2022年湖南省怀化市高考数学一模试卷及答案解析

2022年湖南省怀化市高考数学一模试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．（5分）设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜2}，B ＝{x |x ≤﹣1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．{x |x ＞﹣1}
B ．{x |x ≥2}
C ．{x |﹣1＜x ＜2}
D ．{x |﹣2＜x ＜﹣1}
2．（5分）已知i 为虚数单位，复数（a 2﹣a ﹣2）+（a +1）i 是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1或2
B ．2
C ．﹣1或2
D ．1
3．（5分）已知平面向量a →
=（1，2），b →
=（0，2），c →
=（2，1），若（a →
−λb →
）∥c →
，则λ＝（ ） A ．1
4
B ．3
4
C ．5
4
D ．2
4．（5分）2sin10°•cos35°+sin25°＝（ ） A ．
√2
2
B ．−√2
2
C ．
√32
D ．−√3
2
5．（5分）函数f （x ）＝（x 2﹣1）ln |x |的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（5分）国庆节假期，甲、乙、丙去旅游的概率分别为13
、14
、15
，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段假期内至多1人去旅游的概率为（ ） A ．3
5
B ．1
2
C ．5
6
D ．
3160
7．（5分）设数列{a n }的前n 项和是S n ，令T n =
S 1+S 2+⋯+S n
n
，称T n 为数列a 1，a 2，…，
a n 的“超越数”，已知数列a 1，a 2，…，a 504的“超越数”为2020，则数列5，a 1，a 2，…，a 504的“超越数”为（ ） A ．2018
B ．2019
C ．2020
D ．2021
8．（5分）古希腊时期，人们把宽与长之比为√5−12（√5−1
2
≈0.618）的矩形称为黄金矩形，把这个比值
√5−1
2
称为黄金分割比例．如图，矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均为黄金矩形，若M 与K 间的距离超过1.6m ，C 与F 间的距离小于12m ，则A 与B 间的距离可能是（ ）
（参考数据：0.6182≈0.382，0.6183≈0.236，0.6184≈0.146，0.6185≈0.090，0.6186≈0.056，0.6187≈0.034）
A ．28m
B ．30.6m
C ．32m
D ．32.5m
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选悟的得0分）
（多选）9．（5分）下列命题为真命题的是（ ） A ．“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的必要不充分条件 B ．“a ＞b ”是“1
a
＜1
b ”的充要条件
C ．“a ∈P ∩Q ”是“a ∈P ”的充分不必要条件
D ．“x 或y 为有理数”是“xy 为有理数”的既不充分又不必要条件
（多选）10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图图象如图所示，若将函数f （x ）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1
4
，再向右平移
π6
个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则下列命题正确的是（ ）
A ．函数f （x ）的解析式为f （x ）＝2sin （1
2x +π
6）
B ．函数g （x ）的解析式为g （x ）＝2sin （2x −π
6）
C ．直线x =−π3
是函数f （x ）图象的一条对称轴
D ．函数g （x ）在区间[π，
4π3
]上单调递增
（多选）11．（5分）若实数a ＜b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．若a ＞1，则log a ab ＞2
B ．（25
）b ＜（25
）a ＜（45
）a C ．若a ＞0，则
b 2
1+a
＞
a 21+b
D ．若m ＞5
3，a ，b ∈（1，3），则13
（a 3﹣b 3）﹣m （a 2﹣b 2）+a ﹣b ≤0
（多选）12．（5分）已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为DD 1的中点，N 为正方形ABCD 所在平面内一动点，则下列命题正确的有（ ）
A ．若MN ＝2，则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为π
B ．若N 到直线BB 1与直线D
C 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线
C ．若
D 1N 与AB 所成的角为π
