考研数学一(高等数学)模拟试卷314(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷314(题后含答案及解析)
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正确答案：
解析：知识模块：高等数学
2．过点M0(1，一1，2)且与平面π：x+2y—z一2=0与π2：x—y—z-4=0的交线垂直的平面为______．
正确答案：π:x+z-3=0
解析：所求平面的法向量为n={1，2，一1)×{1，一1，-1}={-3，0，一3}=一3{1，0．1}，则所求的平面为π：(x一1)+0(y+1)+(z一2)=0，即π：x+z-3=0．知识模块：高等数学
3．直线L：绕z轴旋转而成的曲面为_______．
正确答案：∑：x2+y2=5(1+z2)．
解析：设M(x，y，z)为曲面上的任一点，其所在的圆对应的直线L上的点为M0(x0，y0，z)，所在圆的圆心为T(0，0，z)，由|MT|=|M0T|得x2+y2=x02+y02，故所求的曲面为∑：x2+y2=(1+2z)2+(2一z)2，即∑：x2+y2=5(1+z2)．知识模块：高等数学
4．点M(2，1，1)到直线L：之间的距离为________．
正确答案：
解析：M0(1，1，0)为直线上一点={1，0，1}，直线的方向向量为s={1，0，一1}，知识模块：高等数学
5．曲线L：绕y轴旋转而成的曲面为_______．
正确答案：
解析：所求的曲面为知识模块：高等数学
6．若则|a一b|=________．
正确答案：
解析：由|a+b|2=(a+b)(a+b)=|a|2+|b|2+2ab=13+19+2ab=24，得ab=一4，则|a —b|2=(a—b)(a—b)=|a|2+|b|2一2ab=13+19+8=40．则|a—b|= 知识模块：高等数学
7．过点(2，0，一3)且与直线垂直的平面方程为________．
正确答案：-16x+14y+11z+65=0
解析：s1={1，一2，4}，s2={3，5，一2}，所求平面的法向量n=s1×s2={一16，14，11}，则所求平面方程为一16x+14y+11z+65=0．知识模块：高等数学
8．过原点及点(6，一3，2)且与平面4x—y+2z=8垂直的平面方程为________．
正确答案：2x+2y-3z=0
解析：设所求平面为π：Ax+By+Cz+D=0，因为π经过原点，所以D=0，即π：Ax+By+Cz=0，又因为π经过点(6，一3，2)且与4x—y+2z=8垂直，所以解得A=B=所求平面为π：2x+2y一3z=0．知识模块：高等数学
9．设则过L1平行于L2的平面方程为______．
正确答案：x-3y+z+2=0
解析：因为所求平面π经过L1，所以点M(1，2，3)在平面π上，因为π与L1，L2都平行，所以所求平面的法向量为n={1，0，一1}×{2，1，1}={1，一3，1}，所求平面为π：(x一1)一3(y一2)+(z一3)=0或π：x一3y+z+2=0．知识模块：高等数学
10．过点A(3，2，1)且平行于直线的平面方程为_______
正确答案：x-2y-5z+6=0
解析：直线L1，L2的方向向量为s1={1，一2，1}，s2={2，1，0}，所求平面的法向量为n=s1×s2={一1，2，5}，则所求平面为π：一(x一3)+2(y一2)+5(z 一1)=0，或π：x一2y一5z+6=0．知识模块：高等数学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

11．设f(x)∈C[一π，π]，且f(x)=+∫-ππf(x)sinx dx，求f(x)．
正确答案：令∫-ππf(x)sinxdx=A，则于是f(x)sinx=两边从一π到π积分得涉及知识点：高等数学
12．设f(x)=求∫01x2f(x)dx．
正确答案：涉及知识点：高等数学
13．设f(x)在[a，b]上连续，证明：∫abf(x)dx=(b一a)∫01f[a+(b一a)x]dx．
正确答案：∫abf(x)dx∫01f[a+(b一a)t].(b一a)dt=(b一a)∫01f[a+(b一a)t]dt=(b一a)∫01f[a+(b一a)x]dx．涉及知识点：高等数学
14．
正确答案：涉及知识点：高等数学
15．
正确答案：涉及知识点：高等数学
16．设f(2)=，f’(2)=0，∫02f(x)dx=1，求∫01x2f”(2x)dx．
正确答案：涉及知识点：高等数学
17．
正确答案：涉及知识点：高等数学
18．设y’=arctan(x一1)2，y(0)=0，求∫01y(x)dx．
正确答案：∫01y(x)dx=xy(x)|01-∫01xarctan(x一1)2dx=y(1)一∫01(x一1)arctan(x一1)2d(x一1)一∫01arctan(x一1)2dx 涉及知识点：高等数学
19．设f(t)=求∫01t2f(t)dt．
正确答案：因为f(1)=0，所以涉及知识点：高等数学
20．设f(x)=∫0xecostdt，求∫0πf(x)cosxdx．
正确答案：∫0πf(x)cosx dx=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx|0π—∫0πf’(x)sinx dx=-∫0π’(x)sinx dx=一∫0πecosxsinx dx=∫0πecosxd(cosx)=ecosx|0π=e-1-e．涉及知识点：高等数学
21．求函数f(x)=(2一t)e-tdt的最大值与最小值．
正确答案：因为f(x)为偶函数，所以只研究f(x)在[0，+∞)内的最大值与最小值即可．令f’(x)=，得f(x)的唯一驻点为当，f’(x)＜0，注意到驻点的唯一性，则时函数f(x)取最大值，最大值为因为f(+∞)=f(一∞)=∫0+∞(2一t)e-tdt=1及f(0)=0，所以最小值为0．涉及知识点：高等数学
22．
正确答案：涉及知识点：高等数学
23．计算
正确答案：涉及知识点：高等数学
24．求∫-11(2+sinx)
正确答案：涉及知识点：高等数学
25．计算
正确答案：x=1为被积函数的无穷间断点，则涉及知识点：高等数学
26．设f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫a ξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．
正确答案：令g(x)=∫axf(t)dt—∫xbf(t)dt，因为f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，所以g(a)=一∫abf(t)dt＜0，g(b)=∫abf(t)dt＞0，由零点定理，存在ξ∈(a，b)，使得g(ξ)=0，即∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．涉及知识点：高等数学
27．设f(x)为连续函数，(1)证明：∫0πxf(sinx)dx=(2)证明：∫02πf(|sinx|)dx=(3)求
正确答案：(1)令I=∫0πxf(sinx)dx，则I=∫0πxf(sinx)dx∫π0(π-t)f(sint)(一dt)=∫0π(π—t)f(sint)dt =∫0π(π—x)f(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx一∫0πxf(sinx)dx =π∫0πf(sinx)dx一I，则I=∫0πxf(sinx)dx=(2)∫02πf(|sinx|)dx=∫-ππf(|sinx|)dx=2∫0πf(|sinx|)dx=2∫0πf(sinx)dx=(3) 涉及知识点：高等数学
28．证明：
正确答案：涉及知识点：高等数学
29．设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，|f(x)一f(y)|≤|arctanx —arctany|，又f(1)=0，证明：|∫01f(x)dx|≤．
正确答案：涉及知识点：高等数学
30．设f(a)=f(b)=0，∫abf2(x)dx=1，f’(x)∈C[a，b]．(1)求∫abxf(x)f’(x)dx；
(2)证明：∫abf’2(x)dx∫abx2f2(x)dx≥
正确答案：(1)∫abxf(x)f’(x)dx= (2)∫abxf(x)f’(x)dx= 涉及知识点：高等数学。