2020年广东省广州市市越秀外国语学校高三数学文测试试卷含解析

2020年广东省广州市市越秀外国语学校高三数学文测
试试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合，则A∩B=（）
A. {－1,1,3}
B. {－3,－1,1}
C. {－3,5}
D. {3,5}
参考答案：
C
试题分析：因为，所以，故选C．
考点：1.集合的表示；2.集合的交集．
2. 已知函数, 则
的
值为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
D
试题分析：因为
，所以
，故选D．
考点：1、函数值；2、推理与证明．
3. 设F1，F2是双曲线(a＞0，b＞0)的两个焦点，若点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，|PF1|?|PF2|=2，则b=（）
A．1 B．2 C．D．
参考答案：
A
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，则mn=2，m2+n2=4c2，|m﹣n|=2a，由此，即可求出b．
【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则mn=2，m2+n2=4c2，|m﹣n|=2a，
∴4c2﹣4a2=2mn=4，
∴b2=c2﹣a2=1，∴b=1，
故选A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查勾股定理的运用，属于中档题．
4. 已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S—ABC 的体积为
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
5. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，该几何体的体积为
A．B．
C．D．
参考答案：
A
6. 已知为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
参考答案：
D
试题分析：因,故对应的点在第四象限,应选D.
考点：复数的概念和运算.
7. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是
A． B． C． D．
参考答案：
C
8. 设是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，则下列说法正确的是
（）
A．过一定存在平面,使得 B．过一定不存在平面,使得C．在平面内一定存在直线，使得 D．在平面内一定不存在直线，使得
参考答案：
C
9. 已知函数为奇函数，且当时，，则（）（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
略
10. 设f(x)是定义在R的偶函数，对任意x?R，都有f(x-2)=f(x+2)，且当x?[-2, 0]时， f(x)=．若在区间(-2,6]内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是( )
A．(1, 2) B．(2,+￥) C．(1,) D．(, 2)
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 现有6张风景区门票分配给6位游客，其中A、B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方式共有种（用数字作答）
参考答案：
180
略
12. 已知,
若，则实数
参考答案：
【知识点】二项式定理的应用．菁J3
1 解析：∵m＞0，在（1+mx ）6=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 6x 6
中，令x=0，可得a 0=1．在（1+mx ）
6
=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 6x 6 中，令x=1，可得1+a 1+a 2+…+a 6=（1+m ）6
，
∴64=（1+m ）6，∴m=1，故答案为：1．
【思路点拨】在所给的等式中，令x=0，可得a 0=1；令x=1，可得1+a 1+a 2+…+a 6=（1+m ）
6
，即64=（1+m ）6
，由此求得 m 的值．
13. 圆上到直线距离最近的点的坐标是___________．
参考答案：
14. 已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n =2n ，则使得S n ﹣na n+1+50＜0的最小正整数n 的值为 ． 参考答案：
5
【考点】数列的求和．
【分析】由已知利用错位相减法求得数列{na n }的前n 项和为S n ，代入S n ﹣na n+1+50＜0，求解不等式得答案．
【解答】解：由a n =2n ，得a n+1=2n+1， na n =n?2n ， 则，
∴
， 两式作差得：
=
，
∴，
则由S n ﹣na n+1+50＜0，得（n ﹣1）?2n+1+2﹣n?2n+1+50＜0， 即2n+1＞52，∴n+1＞5，则n ＞4． ∴最小正整数n 的值为5． 故答案为：5． 15. 已知函数
的值域为
,则实数的取值范围是
参考答案：
[0,1]
16. 函数f （x ）=
的定义域为 ．
参考答案：
{x|x}
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】利用被开方数非负，得到不等式，求解即可得到函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，则：1﹣2x≥0，解得：x．
函数的定义域为：{x|x}．
故答案为：：{x|x}．
17. 已知A，B，C，D是球面上的四个点，其中A，B，C在同一圆周上，若D不在A，B，C 所在圆周上，则从这四个点的任意两点连线中取出2条，这两条直线是异面直线的概率等于___
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，l
的极坐标方程为，C的参数方程为（为参数，）.
（1）写出l和C的普通方程；
（2）在C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值.
参考答案：
（1）由：，及，.
∴的方程为.
由，，消去得.
（2）在上取点，则
.
其中，
当时，取最小值.
此时，，.
19. 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，；
(3)若函数有两个零点，，比较与的大小，并证明你的结论。