3，则N 的轨迹为双曲线
D ．若MN 与平面ABCD 所成的角为π
3
，则N 的轨迹为椭圆
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知e 为自然数，则函数f （x ）＝e x +lnx ﹣e 的零点为 ．
14．（5分）某公司生产了一批小零件，其综合质量指标值X 服从正态分布N （50，22），现从中随机抽取该小零件2000个，估计综合质量指标值位于（48，54]的零件个数为 ． 附：若X ～N （μ，σ2）（σ＞0），则P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）≈0.683，P （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）≈0.954．
15．（5分）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于其焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是
图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源
的方向角，记为θ．焦点F到顶点的距离f与口径d的比值f
d
为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线的焦径比等于0.5，那么馈源方向角θ的正切值为．
16．（5分）如图所示，已知圆柱O1O2的轴截面ABCD是边长为2√2的正方形，球O在圆柱O1O2内，且与圆柱O1O2的上、下底面均相切．则球O的表面积为；若P为圆柱下底面圆弧CD
̂的中点，则平面P AB截球O所得截面的周长为．
四、解答题（本题共6小题，第17小题10分，第18～22小题各12分，共70分）17．（10分）等差数列{a n}中，a3＝4，a5+a8＝15．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设c n＝a n×2a n，求数列{c n}的前n项和T n．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足√3a cos B＝b sin A．（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）若cos A=√2
3，求sin（2A﹣B）的值；
（Ⅲ）若b＝2，c＝2a，求边a的值．
19．（12分）中国射击队在东京奥运会上共夺得4金1银6铜11枚奖牌的成绩，创下了中国射击队奥运参赛史上奖牌数最多的新纪录．现从某射击训练基地随机抽取了20名学员（男女各10人）的射击环数，数据如表所示： 男生 8 9 7 9 7 6 10 10 8 6 女生
10
9
8
6
8
7
9
7
8
8
若射击环数大于或等于9环，则认为成绩优异；否则，认为成绩不优异． （1）分别计算男生、女生射击环数的平均数和方差；
（2）完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“成绩优异”与性别有关．
男生 女生 总计 成绩优异 成绩不优异
总计
参考公式和数据：K 2
=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，n ＝a +b +c +d ．
P （K 2≥k ）
0.10 0.05 0.010 k
2.706
3.841
6.635
20．（12分）如图，在四棱锥中P ﹣ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AC 与BD 交点为O ，且PO ⊥BD ，P A ＝PB ． （1）证明：PO ⊥平面ABCD ；
（2）若AC ⊥BD 且AO ＝2OC ＝6，PO ＝3，则在线段PC 上是否存在一点E ，使得二面角P ﹣AD ﹣E 的余弦值为
8√69
69
，若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由．
21．（12分）阿基米德（公元前287年﹣﹣﹣公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率π
等于椭圆
的长半轴长与短半轴长的乘积．在平面直角坐标系中，椭圆C：x2
a2+
y2
b2
=1（a＞b＞0）
的面积等于2π，且椭圆C的焦距为2√3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P（4，0）是x轴上的定点，直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，已知A关于y轴的对称点为M，B点关于原点的对称点为N，已知P、M、N三点共线，试探究直线l是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
22．（12分）已知函数f（x）＝e ax+bx﹣a，a＞0．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当b=−e
2时，求使f（x）≥0在区间[0，+∞）上恒成立的a的所有值．
