高一数学下学期期中试题 理A卷,含解析 试题

青冈县一中2021-2021学年高一数学下学期期中试题理〔A卷，含解
析〕
一.选择题：本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面,只有一项是哪一项符合题目要求的.
1. 不等式2x＋3－x2＞0的解集是( )
A. {x|－1＜x＜3}
B. {x|－3＜x＜1}
C. {x|x＜－1或者x＞3}
D. {x|x＜3}
【答案】A
【解析】
【分析】
把不等式2x+3﹣x2＞0化为〔x+1〕〔x﹣3〕＜0，求出解集即可．
【详解】∵不等式2x+3﹣x2＞0可化为
x2﹣2x﹣3＜0，
即〔x+1〕〔x﹣3〕＜0；
解得﹣1＜x＜3，
∴不等式的解集是{x|﹣1＜x＜3}．
应选：A．
【点睛】解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．
2. 菱形ABCD的边长为a，，那么〔〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意得，设，根据向量的平行四边形法那么和三角形法那么，可知
，应选D.
考点：向量的数量积的运算.
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3. 在等差数列中，，那么〔〕
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
【答案】A
【解析】
由题意，数列为等差数列，结合等差数列通项公式的性质得，，那么，所以.应选A.
4. 与均为单位向量，它们的夹角为60°，那么〔〕
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
，所以.
5. 数列是等差数列，，其中公差.假设是和的等比中项，那么
( )
A. 398
B. 388
C. 189
D. 199
【答案】C
【解析】
由题意可得公差代入数据可得
，解得，
应选C．
6. 以下不等式中成立的是〔〕
A. 假设，那么
B. 假设，那么
C. 假设，那么
D. 假设，那么
【答案】D
【解析】
试题分析：A中当时不成立；B中假设不成立；C中不成立，所以D 正确
考点：不等式性质
7. 等比数列的前n项和为，那么r的值是〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
当时,,
当时，
所以，应选B.
8. 假设O为△ABC所在平面内任一点，且满足，那么△ABC的形状为〔〕
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性表示与数量积运算，结合题意可得出△ABC是等腰三角形．
【详解】因为〔﹣〕•〔+﹣2〕=0，
即•〔+〕=0；
又因为﹣=，
所以〔﹣〕•〔+〕=0，
即||=||，
所以△ABC是等腰三角形．
应选：B．
【点睛】此题考察了平面向量的线性表示与数量积运算问题，属于中档题．
9. 如图，网格纸上正方形小格的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的最长棱的长度为〔〕
A. 9
B. 8
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图复原原几何体，可知该几何体为三棱锥，侧棱PA⊥底面ABC，底面三角形ABC为等腰三角形，直接求出最长棱的长度得答案．
【详解】由三视图复原原几何体如图，
该几何体为三棱锥，侧棱PA⊥底面ABC，底面三角形ABC为等腰三角形，
可得PC=．
∴该几何体的最长棱的长度为9．
【点睛】由三视图画出直观图的步骤和考虑方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进展调整.
10. 在数列中，，那么的值是
A. -2
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由数列递推式依次求出数列前几项，可得数列是以3为周期的周期数列，那么答案可求．【详解】∵
∴，，，
可得a n+3=a n，
∴a2021=a3×672=a3=，
应选：B．
【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜测出数列的一个通项公式；②将递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或者用累加法、累乘法、迭代法求通项．
11. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，假设,那么此球的外表积等于〔〕
A. B. C. D.
【解析】
【分析】
通过条件求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的外表积．
【详解】在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，
可得BC=2
由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，
设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，
易得球半径R=，
故此球的外表积为4πR2=20π
应选：A．
【点睛】解决与球有关的内切或者外接的问题时，解题的关键
是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的间隔相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的间隔相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．
12. 在扇形AOB中，，C在弧AB上，且，那么x与y满足关系式( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
建立如下图的直角坐标系，不妨设r=1．A〔1，0〕，B．设C〔m，n〕，=x+y，可得，即可得出．
【详解】建立如下图的直角坐标系，
不妨设r=1．
A〔1，0〕，B．
设C〔m，n〕，=x+y，那么，
那么m2+n2=+=1，
化为：x2﹣xy+y2=1．
应选：A．
【点睛】此题考察了平面向量根本定理、圆的方程，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．
二．填空题:本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分.
13. f(x)＝ax2＋ax－1在R上满足f(x)<0，那么a的取值范围________.
【答案】.
【解析】
【分析】
当a=0时，得到f〔x〕的值是﹣1小于0，f〔x〕小于0成立；当a不为0时，f〔x〕为二次函数，要使f〔x〕在R上满足f〔x〕＜0恒成立，那么其图象必须为开口向下，且与x轴没有交点的抛物线，即可列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围，综上，得到满足题意的a的范围．
【详解】当a=0时，f〔x〕=﹣1＜0成立；
当a≠0时，f〔x〕为二次函数，
∵在R上满足f〔x〕＜0，
∴二次函数的图象开口向下，且与x轴没有交点，
即a＜0，△=a2+4a＜0，
解得：﹣4＜a＜0，
综上，a的取值范围是﹣4＜a≤0．
故答案为：
【点睛】此题考察了二次函数的性质，以及分类讨论的数学思想，纯熟掌握二次函数性质是解此题的关键．
14. 设a>0，b>0.假设是3a与3b的等比中项，那么的最小值为________.
【答案】4.
【解析】
【分析】
