上海市浦东新区高三模拟考试数学理含答案范文[成套][原创]华师版

浦东新区2007 年高考预测
数学试卷(理工类)
(完卷时间120分钟满分150分)
题号1-1213-16171819202122总分得分
、填空题(本大题满分48分)本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1 .设集合A = {-1, 1,2,3 B = <x X? < 3 }，则A A B = _______________________
3•已知向量a ={x,2}, b ={8,x}平行，则实数x= _________________ .
5 3
4•在二项式(1 - 2x)的展开式中，含x项的系数为______________________ .
2 2
5•已知圆x + y +4y—6=0关于直线x + 2y+a=0对称，则实数a的值为_____________________ .
6. .\ABC 中，a,b,c 分别为角A,B,C 的对边，若A=60，a 二$21，b =4，则边c=_ .
ui
7•在极坐标系中，点A(2,0), B(2,?)，则AB中点的极坐标为 ________________________________ .
i~
x — v 3 cos 日
8•任取x , y乏{一2 , -1,0,1,2}且x式y,则点P(x, y)落在方程」厂表示的曲
= V3sin 日线所围成的区域内的概率是_______________ .
2
9•据有关资料统计，通过环境整治，某湖泊污染区域S(km )与时间t (年)可近似看作指
2 2 2
数函数关系，已知近2年污染区域由0.16km降至0.04km，则污染区域降至0.01km还
需要_______ 年.
10•如图，小正三角形沿着大正三角形的边，按逆时针方向无滑动地滚
动•小正三角形的边长是大正三角形边长的一半，如果小正三角形沿
着大正三角形的边滚动一周后返回岀发时的位置，在这个过程中向量
OA围绕着点O旋转了二角，其中O为小正三角形的中心，则
Q Q
sin — cos—二__________ •
6 6
11 •对于函数f (x)二sinC'X •「)(-
2 的两个为结论，写岀你认为正确的一个命题
)，以下列四个命题中的两个为条件，余下2
①函数f (x)图像关于直线x = —对称; 12 2007/4
2. lim
n j：：2n3 n13
JI
②函数f (x)在区间［,0］上是增函数;
6
③函数f （x）图像关于点（―,0）对称；④函数f （x）周期为二.
3
12.高中数学教材上有一道习题：已知平面四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平
和，求证：它的对角线互相垂直. 下面利用向量方法进行证明：
——-2 ——2 ——2 ——2
设有四边形ABCD，由条件得知AB CD = BC - AD
2
2 2 2
则AB (AD 一AC)2=(AC — AB)2AD
AD AC = AB AC,(AD - AB) AC =0. ••• BD AC = 0.
反思上面的证明过程，对该命题进行推广，写岀你的结论:
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给岀代号为A、B C、
D的四个结
论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的括号
内，选对
得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在括号内），一
律得零分
13. x€ R，“ X v2”是“ x —1 c l”的
A•充分不必要条件 B •必要不充分条件
C.既充分也必要条件 D .既不必要也不充分条件
14•函数f X — a 1的大致图象是
log
a
x
A •
•设M
9 \
/I是日非空集合，
且
M h：|匸
A .■:0h B
.匸R，
15B
.
上的函数f
'D •以上都不对
c. d
(x M) 打
(x芒M
).
C
16•如图，已知点 P 在焦点为F 「F 2的椭圆上运动，则与.沪尸店2 的边PF 2
相切，且与边 F i F 2, F 1P 的延长线相切的圆的圆心 M
C . 一个椭圆上 三、解答题(本大题满分 17.(本题满分12分)
已知复数 z =1 a i (a R) ,
.= cos 很亠 i si n ： 三(0 , 2二)，若 z = z 2i ，且
|z - •= ..5，求角二的值.
［解］
18 .(本题满分12分，第(1)题5分，第(2 )题7分)
据预测，某旅游景区游客人数在 之间近似地满足关系式：
y - -x 2 - 2400x -1000000 .
(1) 若该景区游客消费总额不低于 400000元时，求景区游客人数的范围. (2) 当景区游客的人数为多少人时，游客的人均消费最高？并求游客的人均最高消费额. ［解］
19 .(本题满分14分，第(1)题6分，第(2 )题8分)
等差数列£n ［中，前n 项和为S n ，首项a 1 =4，S 9 =0 . (1) 若 a n ■ S n = -10，求 n ；
a
(2) 设b n = 2 n ，求使不等式b 1 + b 2 +…+ b n > 2007的最小正整数n 的值. ［解］
的函数类型酌情给分 ) ［解］
22 .(本题满分18分.第(1)题4分，第(2 )题14分，分别为4、4、6分) 已知抛物线C ：y =2px(p 0)上横坐标为4
的点到焦点的距离为 5 . (1) 求抛物线C 的方程.