2022年湖南省怀化市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．（5分）设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜2}，B ＝{x |x ≤﹣1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．{x |x ＞﹣1}
B ．{x |x ≥2}
C ．{x |﹣1＜x ＜2}
D ．{x |﹣2＜x ＜﹣1}
【解答】解：集合A ＝{x |﹣2＜x ＜2}，B ＝{x |x ≤﹣1}， ∴∁U B ＝{x |x ＞﹣1}，
则A ∩（∁R B ）＝{x |﹣1＜x ＜2}． 故选：C ．
2．（5分）已知i 为虚数单位，复数（a 2﹣a ﹣2）+（a +1）i 是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1或2
B ．2
C ．﹣1或2
D ．1
【解答】解：∵（a 2﹣a ﹣2）+（a +1）i 是纯虚数，
∴{a 2
−a −2=0a +1≠0
，解得a ＝2． 故选：B ．
3．（5分）已知平面向量a →
=（1，2），b →
=（0，2），c →
=（2，1），若（a →
−λb →
）∥c →
，则λ＝（ ） A ．1
4
B ．3
4
C ．5
4
D ．2
【解答】解：根据题意，向量a →
=（1，2），b →
=（0，2），c →
=（2，1）， 则a →
−λb →
=（1，2﹣2λ），
若（a →
−λb →
）∥c →
，则有2（2﹣2λ）＝1， 解可得：λ=3
4， 故选：B ．
4．（5分）2sin10°•cos35°+sin25°＝（ ） A ．
√2
2
B ．−√2
2
C ．
√32
D ．−√3
2
【解答】解：因为2sin10°•cos35°+sin25°＝2sin10°cos35°+sin （35°﹣10°） ＝2sin10cos35°+sin35°cos10°﹣cos35°sin10°
＝sin35°cos10°+cos35°sin10°＝sin45°=√2
2
，
故选：A ．
5．（5分）函数f （x ）＝（x 2﹣1）ln |x |的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：函数的定义域为{x |x ≠0}，
f （﹣x ）＝[（﹣x ）2﹣1]ln |﹣x |＝（x 2﹣1）ln |x |＝f （x ），则f （x ）是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ， 由f （x ）＝0，得x ＝±1，
当0＜x ＜1时，ln |x |＜0，x 2﹣1＜0，则f （x ）＞0，排除B ，C ， 故选：D ．
6．（5分）国庆节假期，甲、乙、丙去旅游的概率分别为1
3
、1
4
、1
5
，假定三人的行动相互之
间没有影响，那么这段假期内至多1人去旅游的概率为（ ） A ．3
5
B ．1
2
C ．5
6
D ．
3160
【解答】解：国庆节假期，甲、乙、丙去旅游的概率分别为13
、14
、15
， 假定三人的行动相互之间没有影响， 那么这段假期内至多1人去旅游的概率为：
P =1
3×(1−1
4)×(1−1
5)+（1−1
3）×1
4×(1−1
5)+(1−1
3)×(1−1
4)×1
5+（1−1
3）（1−1
4）（1−1
5）=5
6． 故选：C ．
7．（5分）设数列{a n }的前n 项和是S n ，令T n =
S 1+S 2+⋯+S n
n
，称T n 为数列a 1，a 2，…，
a n 的“超越数”，已知数列a 1，a 2，…，a 504的“超越数”为2020，则数列5，a 1，a 2，…，
a 504的“超越数”为（ ） A ．2018
B ．2019
C ．2020
D ．2021
【解答】解：∵数列a 1，a 2，…，a 504的“超越数”为2020， ∴S 1+S 2+…+S 504＝504×2020，
则数列5，a 1，a 2，…，a 504的“超越数”=
5+(5+S 1)+(5+S 2)+⋯(5+S 504)
505
=
5×505+504×2020
505
=5+504×4＝2021， 故选：D ．
8．（5分）古希腊时期，人们把宽与长之比为√5−12（√5−1
2
≈0.618）的矩形称为黄金矩形，把这个比值
√5−1
2
称为黄金分割比例．如图，矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均为黄金矩形，若M 与K 间的距离超过1.6m ，C 与F 间的距离小于12m ，则A 与B 间的距离可能是（ ）
（参考数据：0.6182≈0.382，0.6183≈0.236，0.6184≈0.146，0.6185≈0.090，0.6186≈0.056，0.6187≈0.034）
A ．28m
B ．30.6m
C ．32m
D ．32.5m
【解答】解：设|AB |＝x ，a ≈0.618，
∵矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均为黄金矩形， ∴|BC |＝ax ，|CF |＝a 2x ，|FG |＝a 3x ，|GJ |＝a 4x ，|JK |＝a 5x ，|KM |＝a 6x ， 由题意可知，{a 6x ＞1.6a 2x ＜12，解得28.571＜x ＜31.414．
