 成立 D. 对任意两个正实数 x1 ， x2 ，且 x1 > x2 ，若 f ( x1 ) = f ( x2 ) 则 x1 + x2 > 4
【答案】ABD
( ) 【详解】A 选项，因为 f x =
2 x
+ ln
x ，所以
f
′(x)
=−
2 x2
+
1 x
【答案】i
【详解】解法一：
1
−
i
2019
=
1− i=3
1 +=i
(1+ i)2 =
2=i
i
1− i3
．解法二：
=
(1− i)(1+ i + i2 )
=
1+ i + i2
=
i.
1− i 1− i 1− i (1− i)(1+ i) 2
1−i
1−i
14．过原点 (0, 0) 作函数 f ( x=) x3 + 2x2 图象的切线，则切线方程为______．
C. 若 x0 是 f ( x) 的极值点，则 f ′( x0 ) = 0 D. 若 x0 是 f ( x) 的极小值点，则 f ( x) 在区间 (−∞, x0 ) 单调递增
【答案】BC
【详解】f ( x) = x3 + ax2 + bx + c ，f ′ (x) = 3x2 + 2ax + b ，当 x → −∞ 时，f (x) → −∞ ，当 x → +∞ 时，f (x) → +∞ ，
f (2 + t ) − f (2 − t )=
2 + ln (2 + t ) − 2 − ln (2 − t )=
2+t
2−t
4t + ln 2 + t ， t2 −4 2−t
( ) ( ) 则
g′(t
)
= −t42t 2−−4126
+
2 2
− +
t t
⋅
(
2
4 −t
)2
= − 8t2 4 − t2
=xx−2 2
，由
f
′(x)
>
0 得，x
>
2 ；由
f
′(x)
<
0 得，0
<
x
<
2，
( ) 因 此 函 数 f x 在 (0, 2) 上 单 调 递 减 ， 在 (2, +∞) 上 单 调 递 增 ； 故 A 正 确 ； B 选 项 ， 令= g ( x) 2 + ln x − x ， 则 x
g′(x)
X
0
1
2
1− a
1
a
P
2
2
2
则当
a
在
0,
2 3
内增大时（
）
A. D ( X ) 增大 B. D ( X ) 减小
C. D ( X ) 先减小后增大
D. D ( X ) 先增大后减小
【答案】D
【详解】 E( X ) = 0× 1− a +1× 1 + 2× a = a + 1 ，
2
22
2
所以 D( X ) = (0 − a − 1)2 × 1− a + (1− a − 1)2 × 1 + (2 − a − 1)2 × a =−a2 + 1 a + 1 ，
D． ∃x0 ∉[−1, 3] ， x02 − 3x0 + 2 > 0
【答案】A
（）
[ ] 【详解】命题的否定为命题为 ∃x0 ∈ −1, 3 , x02 − 3x0 + 2 > 0 .故选 A.
3．已知复数 z 满足 | z |2 −2 z − 3 =0 的复数 z 的对应点的轨迹是
A．1 个圆
B．线段
22
22
22
24
( ) ( ) 所以 D X 在 (0, 1 ) 上增大，在 (1 , 2) 上减小，即 D X 先增大后减小.故选：D
4
43
7．已知奇函数
f (x) 在 R 上是增函数．若 a =
− f (log2
1)，b = 5
f (log2 4.1) ，c =
f (20.8 ) ，则 a, b, c 的大小关系为
8．已知函数
f
(x)
=
ex 2x
,
x
>
0
，当 a < 0 时，方程 f 2 ( x) − 2 f ( x) + a =0 有 4 个不
−x2 − 2x − 3, x ≤ 0
相等的实数根，则 a 的取值范围是（ ）
A． −15 ≤ a < 8 B． −15 ≤ a ≤ e − e2 C． −15 < a < −8 D． −15 ≤ a ≤ e2 − e
D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数 σ 2 = 1.99
【答案】ABC
【详解】由图象可知，甲图象关于直线 x = 0.4 对称，乙图象关于直线 x = 0.8 对称
所= 以 µ1 0= .4, µ2 0.8, µ1 < µ2 ，故 A，C 正确；因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于
x x >1
S T ={x x ≤ 0或x > 1}故选 D.
2.命题“ ∀x ∈[−1,3] ， x2 − 3x + 2 ≤ 0 ”的否定为
A． ∃x0 ∈[−1, 3] ， x02 − 3x0 + 2 > 0
B． ∀x ∉[−1,3] ， x2 − 3x + 2 > 0
C． ∀x ∈[−1,3] ， x2 − 3x + 2 > 0
项（第 6 项和第 7 项）的二项式系数相等且最大，所以 B 不正确， C 正确；展开式中第 6 项的系数为负数，不是最大值，所以 D 不正
确.故选：AC
10.已知函数 f ( x) = x3 + ax2 + bx + c ，则
（
）
A. 函数 y = f ( x) 一定存在最
B. ∃x0 ∈ R ， f ( x0 ) = 0
( ) ( ) 11.甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布 N
µ1
,
σ
2 1
，N
µ2
,
σ
2 2
其正态分布的密度曲线如图所示，
则下列说法正确的是
（
）
A. 乙类水果的平均质量 µ2 = 0.8
B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
ge 2<0二、多项选择题
9.关于 (a − b)11 的说法，正确的是
A. 展开式中的二项式系数之和为 2048 C. 展开式中第 6 项和第 7 项的二项式系数最大
（
）
B. 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大 D. 展开式中第 6 项的系数最大
【答案】AC
( ) 【详解】 a − b 11 的展开式中的二项式系数之和为 211 = 2048 ，所以 A 正确；因为 n = 11 为奇数，所以展开式中有12 项，中间两
21 = − + −1 =
x2 x
−
x2
−x x2
+
2
=
−
x
−
1 2 2 x2
+
7 4
<
显然恒成立；
0
所以函数= g ( x) 2 + ln x − x 在 (0, +∞ ) 上单调递减；又 g (1) = 2 + ln1 −1 = 1 > 0 ， g (2=) 1 + ln 2 − 2= ln 2 −1 < 0 ，