(2) 设直线y =kx • b (k =0)与抛物线C 交于两点A(x 1 , y 1 ) , B (x 2 , y 2)，且
M -y 2〔=a(a 0)，M 是弦AB 的中点，过M 作平行于x 轴的直线交抛物线 C 于点D ，得到 ABD ； 再分别过弦 AD 、BD 的中点作平行于 x 轴的直线依次交抛物线 C 于点E , F ，得到 ADE 和 BDF ;
一定在 ....................................... ( )
A •一条直线上
B •一个圆上
D . —条抛物线上
86分)本大题共有 6题，解答下列各题必须写岀必要的步骤
600至1300人之间，游客人数 x (人)与游客的消费总额 y (元)
20 .(本题满分14分，第(1)题7分，第(2 )题7分) 两个相同的正
四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为 的某一个面平行，
各顶点均在正方体的表面上，把满
1的正方体中，重合的底面与 述条件的八面体称为正方的“ '
!与正方 正子体 子
体 「体 该定値Z 不是，求岀体 B ____、
DE 与CF 所成的角； 积
大小的取值范围”
D 斗 ' -心.
21 .(本题满分16分，第(1)题4分，第
记函数f(x) = f 1(x)，
f(f(x)) = f 2(x)「它们定义域的交集为
D , f 2(x) =x ，则称f(x)是集合M 的元素.
(1) 判断函数 f (X )= -x - 1, g(x)
(2) 设函数f (x) =log a (1-a x )，求f(x)的反函数f'(x)，并判断f (x)是否是M 的元素;
(3) 若 f (x) = x ，写岀 f (x) M 题7分，第(3)题
=2x -1是否是M 的元素;
的条件，并写岀两个不同于(1 )、( 2)中的函数.(将根据写岀
Jr B
A
分)
D ,若对任意的 ------- ---- F-
解决下列问题:
16(1 kb)
计算.SBD 的面积S ABD ； ③
根据.ABD 的面积S.ABD 的计算结果，写岀 ：ADE , . BDF 的面积；请设计一种求抛物线 C 与线段AB 所围成封闭图 形面积的方法，并求岀此封闭图形的面积. ［解］ 浦东新区2007年咼考预测数学试卷
参考答案与评分标准（理科）
2007/4
一、填空题
1. {-1,1} 1
2.—
3. - 4
4. 80
5. 4
6. 5
7.
（吒）
6 3 8. 10 9. 2 10. -1 11•③④=①②或①④ =②③ 12 •已知空间四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则空间四边形余下的一组对边（对角 线）互相垂直. 二、 选择题 13. B 14. A 15 • D 16. A 三、 解答题 17.解：由 z -z 2i 得：1 ■ ai =1 ■ (2 - a)i ，所以 a = 2 - a , a =1 ........................... 4 分 z = 1 i ， z - = 1 - cos 二'(
1 -s in - Qi .............................................. 5 分 z —国=J(1—cosa)2+(1—sina)
2 =V5 ................................................... 7 分 2 2
1—2cos ： cos ： 1—2sin ： sin 5，sin ：亠 cos ：
- -1 ...................... 8 分 Tt sin( )「- 3兀 .................... 10 分 :-=~ 或〉二 2
...................... 12 分 18 •解：(1)由已知：-x 2 2400x-1000000 _ 400000，即
x 2
-2400x 1400000 ^0,解得 1000 Ex 乞1400 ................................. 4 分
又600 一 x -1300 ,所以景区游客人数的范围是 1000至1300人 ......... 5分 （2）设游客的人均消费额为 y ，则 2
x 2 2400x -1000000 x 当且仅当x=1000时等号成立. 答：当景区
游客的人数为 1000时, 19 .解：（1） S 9 二 9a 1 36d = 0， --(x 1000000) 2400 _400
x ........................................................... 12 游客的人均消费最高，最高消费额为 400元. 得: d = -1，a* = 5 - n ................................. 由 a n S n = T0，4 (n -1) (一1) 4n 世卫(一1)二一10
2
2
n -7n -30 二 0，得至U n =10
............................................ 6 分
(2) b n 二肝，
若n 乞5,则b 1 b^ b^^b 1 b^
b^ 31，不合题意 ............ 9 分
故 n 5, d b 2 b n =31
• 22
卫.2007 .......................................... ii 分
2-1
2n_5 . 989，所以n _ 15 ,使不等式成立的最小正整数 n 的值为15. ................... 14分 20 •解：(1)方法一：如图，分别以 CA 、DB 为X 、y 轴建立空间直角坐标系.