故选：B ．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选悟的得0分）
（多选）9．（5分）下列命题为真命题的是（ ） A ．“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的必要不充分条件
B ．“a ＞b ”是“1a
＜1
b
”的充要条件
C ．“a ∈P ∩Q ”是“a ∈P ”的充分不必要条件
D ．“x 或y 为有理数”是“xy 为有理数”的既不充分又不必要条件
【解答】解：对于A ，由ac 2＞bc 2，可得到a ＞b ，反之，不成立，故A 正确； 对于B ：由1
a
＜1
b ，可得a ＞b ＞0或a ＜0＜b ，故B 错误；
对于C ：若“a ∈P ∩Q ”，则“a ∈P ”，是充分条件，反之不成立，故C 正确； 对于D ：比如：x ＝1，y =√2，则xy =√2，充分性不成立， 反之，若xy ＝2，则x ，y 可能都是√2，必要性不成立，
故“x 或y 为有理数”是“xy 为有理数”的既不充分又不必要条件，故D 正确； 故选：ACD ．
（多选）10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图图象如图所示，若将函数f （x ）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1
4
，再向右平移
π6
个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则下列命题正确的是（ ）
A ．函数f （x ）的解析式为f （x ）＝2sin （1
2x +π
6）
B ．函数g （x ）的解析式为g （x ）＝2sin （2x −π6）
C ．直线x =−π3
是函数f （x ）图象的一条对称轴
D ．函数g （x ）在区间[π，
4π3
]上单调递增
【解答】解：根据函数的图象，得到A ＝2， 由于T
4=π，所以ω=1
2，
当x ＝0时，f （0）＝2sin φ，由于0＜φ＜π， 故φ=π
6．
所以f （x ）＝2sin （12
x +π
6
），
将函数f （x ）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1
4
，得到y ＝2sin （2x +π6
）的图象，
再向右平移π
6
个单位长度，得到函数g （x ）＝2sin （2x −π6
）的图象，故B 正确；
对于C ：当x =π3
时，f （π3）＝2sin
π3=
√3，故C 错误；
对于D ：由于x ∈[π，4π
3]，故2x −π
6∈[11π
6，15
6]，故函数g （x ）在该区间上单调递增，故D 正确． 故选：ABD ．
（多选）11．（5分）若实数a ＜b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．若a ＞1，则log a ab ＞2
B ．（25
）b ＜（25
）a ＜（45
）a C ．若a ＞0，则
b 2
1+a
＞
a 21+b
D ．若m ＞5
3，a ，b ∈（1，3），则13
（a 3﹣b 3）﹣m （a 2﹣b 2）+a ﹣b ≤0 【解答】解：对于A ，∵a ＞1且a ＜b ，
log a ab ＝log a a +log a b ＝1+log a b ＞1+log a a ＝2，故A 正确， 对于B ，当a ＝﹣1时，(2
5
)a ＞(45
)a ，故B 错误， 对于C ，∵a ＜b 且a ＞0， ∴
b 21+a
−
a 21+b
=
(b−a)(b 2+a 2+ab+a+b)
(1+a)(1+b)＞0，即
b 2
1+a
＞
a 21+b
，故C 正确，
对于D ，设g （x ）=1
3x 3−mx 2+x ， 则g '（x ）＝x 2﹣2mx +1，Δ＝4m 2﹣4＞0，
令g '（x ）＝0，解得x 1=m −√m 2−1，x 2=m +√m 2−1， ∵m ＞5
3， ∴x 1＜1，x 2＞3，
∴函数g （x ）在（1，3）上单调递减， ∴g （a ）﹣g （b ）＞0，
∴1
3（a 3﹣b 3）﹣m （a 2﹣b 2）+a ﹣b ＞0，故D 错误．
故选：AC ．
（多选）12．（5分）已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为DD 1的中点，N 为正
方形ABCD 所在平面内一动点，则下列命题正确的有（ ）
A ．若MN ＝2，则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为π
B ．若N 到直线BB 1与直线D
C 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线
C ．若
D 1N 与AB 所成的角为π
3，则N 的轨迹为双曲线
D ．若MN 与平面ABCD 所成的角为π
3
，则N 的轨迹为椭圆
【解答】解：对于A ，MN ＝2，MD ＝1，所以DN =√3， 则MN 的中点到MD 中点的距离为
√32
， MN 中点的轨迹为以MD 中点为圆心，√3
2
为半径且平行于平面ABCD 的圆， 其面积为π×(
√32
)2
=
3π
4
，故A 错误； 对于B ，BB 1⊥平面ABCD ，NB 即为N 到直线BB 1的距离，