参考答案：
(1)时，f(x)在上递增，上递减，上递增；时，f(x)在上递增；时，f(x)在上递增，上递减，上递增；时，f(x)在上递增，在上递减；(2)见解析；(3).
；(3)因为函数要有两个零点，，所以，由此可求得，设，由（2）得，从而有
，即有成立，从而可证结论成立.
试题解析：(1)
①时，f(x)在(0,1)上递增，在上递减；
②时，f’(x)=0的两根为
A. ，即时，f(x)在上递增；
B. ，即时，f(x)在上递增，上递减，上递增；
且，故此时f(x)在上有且只有一个零点.
C. ，即时，f(x)在上递增，上递减，上递增；
且，故此时f(x)在上有且只有一个零点.
综上所述：时，f(x)在上递增，上递减，上递增；
时，f(x)在上递增；
时，f(x)在上递增，上递减，上递增；
时，f(x)在上递增，在上递减；
(2)
设
∴
∴在上单调递减
∴得证.
(3)由(1)知，函数要有两个零点，，则
∴
不妨设
∴由(2)得
∴
∴
∴
考点：1.导数与函数的单调性；2.函数与方程、不等式.
20. （本小题满分12分）对某电子元件进行寿命追踪调查，所得情况如下频率分布直方图.（1）图中纵坐标处刻度不清，根据图表所提供的数据还原；
（2）根据图表的数据按分层抽样，抽取个元件，寿命为之间的应抽取几
个；
（3）从（2）中抽出的寿命落在之间的元件中任取个元件，求事件“恰好有一个寿命为，一个寿命为”的概率.
参考答案：
（1）0.0015 （2）5 （3）
解得………………………………3分
（2）设在寿命为之间的应抽取个，根据分层抽样有：
………………………5分
解得：
所以应在寿命为之间的应抽取个………………………………7分
（3）记“恰好有一个寿命为，一个寿命为”为事件，由（2）知寿命落在之间的元件有个分别记，落在之间的元件有个分别记为：，从中任取个球，有如下基本事件：
，，共有个基本事件………9分
事件“恰好有一个寿命为，一个寿命为”有：
，共有个基本事件………10分
……………………………11分
答：事件“恰好有一个寿命为，另一个寿命为”的概率为…12分考点：1.数据频率分布直方图；2.随机事件的概率.
21. 已知数列中，且。

（1）设，证明是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项。

参考答案：
解：（1）
是等比数列
（2）
时
时
综上，
（3）
时不符合
（3）
22. （本题满分12分）如图，在半径为，圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点在上，设矩形的面积为, ，
（Ⅰ）将表示成的函数关系式,并写出定义域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若取最大值时，且，，为中点，求的值.
参考答案：
【知识点】函数模型的选择与应用．B10
【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）因为，，，
所以故………3分即，………5分
（Ⅱ）=时……7分由可得.
所以
………9分
由正弦定理得所以,故在中，
由余弦定理得
………12分
故
【思路点拨】（I）在Rt△PON中，PN=OPsinθ=，ON=cosθ．在Rt△OQM
中，=sinθ．可得MN=0N﹣0M=．可得矩形PNMQ的面积
y=PN?NM=，再利用倍角公式、两角和差的正弦公式即可得出．（II）当=时，y取得最大值，θ=．可得A=．由cosB=，可得．由正弦定理可得：．利用两角和差的正弦公式可得
sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB．由正弦定理可得：．在△ABD中，由余弦定理可得：BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcosA．。