2021届江西省金溪一中等五校联考高三(上)期中考试数学(文科)试题Word版含解析

2021届江西省金溪一中等五校联考高三（上）期中考试
数学（文科）试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合M={x∈N|x＜6}，N={x|（x﹣2）（x﹣9）＜0}，则 M∩N=（）
A．{3，4，5} B．{x|2＜x＜6} C．{x|3≤x≤5} D．{2，3，4，5}
2．A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分均为65分，已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格，在下列四个命题中，为p的逆否命题的是（）
A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格
B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分
C．若A，B，C至少有1人及格，则及格分不低于70分
D．若A，B，C至少有1人及格，则及格分不高70于分
3．设f（x）﹣x2=g（x），x∈R，若函数f（x）为偶函数，则g（x）的解析式可以为（）
A．x3B．cosx C．1+x D．xe x
4．若cosx=sin63°cos18°+cos63°cos108°，则cos2x=（）
A．B．C．0 D．
5．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosA+acosB=c2，a=b=2，则△ABC的周长为（）A．7.5 B．7 C．6 D．5
6．设正项等比数列{a
n }的前n项和为S
n
，且＜1，若a
3
+a
5
=20，a
3
a
5
=64，则S
4
=（）
A．63或126 B．252 C．120 D．63
7．若sinx+cosx=，则tan（x+）=（）
A．B．C．D．
8．已知点O为△ABC内一点，∠AOB=120°，OA=1，OB=2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则•的值为（）
A．B．C．D．
9．已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）
A．（0，4）B．C． D．（0，1），（4，+∞）
10．已知函数f （x ）=asinx ﹣bcosx （其中a ，b 为正实数）的图象关于直线x=﹣
对称，且∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f （x 1）f （x 2）≤4恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A ．
B ．不等式f （x 1）f （x 2）≤4取到等号时|x 1﹣x 2|的最小值为2π
C ．函数f （x ）的图象一个对称中心为
D ．函数f （x ）在区间
上单调递增 11．若数列{a n }满足﹣=1，且a 1=5，则数列{a n }的前100项中，能被5整除的项数为（ ）
A ．42
B ．40
C ．30
D ．20
12．已知函数f （x ）=2x ﹣5，g （x ）=4x ﹣x 2，给下列三个命题：
p 1：若x ∈R ，则f （x ）f （﹣x ）的最大值为16；
p 2：不等式f （x ）＜g （x ）的解集为集合{x|﹣1＜x ＜3}的真子集；
p 3：当a ＞0时，若∀x 1，x 2∈[a ，a+2]，f （x 1）≥g （x 2）恒成立，则a ≥3，
那么，这三个命题中所有的真命题是（ ）
A ．p 1，p 2，p 3
B ．p 2，p 3
C ．p 1，p 2
D ．p 1
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．等比数列{42n+1}的公比为 ． 14．设函数f （x ）=，则f （3）+f （4）= ．
15．在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a 2+b 2﹣c 2=
ab ，且acsinB=2sinC ，则•= ．
16．若函数f （x ）=k ﹣有三个零点，则实数k 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知m ≠0，向量=（m ，3m ），向量=（m+1，6），集合A={x|（x ﹣m 2）（x+m ﹣2）=0}．
（1）判断“∥”是“||=”的什么条件
（2）设命题p ：若⊥，则m=﹣19，命题q ：若集合A 的子集个数为2，则m=1，判断p ∨q ，p ∧q ，￢q 的真假，并说明理由．
18．在等差数列{a n }中，a 12+a 3=4，且a 5+a 6+a 7=18．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若a 1，a 2，a 4成等比数列，求数列{}的前n 项和S n ．
19．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的建康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收
入P、种黄瓜的年收入Q与投入a（单位：万元）满足P=80+4，Q=a+120，设甲大棚的投入为x（单
位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．
（1）求f（50）的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？
20．如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，AE=，cosB=，∠ADB=．