在平面ABCD 内，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等， 所以点N 的轨迹就是以B 为焦点，DC 为准线的抛物线，故B 正确； 对于C ，如图，建立空间直角坐标系，设N （x ，y ，0）， D 1N →
=（x ，y ，﹣2），AB →
=（0，2，0），cos60°=
|D 1N →⋅AB →
||D 1N →
||AB →
|
=
√=1
2，
化简得3y 2﹣x 2
＝4，即
y 2
4
3
−
x 24
=1，
所以N 的轨迹为双曲线，故C 正确；
对于D ，MN 与平面ABCD 所成的角为∠MND ，所以∠MND =π
3， 则DN =√3
3，所以点N 的轨迹为以D 为圆心，√3
3为半径的圆，故D 错误．
故选：BC ．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知e为自然数，则函数f（x）＝e x+lnx﹣e的零点为1．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝e x+lnx﹣e，
若f（x）＝e x+lnx﹣e＝0，解可得x＝1，
即函数的零点为1，
故答案为：1．
14．（5分）某公司生产了一批小零件，其综合质量指标值X服从正态分布N（50，22），现从中随机抽取该小零件2000个，估计综合质量指标值位于（48，54]的零件个数为1637．
附：若X～N（μ，σ2）（σ＞0），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.954．
【解答】解：∵X服从正态分布N（50，22），故正态曲线的对称轴为X＝50，
∵P（50﹣2＜X≤50+2）＝P（48＜X≤52）＝0.683，
P（50﹣4＜X≤50+4）＝P（46＜X≤54）＝0.954，
∴P（48＜X≤54）＝0.683+0.954−0.683
2
=0.8185，
则综合质量指标值位于（48，54）的零件个数为0.8185×2000＝1637个．
故答案为：1637．
15．（5分）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于其焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，
广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源
的方向角，记为θ．焦点F到顶点的距离f与口径d的比值f
d
为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线的焦径比等于0.5，那么馈源方向角θ的正切值为−247．
【解答】解：建立平面直角坐标系，如图，
设抛物线方程：y2＝2px（p＞0），则f=p
2，又
f
d
=0.5，所以d＝p，
所以A(p
8，
p
2
)，B(p8，−p2)，
直线BF的斜率k=
p
2
p
2
−p8
=43，所以tanθ2=43，
所以tanθ=
2tanθ
1−tan2θ
=
2×43
1−169
=−247，
所以馈源方向角θ的正切值−247
． 故答案为：−
247
． 16．（5分）如图所示，已知圆柱O 1O 2的轴截面ABCD 是边长为2√2的正方形，球O 在圆柱O 1O 2内，且与圆柱O 1O 2的上、下底面均相切．则球O 的表面积为 8π ；若P 为圆柱下底面圆弧CD
̂的中点，则平面P AB 截球O 所得截面的周长为 4√10
5
π ．
【解答】解：如图，设球的半径为r ，则AB ＝BC ＝2r ＝2√2，得r =√2， 所以球O 的表面积为S ＝4πr 2＝4π×2＝8π；
作OH ⊥O 2P 于H ，因为O 1O 2⊥圆柱的底面，所以O 1O 2⊥AB ， 因为P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，所以AP ＝BP ， 又O 2为AB 中点，所以O 2P ⊥AB ， 又O 1O 2∩PO 2＝O 2，
所以AB ⊥平面O 1O 2P ，所以AB ⊥OH ， 又OH ⊥O 2P 且AB ∩PO 2＝O 2， 所以OH ⊥平面ABP ，
因为O 1O 2＝2r ＝2√2，O 1P =√2，O 1O 2⊥O 1P ， 所以O 2P =√O 1O 22+O 1P 2=√8+2=√10， 所以sin ∠O 1O 2P =
O 1P
O 2P =√2√10=√55
， 所以OH ＝OO 2sin ∠O 1O 2P =√2×√5
5=√10
5．
平面P AB 与球O 的交线为一个圆，其半径r 2=√r 2−OH 2=√2−10
25=2√10
5
， 则圆周长为l ＝2πr 2＝2π×
2√105
=4√10
5π．
故答案为：8π，
4√10
5
π．
四、解答题（本题共6小题，第17小题10分，第18～22小题各12分，共70分） 17．（10分）等差数列{a n }中，a 3＝4，a 5+a 8＝15． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设c n ＝a n ×2
a n
，求数列{c n }的前n 项和T n ．
