考研数学一(线性代数)模拟试卷132(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）模拟试卷132(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设n维行向量矩阵A=E－αTα，B=E+2αTα，则AB= ( ) A．0
B．－E
C．E
D．E+αTα
正确答案：C
解析：AB=(E－αTα)(E+2αTα)=E+αTα－2αTααTα=E+αTα－2αT(ααT)α，其中故AB=E+αTα－2．αTα=E．知识模块：线性代数
2．设A为n阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是( )
A．(A+A－1)2=A2+2AA－1+(A－1)2
B．(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2
C．(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2
D．(A+E)2=A2+2AE+E2
正确答案：B
解析：由矩阵乘法的分配律可知(A+B2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2，因此，(A+B)2=A2+2AB+B2的充要条件是BA=AB，也即A，B的乘积可交换．由于A与A－1，A与A*以及A与B都是可交换的，故A，C，D中的等式都是成立的．故选
B．知识模块：线性代数
3．设n阶(n≥3)矩阵若矩阵A的秩为n－1，则a必为( )
A．1
B．
C．－1
D．
正确答案：B
解析：因由r(A)=n－1，知1+(n－1)a=0，故知识模块：线性代数
4．已知ξ1，ξ2是方程(λE－A)X=0的两个不同的解向量，则下列向量中必是A的对应于特征值λ的特征向量的是( )
A．ξ1
B．ξ2
C．ξ1－ξ2
D．ξ1，+ξ2
正确答案：C
解析：因ξ1≠ξ2，故ξ1－ξ2≠0，且仍有关系A(ξ1－ξ2)=λξ1－λξ2=λ(ξ1－ξ2)，故ξ1－ξ2是A的特征向量．而Aξ1，Bξ2，D ξ1+ξ2均有可能是零向量，因此不一定是A的特征向量．知识模块：线性代数
5．设则必有( )
A．AP1P2=B
B．AP2P1=B
C．P1P2A=B
D．P2P1A=B
正确答案：C
解析：B由A第1行加到第3行(P2右边乘A)再将第1，2行对换(再P1右边乘P2A)得到，故C成立．知识模块：线性代数
6．已知r(A)=r1，且方程组AX=α有解，r(B)=r1，且BY=B无解，设A=[α1，α2，…，αn]，B=[β1，β2，…，βn]，且r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn，β)=r，则( )
A．r=r1+r2
B．r＞r1+r2
C．r=r1+r2+1
D．r≤r1+r2+1
正确答案：D
解析：由题设有r(α1，α2，…，αn，α)=r1，r(β1，β2，…，βn，β)=r2+1，故r(α1，α2，…，αn，α，β1，β2，…，βn，β)≤r1+r2+1．知识模块：线性代数
7．设A为n阶矩阵．则下列命题正确的是( )
A．若α为AT的特征向量，那么α为A的特征向量
B．若α为A*的特征向量，那么α为A的特征向量
C．若α为A2的特征向量，那么α为A的特征向量
D．若α为2A的特征向量，那么α为A的特征向量
正确答案：D
解析：①矩阵AT与A的特征值相同，但特征向量不一定相同，故A错误．②假设α为A的特征向量，λ为其特征值，当λ≠0时，α也为A*的特征向量．这是由于Aα=λα=>A*Aα=λA*α=>A*α=λ－1｜A｜α．但反之，α为A*的特征向量，那么α不一定为A的特征向量．例如：当r(A)＜n－1时，A*=O，此时，任意n维非零列向量都是A*的特征向量，故A*的特征向量不一定是A的特征向量．可知B错误．③假设α为A的特征
向量，λ为其特征值，则α为A2的特征向量．这是由于A2α=A(Aα)=λA α=λ2α．但反之，若α为A2的特征向量，α不一定为A的特征向量．例如：假设Aβ1=β1，Aβ2=－β2，其中β1，β2≠O．此时有A2(β1+β2)=A2β1+A2β2=β1+β2，可知β1+β2为A2的特征向量．但β1，β2是矩阵A两个不同特征值的特征向量，它们的和β1+β2不是A的特征向量．故C错误．④若α为2A的特征向量，则存在实数λ使得2Aα=λα，此时有Aa=λα，因此α为A的特征向量．可知D是正确的．故选
D．知识模块：线性代数
8．设A，B是n阶实对称可逆矩阵，则存在n阶可逆阵P，使得下列关系式①PA=B；②P－1ABP=BA；③P－1AP=B；④PTA2P=B2成立的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
正确答案：C
解析：逐个分析关系式是否成立．①式成立．因为A，B均是N阶可逆矩阵，故存在可逆矩阵Q，w，使QA=E，WB=E(可逆矩阵可通过初等行变换化为单位矩阵)，故有QA=WB，W－1QA=