（1）求AD的长；
（2）求△ADE的面积．
21．已知函数f（x）=（x+a）e x（x＞﹣3），其中a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点A（0，a）处的切线l与直线y=|2a﹣2|x平行，求l的方程；
（2）讨论函数y=f（x）的单调性．
22．记max{m，n}表示m，n中的最大值．如max{3， }=．已知函数f（x）=max{x2﹣1，2lnx}，g （x）=max{x+lnx，ax2+x}．
（1）求函数f（x）在[，2]上的值域；
（2）试探讨是否存在实数a，使得g（x）＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．
2021届江西省金溪一中等五校联考高三（上）期中考试
数学（文科）试题参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合M={x∈N|x＜6}，N={x|（x﹣2）（x﹣9）＜0}，则 M∩N=（）
A．{3，4，5} B．{x|2＜x＜6} C．{x|3≤x≤5} D．{2，3，4，5}
【考点】交集及其运算．
【分析】先分别求出集合M，N，由此能求出M∩N．
【解答】解：∵集合M={x∈N|x＜6}={0，1，2，3，4，5}，
N={x|（x﹣2）（x﹣9）＜0}={x|2＜x＜9}，
∴M∩N={3，4，5}．
故选：A．
2．A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分均为65分，已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格，在下列四个命题中，为p的逆否命题的是（）
A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格
B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分
C．若A，B，C至少有1人及格，则及格分不低于70分
D．若A，B，C至少有1人及格，则及格分不高70于分
【考点】四种命题．
【分析】根据原命题与它的逆否命题之间的关系，写出命题p的逆否命题即可．
【解答】解：根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，
命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格，
p的逆否命题的是：若A，B，C至少有1人及格，则及格分不低于70分．
故选：C．
3．设f（x）﹣x2=g（x），x∈R，若函数f（x）为偶函数，则g（x）的解析式可以为（）
A．x3B．cosx C．1+x D．xe x
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．
【分析】根据偶函数与偶函数的和为偶函数，只要g（x）为偶函数即可．
【解答】解：由题意，只要g（x）为偶函数即可，由选项可知，只有选项B的函数为偶函数；
故选：B．
4．若cosx=sin63°cos18°+cos63°cos108°，则cos2x=（）
A．B．C．0 D．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用诱导公式以及两角和与差的三角函数化简已知条件，利用二倍角公式求解即可．
【解答】解：cosx=sin63°cos18°+cos63°cos108°=sin63°cos18°﹣cos63°sin18°=sin45°=．
cos2x=2cos 2x ﹣1=2×=0．
故选：C ．
5．在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若bcosA+acosB=c 2，a=b=2，则△ABC 的周长为（ ）
A ．7.5
B ．7
C ．6
D ．5
【考点】正弦定理．
【分析】由已知利用余弦定理可求c 的值，进而可得周长的值．
【解答】解：∵bcosA+acosB=c 2，a=b=2，
∴由余弦定理可得：b ×+a ×=c 2，整理可得：2c 2=2c 3，
∴解得：c=1，则△ABC 的周长为a+b+c=2+2+1=5．
故选：D ．
6．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且＜1，若a 3+a 5=20，a 3a 5=64，则S 4=（ ）
A ．63或126
B ．252
C ．120
D ．63
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】根据a 3+a 5=20，a 3a 5=64构造出一元二次方程求得a 3和a 5，则a 1和q 可求得，最后求得答案．
【解答】解：∵＜1，
∴0＜q ＜1，
∵a 3a 5=64，a 3+a 5=20，
∴a 3和a 5为方程x 2﹣20x+64=0的两根，
∵a n ＞0，0＜q ＜1，
∴a 3＞a 5，
∴a 3=16，a 5=4，
∴q=，
∴a 1=64，a 2=32，a 3=16，a 4=8，
∴S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=64+32+16+8=120，
故选：C
7．若
sinx+cosx=，则tan （x+）=（ ） A ． B ． C ． D ．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用两角和的正弦函数化简已知条件，利用诱导公式化简所求的表达式，然后求解即可．
【解答】解： sinx+cosx=，
可得sin（x+）=．
tan（x+）=tan（x+）==±=．
故选：D．