【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＝4，a 5+a 8＝15． ∴a 1+2d ＝4，2a 1+11d ＝15， 解得a 1＝2，d ＝1． ∴a n ＝2+（n ﹣1）＝n +1． （2）c n ＝a n ×2
a n
=（n +1）•2n +1，
则T n ＝2•22+3•23+...+n •2n +（n +1）•2n +1， 2T n ＝2•23+...+（n ﹣1）•2n +n •2n +1+（n +1）•2n +2， ∴﹣T n ＝8+23+24+...+2n +1﹣（n +1）•2n +2＝﹣n •2n +2． ∴T n ＝n •2n +2．
18．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足√3a cos B ＝b sin A ． （Ⅰ）求∠B 的大小；
（Ⅱ）若cos A =√2
3，求sin （2A ﹣B ）的值； （Ⅲ）若b ＝2，c ＝2a ，求边a 的值． 【解答】解：（Ⅰ）因为√3a cos B ＝b sin A ， 所以√3sin A cos B ＝sin B sin A ， 因为sin A ≠0， 所以tan B =√3， 因为B ∈（0，π），
所以B=π3．
（Ⅱ）因为cos A=√2
3，sin A=√1−cos
2A=√73，可得sin2A＝2sin A cos A=2√14
9，cos2A
＝2cos2A﹣1=−5 9
所以sin（2A﹣B）＝sin2A cos B﹣cos2A sin B=2√14
9
×12−（−59）×√32=2√14+5√3
18．
（Ⅲ）因为B=π
3，b＝2，c＝2a，
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得4＝a2+c2﹣ac＝a2+4a2﹣2a2＝3a2，解得a=2√3 3．
19．（12分）中国射击队在东京奥运会上共夺得4金1银6铜11枚奖牌的成绩，创下了中国射击队奥运参赛史上奖牌数最多的新纪录．现从某射击训练基地随机抽取了20名学员（男女各10人）的射击环数，数据如表所示：
男生897976101086女生10986879788若射击环数大于或等于9环，则认为成绩优异；否则，认为成绩不优异．
（1）分别计算男生、女生射击环数的平均数和方差；
（2）完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“成绩优异”与性别有关．男生女生总计
成绩优异
成绩不优
异
总计
参考公式和数据：K2=
n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．
P（K2≥k）0.100.050.010
k 2.706 3.841 6.635
【解答】解：（1）根据题中所给数据，男生射击环数的平均数为x
甲
=110×(8+9+7+⋅⋅⋅+8+6)=8，
女生射击环数的平均数为x
乙
=110×(10+9+8+⋅⋅⋅+8+8)=8，
男生射击环数的方差为s 甲2
=1
10×[（8﹣8）2+（9﹣8）2+•+（6﹣8）2]＝2， 女生射击环数的方差为s 乙2=
110×[(10−8)2+(9−8)2+⋅⋅⋅+(8−8)2]=6
5
， 故男生射击环数的平均数为8，方差为2，女生射击环数的平均数为8，方差为65
． （2）2×2列联表如下：
男生 女生 总计 成绩优异 4 3 7 成绩不优异 6 7 13 总计
10
10
20
∵K 2
=20×(4×7−3×6)
2
7×13×10×10≈0.2198＜2.706，
∴没有90%的把握认为“成绩优异”与性别有关．
20．（12分）如图，在四棱锥中P ﹣ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AC 与BD 交点为O ，且PO ⊥BD ，P A ＝PB ． （1）证明：PO ⊥平面ABCD ；
（2）若AC ⊥BD 且AO ＝2OC ＝6，PO ＝3，则在线段PC 上是否存在一点E ，使得二面角P ﹣AD ﹣E 的余弦值为
8√69
69
，若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：因为ABCD 为等腰梯形，所以AO ＝BO ， 因为P A ＝PB ，PO ＝PO ，所以△POA ≌△POB ， 所以∠POA ＝∠POB ，因为PO ⊥BD ，所PO ⊥AC ， 又因为BD ∩AC ＝O ，所以PO ⊥平面ABCD ．
（2）解：因为AC ⊥BD ，再由（1）知OA 、OB 、OP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A （6，0，0），D （0，﹣3，0），C （﹣3，0，0），P （0，0，3），
设平面P AD 的法向量为m →
=(x 1，y 1，z 1)，AD →=(−6，−3，0)，AP →
=(−6，0，3)， 因为{m →
⋅AP →
=0m →⋅AD →=0，所以{−6x 1−3y 1=0−6x 1+3z 1=0，令x 1＝1，得y 1＝﹣2，z 1＝2， 所以m →=（1，﹣2，2），
设点E （x ，y ，z ），CE →
=λEP →
⇒(x +3，y ，z)=λ(−x ，−y ，3−z)， 解得{
x =−
3
1+λy =0z =3λ
λ+1⇒AE →=(−6λ+9λ+1，0，3λ
λ+1)，