B．记W－1Q=P，则有PA=B成立，故①式成立．②式成立．因为A，B均是n阶可逆矩阵，可取P=A，则有A－1(AB)A=(A－1A)BA=BA，故②式成立．③式不成立．因为A，B均是n阶实对称矩阵，它们均可以相似于对角阵，但不一定相似于同一个对角阵，即A，B不一定相似．例如(均满足题设的实对称可逆阵的要求)，但对任意可逆阵P，均有P－1AP=P－1EP=E≠B，故③式不成立．④式成立．因为A，B均是实对称可逆矩阵，其特征值均不为零，A2，B2的特征值均大于零．故A2，B2的正惯性指数为n(秩为n，负惯性指数为0)，故A2B2，即存在可逆阵P，使得PTA2P=B2．故④式成立．由以上分析，故应选
C．知识模块：线性代数
填空题
9．设A为奇数阶矩阵，且AAT=ATA=E，｜A｜＞0，则｜A－E｜=______．
正确答案：0
解析：｜A－E｜=｜A－AAT｜=｜A(E－AT)｜=｜A｜｜(E－A)T｜=｜A｜｜E－A｜．由AAT=ATA－E，可知｜A｜2=1．又由｜A｜＞0，可知｜A｜=1．又A为奇数阶矩阵，故｜E－A｜=｜－(A－E)｜=－｜A－E｜，故有｜A－E｜=－｜A－E｜，于是｜A－E｜=0．知识模块：线性代数
10．设B是3阶非零矩阵，且AB=O，则Ax=0的通解是______．
正确答案：k[－1，1，0]T，k为任意常数
解析：由于A为4×3矩阵，AB=O，且B≠O，可知r(A)＜3，对A作变换由r(A)＜3，有a=1．当a=1时，求得Ax=0的基础解系为[－1，1，0]T，因此通解为k[－1，1，0]T，k为任意常数．知识模块：线性代数
11．行列式Dn+1==______．
正确答案：
解析：行列式Dn+1与范德蒙德行列式的形式不同，可以利用行列式性质将Dn+1化为范德蒙德行列式计算．将行列式Dn+1的第n+1行依次与相邻上一行进行交换，经过n次交换后，换到了第1行．完全类似，Dn+1的第n行经过n －1次相邻两行交换，换到第2行．如此继续进行，共进行了n+(n－1)+…+2+1=次行交换后，Dn+1化为范德蒙德行列式．知识模块：线性代数
12．已知n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且r(A)=n=1，则线性方程组AX=0的通解是______．
正确答案：k[1，1，…，1]T，其中志为任意常数
解析：由r(A)=n－1知Ax=0的基础解系由n－(n－1)=1个非零向量组成．A的各行元素之和均为零，即ai1+ai2+…+ain=0，i=1，2，…，n．也就是ai1.1+ai2.1+…+ain.1=0，i=1，2，…，n，即ξ=[1，1，…，1]T是AX=0的非零解，于是方程组AX=0的通解为k[1，1，…，1]T，其中k为任意常数．知识模块：线性代数
13．已知则r(A－E)+r(2E+A)=______．
正确答案：3
解析：因故存在可逆矩阵P，使得则r(A－E)=r(PAP－1－E)=r(P(Λ－E)P －1)=r(Λ－E)=r(A+2E)=r(P(Λ+2E)P－1)=r(Λ+2E)=故r(A－E)+r(A+2E)=1+2=3．知识模块：线性代数
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

14．计算行列式
正确答案：=(a2+b2+c2+d2)4．观察可知原行列式中a4的系数为1，故原式=(a2+b2+c2+d2)2．涉及知识点：线性代数
15．设可逆，其中A，D皆为方阵，证明A，D可逆，并求M－1．
正确答案：M可逆=>｜M｜=｜A｜.｜D｜≠0=>｜A｜≠0且｜D｜≠0=>A，D可逆．设M的逆矩阵为涉及知识点：线性代数
16．已知向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)，若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且
r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r．证明：(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．
正确答案：设(Ⅰ)的一个极大无关组为ξ1，ξ2，…，ξr，(Ⅱ)的一个极大无关组为η1 ，η2 ，…，ηr．因为(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，即ξ1，ξ2，…，ξr，可由η1 ，η2 ，…，ηr线性表示，于是r(ξ1，ξ2，…，ξr，η1 ，η2 ，…，ηr)=r(η1 ，η2 ，…，ηr)=r．又ξ1，ξ2，…，ξr线性无关，则ξ1，ξ2，…，ξr也可作为ξ1，ξ2，…，ξr，η1 ，η2 ，…，ηr的一个极大无关组，于是η1 ，η2 ，…，ηr也可由ξ1，ξ2，…，ξr线性表示，即(Ⅱ)也可由(Ⅰ)线性表示，得证．涉及知识点：线性代数
17．设矩阵有三个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，试求可逆矩阵P使得P－1AP=Λ，其中Λ是对角矩阵．
正确答案：A有三个线性无关的特征向量，λ=2是二重特征值，故特征矩阵2E－A的秩应为1．解得x=2，y=－2，故因tr(A)=10==4+λ3，故λ3=6．当λ=2时，由当λ=6时，由令P=[ξ1，ξ2，ξ3]= 涉及知识点：线性代数