8．已知点O为△ABC内一点，∠AOB=120°，OA=1，OB=2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则•的值为（）
A．B．C．D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意可得=0，计算•=•（﹣）=．△AOB中，利用余弦定理可得AB=，再利用面积法求得OD=，从而求得•=的值．
【解答】解：如图：点O为△ABC内一点，∠AOB=120°，OA=1，OB=2，
过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，∴=0，
则•=•（﹣）=﹣••=﹣
===．
△AOB中，利用余弦定理可得AB2=OA2+OB2﹣2OA•OB•cos120°=1+4+2=7，∴AB=．
==OA•OB•sin120°，可得•OD=，
∵S
△AOB
∴OD=，∴•==，
故选：D．
9．已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）
A ．（0，4）
B ．
C ．
D ．（0，1），（4，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】结合函数图象求出f ′（x ）﹣f （x ）＜0成立的x 的范围即可．
【解答】解：结合图象：x ∈（0，1）和x ∈（4，+∞）时，f ′（x ）﹣f （x ）＜0，
而g ′（x ）=，
故g （x ）在（0，1），（4，+∞）递减，
故选：D ．
10．已知函数f （x ）=asinx ﹣bcosx （其中a ，b 为正实数）的图象关于直线x=﹣
对称，且∀x 1，x 2∈R ，
且x 1≠x 2，f （x 1）f （x 2）≤4恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A ．
B ．不等式f （x 1）f （x 2）≤4取到等号时|x 1﹣x 2|的最小值为2π
C ．函数f （x ）的图象一个对称中心为
D ．函数f （x ）在区间上单调递增 【考点】命题的真假判断与应用；三角函数的化简求值．
【分析】利用函数的对称轴，判断A 的正误；
利用函数的最值，判断B 的正误；
通过函数的周期以及对称性判断C 的正误；
利用对称轴以及周期判断D 的正误；
【解答】解：对于A ，函数f （x ）=asinx ﹣bcosx （其中a ，b 为正实数）的图象关于直线x=﹣
对称，
可得，显然A 不正确． 对于B ，∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f （x 1）f （x 2）≤4恒成立，说明函数最大值为2，不等式f （x 1）f （x 2）≤4取到等号时|x 1﹣x 2|的最小值为2π，满足题意．
对于C ，函数f （x ）=asinx ﹣bcosx （其中a ，b 为正实数）的图象关于直线x=﹣
对称，周期为2π，函数f （x ）的图象一个对称中心为，不是，所以C 不正确；
对于D ，函数f （x ）=asinx ﹣bcosx （其中a ，b 为正实数）的图象关于直线x=﹣
对称，x=﹣函数取得最小值，x=
，函数取得最大值，函数f （x ）在区间上单调递增是不正确的． 故选：B ．
11．若数列{a n }满足﹣=1，且a 1=5，则数列{a n }的前100项中，能被5整除的项数为（ ）
A ．42
B ．40
C ．30
D ．20
【考点】数列递推式．
【分析】由
﹣=1，数列{}是以=1为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列通项公式=n ，求得a n =2n 2+3n ，由通项公式分别求得每10项，有4项能被5整除，即可得到数列{a n }的前100项中，能被5整除的项数．
【解答】解：由数列{a n }满足
﹣=1，即﹣=1，
∴
=1， ∴数列{
}是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴=n ， ∴a n =2n 2+3n ，
由题意可知：
项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
个位数 5 4 7 4 5 0 9 2 9 0
∴每10中有4项能被5整除，
∴数列{a n }的前100项中，能被5整除的项数40，
故答案选：B ．
12．已知函数f （x ）=2x ﹣5，g （x ）=4x ﹣x 2，给下列三个命题：
p 1：若x ∈R ，则f （x ）f （﹣x ）的最大值为16；
p 2：不等式f （x ）＜g （x ）的解集为集合{x|﹣1＜x ＜3}的真子集；
p 3：当a ＞0时，若∀x 1，x 2∈[a ，a+2]，f （x 1）≥g （x 2）恒成立，则a ≥3，
那么，这三个命题中所有的真命题是（ ）
A ．p 1，p 2，p 3
B ．p 2，p 3
C ．p 1，p 2
D ．p 1
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】给出f （x ）f （﹣x ）的表达式，结合基本不等式，可判断p 1，在同一坐标系中作出函数f （x ）=2x ﹣5，g （x ）=4x ﹣x 2的图象，数形结合，可判断p 2，p 3
【解答】解：∵函数f （x ）=2x ﹣5，g （x ）=4x ﹣x 2，
∴f （x ）f （﹣x ）=（2x ﹣5）（2﹣x ﹣5）=26﹣5（2x +2﹣x ）≤26﹣10
=16，
故p 1：若x ∈R ，则f （x ）f （﹣x ）的最大值为16，为真命题；
在同一坐标系中作出函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2的图象如下图所示：
由图可得：p
2
：不等式f（x）＜g（x）的解集为集合{x|﹣1＜x＜3}的真子集，为真命题；