是3a与b的等比中项，=，化为a+b=1．再利用根本不等式的性质即可得出．【详解】是3a与3b的等比中项，∴=，化为a+b=1．
∵a＞0，b＞0，
那么==2+≥2=4，当且仅当a=b=时取等号．
故答案为：4．
【点睛】在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号获得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误
15. 用不过球心O的平面截球O，截面是一个球的小圆O1，假设球的半径为4 cm，球心O与小圆圆心O1的间隔为2 cm，那么小圆半径为________cm.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据圆心，球心以及球上任一点构成直角三角形即可求解．
【详解】由题意，圆心，球心以及球上任一点构成直角三角形，
球的半径为4cm，球心O与小圆圆心O1的间隔为2cm，
那么R2=4+r2，
解得：r=2，
故答案为：．
【点睛】此题考察圆心，球心以及球上任一点构成直角三角形的性质，考察方程思想，比拟根底
16. 数列{a n}中，对任意 , ，那么等于________.
【答案】.
【解析】
，①，②
②-①得：，当时，，符合上式，
，，是以为首项，为公比的等比数列，
，故答案为.
三解答题〔一共70分〕
17. 解以下关于x的不等式：
〔1〕；〔2〕x2-ax-2a2≤0〔a∈R〕
【答案】(1) {x丨2＜x≤}.
(2)见解析.
【解析】
【分析】
〔1〕等价转化为整式不等式解之；
〔2〕讨论字母a，解一元二次不等式．
【详解】〔1〕将原不等式化为≤0，
即〔2x-7〕〔x-2〕≤0〔x≠2〕，∴2＜x≤，
所以原不等式的解集{x丨2＜x≤}
〔II〕当a=0时，不等式的解集为〔0〕；
当a≠0时，不等式等价于〔x+a〕〔x-2a〕≤0，
因此当a＞0时，-a＜2a，∴-a≤x≤2a，
当a＜0时，-a＞2a，∴2a≤x≤-a
综上所述，当a=0时，不等式的解集为〔0〕
当a＞0时，不等式的解集为{x丨-a≤x≤2a}
当a＜0时，不等式的解集为{x丨2a≤x≤-a}
【点睛】解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进展讨论：首先根据二次项系数的符号进展分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进展分类，最后当根存在时，再根据根的大小进展分类．
18. 假设向量=〔1，1〕，=〔2，5〕， =〔3，x〕.
〔1〕假设，求x的值；
〔2〕假设，求x的值.
【答案】〔1〕.
〔2〕-6.
【解析】
【分析】
〔1〕利用向量平行的代数形式得到x的值；〔2〕由数量积的坐标形式得到x的方程，解之即可.
【详解】〔1〕∵∥，∴2x﹣15=0，解得x=．
〔2〕8﹣=〔6，3〕，∵〔8﹣〕•=30，∴18+3x=0，解得x=﹣6．
【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化
繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.
19. .正项等比数列的前n项和为，且，.
〔Ⅰ〕求数列的通项公式；
〔Ⅱ〕假设，数列的前项和为，求满足的正整数的最小值. 【答案】(1) .
(2)5.
【解析】
(1)由题意知,,∴,得,
设等比数列的公比为,
又∵,∴,化简得,解得.
∴.
(2)由(1)知,.
∴,
∴.
令,得,解得,
∴满足的正整数的最小值是5.
20. 如下图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB=2，AA1=2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M.求：
(1)三棱柱侧面展开图的对角线长；
(2)从B经M到C1的最短道路长及此时的值.
【答案】(1) .
(2) 1.
【解析】
【分析】
〔1〕正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形，直接可以求出对角线长；〔2〕将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接DC1交AA1于M，那么DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短道路，求出DC1和的值即可；
【详解】沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B′1B′(如以下图).
(1)矩形BB1B′1B′的长BB′=6，宽BB1=2.
(2) 如图，将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接DC1交AA1于M，那么DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短道路，其长为∵△DMA≌△C1MA1，∴AM=A1M，故
【点睛】此题考察了最短道路长问题，主要思想是把空间问题平面化，在平面上利用两点之间线段最短得到答案(即化曲为直的思想).
21. 数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且a n＝b n＋b n＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)令c n＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
【答案】(1) bn＝3n＋1.
(2) Tn＝3n·.
【解析】
试题分析：〔1〕首先根据求出的通项公式，设数列的公差为，列出和的方程组，解出即可；〔2〕根据〔1〕可得数列的通项公式，利用错位相减法求得结果.
试题解析：(1)由题意知，当时，.
当时，，符合上式，所以.
设数列的公差为，由即，可解得，
所以.
(2)由(1)知，
又，得，
.
两式作差，得
，所以.
点睛：此题主要考察了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.
22. 数列的首项为2，前项和为，且.
〔1〕求的值；
〔2〕设，求数列的通项公式；
〔3〕求数列的通项公式；
【答案】(1).
(2) .
(3) .
【解析】
试题分析：
〔1〕根据递推关系可得求得．〔2〕由条件可得可得，于是，以上两式相减变形可得，即，于是可得数列为等差数列，并可求得其通项．〔3〕由〔2〕可得
，可得，根据累乘法可得数列的通项公式．
试题解析：
(1)∵，且，
∴
解得.
(2)由，
可得，
∴，
∴，，
∴，
∴，
化为:，
即，
又，
数列是首项为，公差为1的等差数列．
.
(3)由(2)可得: ，
∴，
∴，
，又满足上式．
.
点睛：累乘法求通项的注意点
当数列的递推关系满足且可求积时，可用累乘法求出数列的通项公式，即
．由于上式成立的条件是，故在求得后需要验证是否满足，否那么将通项公式写成分段函数的形式．
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翻手为云，覆手为雨。

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短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

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聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。