18．已知求An(n≥2)．
正确答案：将A分块为则B=3E+J，其中于是Bn=(3E+J)n=3nE+C213n－1+C223n－2J2+…+Jn，而C2=6C，…，CN=6n－1C，所以当n≥2时，涉及知识点：线性代数
19．设向量组α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0．证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
正确答案：设kβ+k1(β+α1)+…+kt(β+αt)=0，即(k+k1+…+kt)β+k1α1+…+ktαt=0，等式两边左边乘A，得(k+k1+…+kt)Aβ=0k+k1+…+kt=0，故k1α1+…+ktαt=0．由α1，α2，…，αt线性无关，得k1=…=kt=0，故k=0，所以β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．涉及知识点：线性代数
20．设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，E是n阶单位矩阵．若AB=E，证明：B的列向量组线性无关．
正确答案：设B=[β1，β2，…，βn]，其中βi(i=1，2，…，n)是B按列分块后的列向量．设x1β1，x2β2，…，xnβn=0，即两边左边乘A，则得ABX=EX=X=0，所以β1，β2，…，βn线性无关．涉及知识点：线性代数
21．已知齐次线性方程组(i)为齐次线性方程组(ii)的基础解系为ξ1=[一1，1，2，4]T，ξ2=[1，0，1，1]T．(1)求方程组(i)的基础解系；(2)求方程
组(i)与(ii)的全部非零公共解，并将非零公共解分别由方程组(i)，(ii)的基础解系线性表示．
正确答案：(1)对齐次线性方程组(i)的系数矩阵作初等行变换，得其同解方程组为由此解得方程组(i)的基础解系为η1=[2，－1，1，0]T，η2=L－1，1，0，1]T．(2)由(1)解得方程组(i)的基础解系η1，η2．于是，方程组(i)的通解为k1η1+k2η2=k1[2，－1，1，0]T+k2[－1，1，0，1]T(k1，k2为任意常数)．由题设知，方程组(ii)的基础解系为ξ1，ξ2，其通解为l1ξ1+l2ξ2=l1[－1，1，2，4]T+l2[1，0，1，1]T(l1，l2为任意常数)．为求方程组(i)与(ii)的公共解，令它们的通解相等，即k1[2，－1，1，0]T+k2[－1，1，0，1]T=l1[一1，1，2，4]T+l2[1，0，1，1]T．从而，得到关于k1，k2，l1，l2的方程组对此方程组的系数矩阵作初等行变换，得由此可得，k1=k2=l2，l1=0．所以．令k1=k2=k，方程组(i)，(ii)的非零公共解是k[2，－1，1，0]T+k[－1，1，0，1]T=k[1，0，1，1]T(k为任意非零常数)．并且，方程组(i)，(ii)的非零公共解分别由方程组(i)，(ii)的基础解系线性表示为k(η1+η2)和0.ξ1+kξ2．涉及知识点：线性代数
22．设有4阶方阵A满足条件｜3E+A｜=0，AAT=2E，｜A｜＜0，其中E 是4阶单位矩阵．求方阵A的伴随矩阵A*的一个特征值．
正确答案：由｜3E+A｜=0知λ=－3为A的特征值，由AAT=2E，｜A｜＜0知｜A｜=－4，则A*的一个特征值为涉及知识点：线性代数
23．设A是3阶实对称矩阵，λ1=－1，λ2=λ3=1是A的特征值，对应于λ1的特征向量为ξ1=[0，1，1]T，求A．
正确答案：λ2=λ3=1有两个线性无关的特征向量ξ2，ξ3，它们都与ξ1正交，故可取ξ2=[1，0，0]T，ξ3=[0，1，－1]T，且取正交矩阵则A=TΛT－1=TΛTT = 涉及知识点：线性代数
24．设问A，B是否相似，并说明理由．
正确答案：A，B均是实对称矩阵，均可相似于对角矩阵，由于交换｜λE －A｜的1，2列和1，2行，得故A和B有相同的特征方程，相同的特征值，于是它们相似于同一个对角矩阵，故A～
B．涉及知识点：线性代数
25．设A与B均为正交矩阵，并且｜A｜+｜B｜=0．证明：A+B不可逆．
正确答案：由AAT=E有｜A｜2=1，因此，正交矩阵的行列式为1或－1．由｜A｜+｜B｜=0有｜A｜.｜B｜=－1，也有｜AT｜.｜BT｜=－1．再考虑到｜AT(A+B)BT｜=｜AT+BT｜=｜A+B｜，所以－｜A+B｜=｜A+B｜，｜A+B｜=0．故A+B不可逆．涉及知识点：线性代数
设矩阵已知A的一个特征值为3．
26．求k；
正确答案：矩阵A的特征多项式为将A的特征值λ=3代入上式，有｜3E－A｜=(32－1)[32－3(k+2)+(2k－1)]=0．解之得k=2．涉及知识点：线性代数
27．求矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．
正确答案：由上一小题的结果，得矩阵因为AT=A，所以(AP)T(AP)=PTA2P．而对应于A2的二次型为XTA2X=x12+x22+5x32+5x42+8x3x4作线性变换将X=PY代入二次型xTA2x，得XTA2X=(PY)TA2(PY)=YT(AP)T(AP)Y 涉及知识点：线性代数。