p 3：当a＞0时，若∀x
1
，x
2
∈[a，a+2]，f（x
1
）≥g（x
2
）恒成立，则a≥3，为真命题；
故选：A
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．等比数列{42n+1}的公比为16 ．
【考点】等比数列．
【分析】利用公比的定义即可得出．
【解答】解：等比数列{42n+1}的公比q==16，
故答案为：16．
14．设函数f（x）=，则f（3）+f（4）= 4 ．【考点】函数的值．
【分析】先分别求出f（3）=f（9）=1+log
69，f（4）=1+log
6
4，由此能求出f（3）+f（4）．
【解答】解：∵f（x）=，
∴f（3）=f（9）=1+log
6
9，
f（4）=1+log
6
4，
∴f（3）+f（4）=2+log
69+log
6
4
=2+log
6
36
=2+2
=4．
故答案为：4．
15．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a2+b2﹣c2=ab，且acsinB=2sinC，则•= 3 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据余弦定理和正弦定理将条件进行化简，结合向量数量积的定义进行求解即可．
【解答】解：在△ABC中，∵a2+b2﹣c2=ab，
∴由余弦定理得cosC==，
则C=，
∵acsinB=2sinC，
∴由正弦定理得ac•b=2c，
即ab=2，
则•=||•||cosC=abcosC=2×=3，
故答案为：3．
16．若函数f（x）=k﹣有三个零点，则实数k的取值范围是（﹣2，0）∪（0，2）．
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】根据函数与零点的关系将函数转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由f（x）=k﹣=0得k=，
设g（x）=，
若函数f（x）=k﹣有三个零点，
等价为y=k，和g（x）有三个交点，
g（x）==x3﹣3x，（x≠0），
函数的导数g′（x）=3x2﹣3=3（x2﹣1），
由g′（x）＞0得x＞1或x＜﹣1，此时函数单调递增，
由g′（x）＜0得﹣1＜x＜0或0＜x＜1，此时函数单调递减，
即当x=1时，函数取得极小值，g（1）=﹣2，
当x=﹣1时，函数取得极大值，g（﹣1）=2，
要使y=k，和g（x）有三个交点，
则0＜k＜2或﹣2＜k＜0，
即实数k的取值范围是（﹣2，0）∪（0，2），
故答案为：（﹣2，0）∪（0，2）
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知m ≠0，向量=（m ，3m ），向量=（m+1，6），集合A={x|（x ﹣m 2）（x+m ﹣2）=0}． （1）判断“∥”是“||=”的什么条件
（2）设命题p ：若⊥，则m=﹣19，命题q ：若集合A 的子集个数为2，则m=1，判断p ∨q ，p ∧q ，￢q 的真假，并说明理由．
【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】（1）由，则6m=3m （m+1解出m 即可判断出结论． （2）若，则m （m+1）+18m=0，解出m ，即可判断出p 真假．由（x ﹣m 2）（x+m ﹣2）=0得x=m 2，或x=2﹣m ，若集合A 的子集个数为2，则集合A 中只有1个元素， 则m 2=2﹣m ，解得m ，即可判断出真假． 【解答】解：（1）若，则6m=3m （m+1），∴m=1（m=0舍去），此时，
，
若
，则m=±1，故“
”是“
”的充分不必要条件．
（2）若，则m （m+1）+18m=0，∴m=﹣19（m=0舍去），∴p 为真命题． 由（x ﹣m 2）（x+m ﹣2）=0得x=m 2，或x=2﹣m ，若集合A 的子集个数为2，则集合A 中只有1个元素， 则m 2=2﹣m ，解得m=1或﹣2，∴q 为假命题．
∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，￢q 为真命题．
18．在等差数列{a n }中，a 12+a 3=4，且a 5+a 6+a 7=18． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若a 1，a 2，a 4成等比数列，求数列{
}的前n 项和S n ．
【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由a 12+a 3=4，且a 5+a 6+a 7=18．可得a 12+a 1+2d=4，a 5+a 6+a 7=3a 6═3（a 1+5d ）=18．联立解出即可得出． （2）由a 1，a 2，a 4成等比数列，可得
=a 1•a 4．可得a n =n ．可得：
=
=
．利
用“裂项求和”方法即可得出． 【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 12+a 3=4，且a 5+a 6+a 7=18．
∴a 12+a 1+2d=4，a 5+a 6+a 7=3a 6═3（a 1+5d ）=18． 联立解得a 1=d=1或a 1=﹣，d=． ∴a n =1+（n ﹣1）=n ，或a n =﹣+（n ﹣1）=．
（2）∵a 1，a 2，a 4成等比数列，∴=a 1•a 4．
∴a n =n ． ∴=
=．
∴数列{
}的前n 项和S n =
+…+
=
=
．
19．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的建康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a （单位：万元）满足P=80+4
，Q=a+120，设甲大棚的投入为x （单
