2021-2022年高二上学期期末考试数学(文)试题

2021-2022年高二上学期期末考试数学（文）试题
本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题共60分）
注意事项：
1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

一、选择题（每小题5分，共60分）
1. 是虚数单位，复数=( )
A．B．C．D．
2.椭圆的两个焦点和它在短轴上的两个顶点连成一个正方形，则此椭圆的离心率为( )
A.1
2
B.
2
2
C.
3
2
D.
3
3
3. 已知椭圆
x2
4
＋y2＝1的焦点为F
1
、F
2
，点M在该椭圆上，且MF
1
→
·MF
2
→
＝0，
则点M 到y 轴的距离为( )
A .
233 B .263 C .3
3
D .3
4. 双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A .⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0
B .⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0
C .⎝ ⎛⎭
⎪⎫
62，0 D .()3，0
5. 双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．4 2 6. 直线y ＝k(x ＋2)与双曲线x 2
4－y 2＝1有且只有一个公共点，则k 的不同
取值有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 7. 设双曲线x 2a 2－y 2
9
＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a 的值为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 8. 设过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点的弦为AB ，则|AB|的最小值为( ) A .p 2
B ．p
C ．2p
D ．无法确
定
9. 焦点在直线x＝1上的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝4x B．x2＝4y C．y2＝－4x D．y2＝2x
10. 若抛物线y2＝ax的焦点与椭圆x2
6
＋
y2
2
＝1的左焦点重合，则a的值为
( )
A．4 B．2 C．－4 D．－8
11. 双曲线与椭圆的（）相同
A．焦距B．焦点C．顶点D．离心率
12. 与圆及圆都外切的圆的圆心在（）上
A．椭圆 B．双曲线C. 抛物线D. 双曲线的一支
二填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 焦点是F（3,0）的抛物线的标准方程为 .
14. 已知方程表示双曲线,则的取值范围是 .
15. 如果点M10
=，则点M的轨迹方程为 .
16. 已知双曲线x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个
焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为__
______．
三.解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本题满分10分)
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3，0)；
（2）
18. (本题满分12分)
过椭圆x2
16
＋
y2
4
＝1内点M(2,1)引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线
的方程．
19. (本题满分12分)
中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F
1，F
2
，且|F
1
F
2
|
＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求△F
1PF
2
的面积．
20.（本题满分12分）
直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．
21. (本题满分12分)
抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x2
a2
－
y2
b2
＝1的一个焦点，并且这条准
线垂直于x轴，又抛物线与双曲线交于点P(3
2
，6)，求抛物线和双曲线的方程．
22 (本题满分12分)
已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值.
高二数学（文）参考答案1—12DBBCC DCCAD BD
13. 14. 15. 16. x2
4
－
y2
12
＝1
17．解:(1)设椭圆的标准方程为x2
a2
＋
y2
b2
＝1或
y2
a2
＋
x2
b2
＝1(a>b>0)．
由已知a＝3b且椭圆过点(3，0)，∴32
3b2
＝1或
∴或
故所求椭圆的方程为(2)由，得
∴
故所求椭圆的方程为
2222
11 49404940
x y y x
+=+=
或
19.解： (1)设椭圆方程为x2
a2
＋
y2
b2
＝1，双曲线方程为
x2
m2
－
y2
n2
＝1(a，b，m，n>0，
且a>b)，
则⎩⎨⎧
a －m ＝47·
13
a ＝3·
13m
，解得：a ＝7，m ＝3，∴b＝6，n ＝2，
∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 2
4
＝1.
(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则PF 1＋PF 2＝14，PF 1－PF 2＝6，
∴PF 1＝10，PF 2＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 2
2
2PF 1·PF 2＝45
，
∴sin ∠F 1PF 2＝35.∴S△F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2＝12·10·4·3
5＝12.
20.解：∵抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)， 若l 与x 轴垂直，则|AB|＝4，不符合题意， ∴可设所求直线l 的方程为y ＝k(x －1)． 由⎩⎨⎧
y ＝k x －1
，
y 2
＝4x ，
得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，
则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k 2＋4
k
2
. 又AB 过焦点，由抛物线的定义可知|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4
k 2
＋2＝8，∴
2k 2＋4
k 2
＝6，解得k ＝±1.
∴所求直线l 的方程为y ＋x －1＝0或x －y －1＝0.
22. （1）解：由，得，再由，得 由题意可知， 解方程组 得 a=2,b=1 所以椭圆的方程为
(2)解：由（1）可知A （-2,0）。

设B 点的坐标为（x 1,,y 1）,直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y=k(x+2),
于是A,B 两点的坐标满足方程组22
(2)
14
y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩
由方程组消去Y 并整理，得2222(14)16(164)0k x k x k +++-=
由得 211
22
284,,1414k k
x y k k -==++从而 设线段AB 是中点为M ，则M 的坐标为
以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B 的坐标为（2,0）。

线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是
000(2,y ),(2,=QA QB y QA QB y →
→
→
→
=--=-±）由4，得=（2）当K 时，线段AB 的垂直平分线方程为2
22
218()1414k k Y x k k k -
=+++ 令x=0，解得
由0110(2,y ),(,QA QB x y y →
→
=--=-）
210102222
2(28)6462(()14141414k k k k
QA QB x y y y k k k k
→
→--=---++++++）=
整理得2072,=75
k k y ==±±故 综上
30482 7712 眒 37264 9190 醐38604 96CC 雌29758 743E 琾23954 5D92 嶒Mt34585 8719 蜙;26017 65A1 斡35032 88D8 裘39412 99F4 駴20382 4F9E 侞~。