设平面ADE 的法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)，
因为{n →
⋅AD →
=0n →⋅AE →=0
，所以{2x 2+y 2=0−6λ+9λ+1x 2+3λ
λ+1z 2=0⇒x 2=λ，y 2＝﹣2λ，z 2=2λ+3⇒n →=(λ，−2λ，2λ+3)， 若这样的点E 存在， 则
√69
=|
3√λ2+4λ2+(2λ+3)
2|⇒3λ2+4λ−20=0⇒λ1=2，λ2=−10
3（舍去）， 所以存在符合题意的点E ，E 为线段PC 上靠近点P 的三等分点．
21．（12分）阿基米德（公元前287年﹣﹣﹣公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．在平面直角坐标系中，椭圆C ：x 2
a 2
+
y 2b 2
=1（a ＞b ＞0）
的面积等于2π，且椭圆C 的焦距为2√3． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点P （4，0）是x 轴上的定点，直线l 与椭圆
C 交于不同的两点A 、B ，已知A 关
于y 轴的对称点为M ，B 点关于原点的对称点为N ，已知P 、M 、N 三点共线，试探究直线l 是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【解答】解：（1）根据题意有{ab =2
2c =2√3c 2=a 2−b 2，
解得a ＝2，b ＝1，c =√3， 所以椭圆C 的标准方程为
x 24
+y 2=1．
（2）设直线l ：x ＝my +t ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则M （﹣x 1，y 1），N （﹣x 2，﹣y 2）， 由{x =my +t x 2
4
+y 2
=1得（m 2+4）y 2+2mty +t 2﹣4＝0，
所以{
y 1+y 2=−2mt
m 2+4y 1⋅y 2=t 2−4m 2+4Δ＞0，
因为P 、M 、N 三点共线， 所以k PM ＝k PN ， 所以
y 1−x 1−4
=
y 2
x 2+4
，
即y 1（x 2+4）+y 2（x 1+4）＝0， 将直线l ：x ＝my +t 代入上式并化简得， 8m （t +1）＝0， 所以m ＝0或t ＝﹣1，
若m ＝0，则M ，N 重合，不合题意， 当t ＝﹣1时，直线l ：x ＝my ﹣1， 所以直线恒过定点（﹣1，0）．
22．（12分）已知函数f （x ）＝e ax +bx ﹣a ，a ＞0． （1）讨论函数f （x ）的单调性；
（2）当b =−e
2时，求使f （x ）≥0在区间[0，+∞）上恒成立的a 的所有值． 【解答】解：（1）由题意得f ′（x ）＝ae ax +b ，a ＞0，x ∈R ．
①当b ≥0时，f ’（x ）＞0，f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增；
第 21 页 共 21 页 ②当b ＜0时，令f ’（x ）＞0，解得x ＞1a ln(−b a )，
令f ’（x ）＜0，解得x ＜1a ln(−b a )，
所以f （x ）在区间 (−∞，1a ln(−b a ))上单调递减，在区间 (1a ln(−b a )，+∞)上单调递增． 综上可得：当b ≥0时，f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增；
当b ＜0时，f （x ）在区间 (−∞，1a ln(−b a ))上单调递减，在区间 (1a ln(−b a )，+∞)上单调递增．
综上可得：当b ≥0时，f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增；．
（2）当b =−e 2 时，f(x)=e ax −e 2x −a ，则f′(x)=ae ax −e 2，f′(0)=a −e 2， ①当a ⩾e 2 时，f ’（x ）＞0在区间（0，+∞）上恒成立，
此时f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增．
因为f （0）＝1﹣a ＜0，
所以f （x ）≥0在区间[0，+∞）上不恒成立；
（2）当a ∈(0，e 2) 时，令f ’（x ）＝0，解得x =1a ln e 2a ∈(0，+∞)， f （x ）在区间[0，1a ln e 2a ) 上单调递减，在区间 (1a ln e 2a ，+∞)上单调递增， 所以f(x)min =f(1a ln e 2a )=12a (eln2a −2a 2)．
由f （x ）≥0在区间[0，+∞）上恒成立，得 f （x ）min ⩾0，即eln 2a ﹣2a 2≥0． 设g （x ）＝eln 2x ﹣2x 2，则g′(x)=e x −4x =e−4x 2x ，
令g ’（x ）＝0，得x =√e 2，
所以g （x ）在区间 (0，√e 2)上单週递增，在区间 (√e 2，+∞)上单调递减， 所以g(x)max =g(√e 2)=0，
所以g （x ）≤0在区间（0，+∞）上恒成立，当且仅当 x =√e 2时，g （x ）＝0， 所以满足不等式eln 2a ﹣2a 2≥0的a 的值为√e 2．
综上，使f （x ）≥0在区间[0，+∞）上恒成立的a 的值为√e 2．。