1 1 1 1
因为 AC =1,BD =1，所以 D(0, ,0) , E(0,0,—) , C( ,0,0) F(0,0,)
2 2 2 2
1 1 1 1 . 1
DE ={0, —,—} , CF ={—,0, } ....................... 4 分 cos .............................. 6 分
2 2 2 2 2
因为异面直线所成角为锐角，故异面直线 DE 与CF 所成的角为60 .................. 7分
方法二：见文科答案与评分标准.
(2)正子体体积不是定值. ............ 8分 设ABCD 与正方体的截面四边形为
A B C D ,设 AA —x (0 _x _1)
则 AB = 1 - x .......................... 9 分
故
2 _ 1
S ABCD
= AD 匸[二,1]
(12)
分
2
1 1 11 11 V S A B C D h
2 S A B CD 2 S A B C D [ , ] .................................. 14 分
3 3 2 3 6 3
21•解：(1)v 对任意 x R , f( f (x)) - -(-x 1) 1 =x ,••• f(x) - -X 1 M --2 分 ••• g(g(x)) = 2(2x —1) —1 =4x -3
不恒等于 x , • g(x)「M ..................................................................................... 4 分 (2)设 y =log a (1 —a x ) ①
a 1 时，由 0 ：：： 1 —'a x ：：： 1 解得：x ：：： 0, y ■ 0
由 y=log a (1_a x )解得其反函数为 y=log(1_a x ) , (x ：：： 0) ................ 6 分
②
0 ：：： a ::: 1 时，由 0 ::: 1 - a x ::: 1 解得：x 0, y 0
解得函数 y=log a (1-a x )的反函数为 y=log a (1-a x ) , (x 0) ........................................... 8 分
••• f(f(x)) "og a (1-a loga(1$)=iog a (1-1
a x ) -X
• f (x)二 log a (1「a x ) M (11)
分
(3) f (x) = X , f (x) • M 的条件是：
f (x)存在反函数 f 4
(x)，且 f ，(x)二 f (
x ) (13)
分
函数f (x)可以是：
一 bx 亠 c
f (x)
(ab = 0, ac = -b 2)；
ax +b
k
f (x) (k = 0)；
x
f (x)二 a 「x 2 (a 0,x [0, a])；
f (x)二 lo
g a
x
1 -a
(a • 0, a 1);
f (x) = sin(arccosx),(x [0,1]或x [ -1,0]) , f (x)二cos(arcsin x)；
24 •
f(x)二arcsin(cosx), (x ［。

三］或 x 牙,二］)，f (x)二 arccos(sinx). 以“；”戈y 分为不同
类型的函数，评分标准如下：
给岀函数是以上函数中两个不同类型的函数得 3分.
属于以上同一类型的两个函数得
1分；
写岀的是与(1)、( 2)中函数同类型的不得分； 函数定义域或条件错误扣 1分.
2
•解：(1)由抛物线定义，抛物线
C ： y =2px(p .0)上点P(4, y o )到焦点的距离等于它到准线
p p x 的距离，得5=4 p =2， 2 2
所以抛物线C 的方程为y 2 =4x . ...................................
(只要得到抛物线方程，都得
4分)
y 2 =4x 2 2 2 2
y ，得 ky 2 —4y +4b = 0， (或 k 2x 2 +(2kb-4)x+b 2 =0 )
y = kx + b
当厶=16 -16kb 0，即 kb <1 且 k=0 时， ,
4 4b 4 —2kb
y 1 y 2
, y“2 (或花 x ?
2
= k
k
k 2
①由 I y i -y 2 l =a ，即(y i • y 2)
—4y°2 =a ，得
所以a 2 16(1 -kb)
k 2
AB 中点M 的坐标为(2 2kb ,2)，点C (丄 ,)，
k 2
k
k 2 k
1
1 1—kb S ABC | MC | | y 1 - y
2 | | 2
2 ③由问题②知，
②由①知,
3
a 2 1 a ---------- ----- k 2 32
ABD 的面积值仅与| % -y 2 |=a 有关, 由于
12
a a
| y A - y D | , | y B - y D | ，所以-ADE 与-BDF
2 2
_
_(|)3
S
「A DE 二
的面积 3
a
32
32 8
256
由题设当中构造三角形的方法，可以将抛物线
看成无穷多个三角形的面积的和，
a
3
所以S 2
32
3
3
即s =旦 —
a 3 32 32 乂 4
3
a 2
22 32 8 3
- a
32 42
因此，所求封闭图形的面积为
3
a 32 4nJ
a 3
32x8n
」
C 与线段AB 所围成的封闭图形的面积
a n 的无穷项和, ................... 16 分
a . =2心
14分
即数列
a 3
3 23
32 82
3 —a —
3
a 32 83 3
a -.-2
32 43 32 4n
3 a 3
n
a
32 8n
3
一 24，
18
22
(2)由丿 b 2 k 7)
16 16b 2
~ a k 2 k
24 •。