位：万元），每年两个大棚的总收益为f （x ）（单位：万元）． （1）求f （50）的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f （x ）最大？ 【考点】函数模型的选择与应用． 【分析】（1）由甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，把a 的值代入即可得出． （2）
，依题意得
，
通过换元利用二次函数的单调性即可得出． 【解答】解：（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元， ∴万元．
（2），依题意得
，
故．
令
，则
，
当，即x=128时，f （x ）max =282万元．
所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．
20．如图所示，在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，且BD=1，E 为AC 的中点，AE=，cosB=，∠ADB=
．
（1）求AD 的长；
（2）求△ADE 的面积．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而利用两角和的正弦函数公式可求sin∠BAD，利用正弦定理即可求得AD的值．
（2）由（1）可求AC=2AE=3，由余弦定理可求DC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：（1）在△ABD中，∵，
∴，
∴，
由正弦定理，知．
（2）由（1）知AD=2，依题意得AC=2AE=3，
在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2﹣2AD•CDcos∠ADC，即，
∴DC2﹣2DC﹣5=0，解得（负值舍去）．
∴，
从而．
21．已知函数f（x）=（x+a）e x（x＞﹣3），其中a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点A（0，a）处的切线l与直线y=|2a﹣2|x平行，求l的方程；
（2）讨论函数y=f（x）的单调性．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，结合切线的斜率求出a的值，从而求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间即可．
【解答】解：（1）f'（x）=（x+a+1）e x，
∵f'（0）=a+1=|2a﹣2|，∴a=3或，
当a=3时，f（x）=（x+3）e x，f（0）=3，
∴l的方程为：y=4x+3，
当时，，
∴l的方程为：．
（2）令f'（x）=（x+a+1）e x=0得x=﹣a﹣1，
当﹣a﹣1≤﹣3即a≥2时，f'（x）=（x+a+1）e x＞0，f（x）在（﹣3，+∞）递增，
当﹣a﹣1＞﹣3即a＜2时，令f'（x）＞0得x＞﹣a﹣1，f（x）递增，
令f'（x）=0得﹣3＜x﹣a﹣1，f（x）递减，
综上所述，当a＜2时，f（x）的增区间为（﹣a﹣1，+∞），减区间为（﹣3，﹣a﹣1），
当a≥2时，f（x）在（﹣3，+∞）上递增．
22．记max{m，n}表示m，n中的最大值．如max{3， }=．已知函数f（x）=max{x2﹣1，2lnx}，g （x）=max{x+lnx，ax2+x}．
（1）求函数f（x）在[，2]上的值域；
（2）试探讨是否存在实数a，使得g（x）＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；
若不存在，说明理由．
【考点】函数恒成立问题；函数的值域．
【分析】（1）设F（x）=x2﹣1﹣lnx，对其求导，及最小值，从而得到f（x）的解析式，进一步求值域即可．（2）分别对a≤0和a＞0两种情况进行讨论，得到g（x）的解析式，进一步构造h（x），通过求导得到最值，得到满足条件的a的范围．
【解答】解：（1）由题意设F（x）=x2﹣1﹣2lnx，则F'（x）=2x﹣=，
所以x＞1时，F（x）递增，0＜x＜1时F（x）递减，
=F（1）=0，所以F（x）≥0即x2﹣1＞2lnx，
所以F（x）
min
所以f（x）=x2﹣1，其在[，2]上的最大值为x=2时函数值3，x=取最小值为，
所以函数f（x）在[，2]上的值域[﹣，3]；
（2）①当a≤0时，因为x∈（1，+∞），所以x+lnx﹣（ax2+x）=lnx﹣ax2＞0，
所以x+lnx＞ax2+x，所以g（x）=x+lnx，当g（x）＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立，
则lnx﹣x＜4a对x∈（1，+∞）恒成立，设h（x）=lnx﹣x，则h'（x）=，
令h'（x）＞0得1＜x＜2，h（x）递增，令h'（x）＜0得x＞2，h（x）递减，
=h（2）=ln2﹣1，所以a＞，又a≤0，所以a∈（，0]．
所以h（x）
max
②当a＞0时，由①知x+lnx＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立，
若g（x）＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立，则ax2+x＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立，
即2ax2﹣x﹣8a＜0对x∈（1，+∞）恒成立，显然不成立，
即a＞0时，不满足g（x）＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立；
综上，存在实数a使得g（x）＜x+4a，
对x∈（1，+∞）恒成立，a的取值范围是（，0]．。